偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2016

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる.然程複雑な操作・計算ではないため,ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる.
最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので,それを利用することを考える.これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると,最終的に袋Bには玉2,4,6しか許されないことが分かる.よって,2回目の袋Bの中の玉の内訳で3回目に取り出さねばならない玉の番号が決まる.逆に言えば,3回目にどの番号の玉を取り出すかを決めると,2回目の操作終了後の袋Bに入っている玉が一意的に決まることになる.これより,3回目の操作で袋Bに入れる玉の番号で場合分けして考えるという解法が立つ.

解答例
(ⅰ)
(43)(44)(45)\frac{1}{10}

(ⅱ)
(46)(47)(48)\frac{1}{70}

(ⅲ)
(49)1
(50)1
(51)3
(52)(53)(54)\frac{3}{55}
(55)(56)(57)\frac{4}{77}
(58)(59)(60)\frac{1}{35}
(61)(62)(63)\frac{2}{35}

(ⅳ)
(64)2
(65)8
(66)1
(67)4
(68)6

(ⅴ)
(69)(70)(71)\frac{2}{35}

解説
(ⅰ)
1回目の操作が終わった後,袋Aには玉1,1,2,2,3,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている.
よって,求める確率は,\frac{1}{10}……(答)

(ⅱ)
1回目の操作で玉2が袋Bに入れられる確率は,\frac{2}{14}=\frac{1}{7}
1回目の操作が終わった後,袋Aには玉1,3,4,4,5,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている.
よって,2回目の操作で玉1が袋Bに入れられる確率は\frac{1}{10}
これら二つの事象は独立であるので,積の法則より,求める確率は,
\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{70}……(答)

(ⅲ)
事象B_{1,2}に該当するのは,「1回目の操作で玉1,2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象と「1回目の操作で玉2,2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象.
前問と同様に考えれば,「1回目の操作で玉1,2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は\frac{2}{14}\times\frac{1}{11}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11},「1回目の操作で玉2,2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}
\therefore P\left(B_{1,2}\right)=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11}+\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{3}{110}……(答)
同様に考えると,
P\left(B_{1,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{3}{55}……(答)
P\left(B_{1,7}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}=\frac{4}{77}……(答)
P\left(B_{2,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{35}……(答)
P\left(B_{2,4}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{2}{35}……(答)

(ⅳ)
起こる確率がP\left(B_{1,2}\right)であるものは,B_{1,2}B_{6,7}の2個……(答)
起こる確率がP\left(B_{1,3}\right)であるものは,B_{1,3}B_{1,4}B_{1,5}B_{1,6}B_{2,7}B_{3,7}B_{4,7}B_{5,7}の8個……(答)
起こる確率がP\left(B_{1,7}\right)であるものは,B_{1,7}の1個……(答)
起こる確率がP\left(B_{2,3}\right)であるものは,B_{2,3}B_{3,4}B_{4,5}B_{5,6}の4個……(答)
起こる確率がP\left(B_{2,4}\right)であるものは,B_{2,4}B_{2,5}B_{2,6}B_{3,5}B_{3,6}B_{4,6}の6個……(答)

(ⅴ)
題意を満たす取り出し方をした場合,最終的に袋Bには玉2,4,6が入っている.
3回目の操作で玉6を袋Bに入れて題意を満たす場合,2回目の操作終了後に袋に玉2,4が入っていて(このとき袋Aには玉1,5,6,6,7,7の計6個が入っている),そこに玉3を入れれば良いため,その確率は,
P\left(B_{2,4}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}
同様に,3回目の操作で玉4を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は,
P\left(B_{2,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}
であり,3回目の操作で玉2