2018年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問1

方針の立て方
(ⅰ)
3次元の図形は作図が難しく考えにくいため，適当な平面で切って2次元の問題に帰着する．(8)と(9)は(3)と(4)の問題を一般化したパターンである．そのため(3)と(4)の考え方を応用すればよい．

(ⅱ)
(10)～(20)までは基本問題であり特筆事項なし．
(21)～(25)について．「 $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{BD}}$ が平行である」という情報と「 $\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ 」という情報を数式化する．「2つのベクトルが平行である」という情報は「2つのベクトルが実数倍だけ違う」という情報に，「2つのベクトルが垂直である」という情報は「2つのベクトルの内積が0となる」という情報に言い換えると数式化できる．後は， $\vec{\mathrm{BD}}$ のみ始点が $\mathrm{O}$ でないため，始点を $\mathrm{O}$ に揃えるという変形が思いつく．
(26)～(29)について．これも始点がバラバラであるから，始点を $\mathrm{O}$ に揃えると解法を得られる．
(A)と(B)は，ベクトルによる三角形の面積公式を利用すれば良い．本解答では座標を用いた三角形の面積公式を応用している．

解答例
(ⅰ)
(1)(2) $15$
(3)(4) $10$
(5) $5$
(6)(7) $10$
(8)(9) $14$

(ⅱ)
(10) $6$
(11)(12) $24$
(13)(14) $-6$
(15)(16) $-3$
(17) $3$
(18)(19) $-3$
(20) $3$
(21) $4$
(22)(23) $\frac{1}{2}$
(24)(25) $\frac{1}{2}$
(26)(27) $\frac{1}{4}$
(28)(29) $\frac{1}{6}$
(A) $3\sqrt3$
(B) $24\sqrt3$

解説
(ⅰ)
〇 $r_1=\sqrt5$ のとき((1)と(2)について)
断面図を考えると，

$S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の半径は上図の破線に当たる．
両円の中心と交点で作られる三角形は正三角形であるから，破線の長さは， $\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$ ．
よって，求める円周の長さは $2\pi\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}\pi$ ……(答)

〇 $S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の円周の長さが最大となるとき((3)～(7)について)

上図のように， $S_0$ と $S_1$ が交わってできる円の半径が $S_0$ の半径と一致するとき，円周が最大となる．
三平方の定理より，
$r_1=\sqrt{\left(\sqrt5\right)^2+\left(\sqrt5\right)^2}=\sqrt{10}$ ……(答)
また，直線 $l$ と $S_0$ と $S_1$ の位置関係について作図すると，

上図(実際には $x$ 軸対称にもう1本直線 $l$ が存在するが，求める座標は同じになるため，上図の1本のみ考える)．直線 $l$ の方程式を $y=ax+b\left(0<a,b\right)$ とすると， $S_0$ と $S_1$ の接線であるから，
$\begin{cases} \frac{\left|-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{5} \\ \frac{\left|-5a-b\right|}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{10} \end{cases}\Leftrightarrow \left(a,b\right)=\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}},\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}}\right)$
よって，直線lの方程式は， $y=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}$ ．よって，求める座標の $x$ 座標は，
$0=\sqrt{\frac{-1+\sqrt2}{2}}x+\sqrt{\frac{5\left(1+\sqrt2\right)}{2}}\Leftrightarrow x=-\sqrt5-\sqrt{10}$
よって，求める座標は， $\left(-\sqrt5-\sqrt{10},0,0\right)$ ……(答)
〇 $r_k$ が $r_0$ の100倍以上となるとき((8)と(9)について)
(3)と(4)を考えたときと同様に考えると， $S_{k-1}$ と $S_k$ が交わってできる円の円周の長さが最大となるのは， $S_{k-1}$ と $S_k$ が交わってできる円の半径が $S_{k-1}$ の半径と一致するときである．
$\therefore r_k=\sqrt2r_{k-1}$
この漸化式を解くと，
$r_k=r_0\left(\sqrt2\right)^k\Leftrightarrow\frac{r_k}{r_0}=\left(\sqrt2\right)^k$
となる． $r_k$ が $r_0$ の100倍以上となるのは，
$100r_0\leqq r_k\Leftrightarrow100\leqq\frac{r_k}{r_0}\Leftrightarrow100\leqq\left(\sqrt2\right)^k$
が成り立つとき．この不等式が成り立つのは $14\leqq k$ のときである．……(答)

(ⅱ)
〇 $\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2,\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2,\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}$ の値((10)～(14)について)
$\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2=\left(-\sqrt3\right)^2+\left(\sqrt3\right)^2=6$ ……(答)
$\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2=\left(3+\sqrt3\right)^2+\left(3-\sqrt{3}\right)^2=24$ ……(答)
$\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=-\sqrt3\cdot\left(3+\sqrt3\right)+\sqrt3\cdot\left(3-\sqrt3\right)=-6$ ……(答)
〇点 $\mathrm{C}$ の座標((15)～(20)について)
$\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}=-2\cdot\left(-\sqrt3,\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$
よって，点 $\mathrm{C}$ の座標は $\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$ ……(答)
〇 $\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|$ と $\vec{\mathrm{OA}}$ ((21)～(25)について)
$\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{BD}}$ は平行であるから，実数 $k$ を用いて $\vec{\mathrm{BD}}=k\vec{\mathrm{OA}}$ と書ける．
$\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OB}}$ であるから，
$\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}$
と書ける．
$\vec{\mathrm{OB}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ より，
$\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=0\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}\cdot\left(\vec{\mathrm{OB}}+k\vec{\mathrm{OA}}\right)=0\Leftrightarrow24-6k=0\Leftrightarrow k=4$
(※途中で(11)～(14)の結果を用いた)
よって， $\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}$ であり，これより， $\left|\vec{\mathrm{BD}}\right|=4\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|$ ……(答)
また， $\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}$ であり， $\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}$ であるから，連立すると，
$\vec{\mathrm{OD}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}+4\vec{\mathrm{OA}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OA}}=\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}$ ……(答)

〇 $\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}$ の値((26)と(27)について)
点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上の点であるから， $\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}$ ( $k$ は実数)と表せる．
また，点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{CD}$ 上の点でもあるから， $\vec{\mathrm{OE}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}$ ( $s$ は実数)とも表せる．
ここで，
$\vec{\mathrm{OB}}=\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{BD}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\vec{\mathrm{OA}}=\vec{\mathrm{OD}}-4\left(\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OC}}+\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OD}}\right)=-2\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}$
より， $\vec{\mathrm{OE}}$ について等式を立てると，
$-2k\vec{\mathrm{OC}}-k\vec{\mathrm{OD}}=s\vec{\mathrm{OC}}+\left(1-s\right)\vec{\mathrm{OD}}$
両辺の係数比較をすると，
$\begin{cases} -2k=s \\ -k=1-s \end{cases}\Leftrightarrow\left(k,s\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$
$\therefore\vec{\mathrm{OE}}=k\vec{\mathrm{OB}}=-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}$
$\therefore\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{BE}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OB}}\right|}=\frac{\left|\vec{\mathrm{OE}}\right|}{\left|\vec{\mathrm{OE}}-\left(-3\vec{\mathrm{OE}}\right)\right|}=\frac{1}{4}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{AE}}$ ((28)と(29)について)
$\vec{\mathrm{OB}}=-3\vec{\mathrm{OE}}$ より，
$\vec{\mathrm{AE}}=\vec{\mathrm{OE}}-\vec{\mathrm{OA}}=-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}$
一方， $\vec{\mathrm{OC}}=-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}$ と $\vec{\mathrm{OD}}=\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}$ より，
$\vec{\mathrm{DC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OD}}=\left(-2\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OB}}\right)-\left(\vec{\mathrm{OB}}+4\vec{\mathrm{OA}}\right)=-6\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OB}}=6\left(-\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{3}\vec{\mathrm{OB}}\right)$
これらより，
$\vec{\mathrm{DC}}=6\vec{\mathrm{AE}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AE}}=\frac{1}{6}\vec{\mathrm{DC}}$ ……(答)

〇 $\triangle\mathrm{OAC}$ と $\triangle\mathrm{BCD}$ の面積((A)と(B)について)
$\vec{\mathrm{OA}}=\left(-\sqrt3,\sqrt3\right),\vec{\mathrm{OC}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)$ より，
$\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\left|-\sqrt3\left(-3-\sqrt3\right)-\sqrt3\left(-3+\sqrt3\right)\right|=3\sqrt3$ ……(答)
$\vec{\mathrm{BC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OB}}=\left(-3+\sqrt3,-3-\sqrt3\right)-\left(3+\sqrt3,3-\sqrt3\right)=\left(-6,-6\right),\vec{\mathrm{BD}}=4\vec{\mathrm{OA}}=\left(-4\sqrt3,4\sqrt3\right)$ より，
$\triangle\mathrm{BCD}=\frac{1}{2}\left|-6\cdot4\sqrt3-\left(-6\right)\cdot\left(-4\sqrt3\right)\right|=24\sqrt3$ ……(答)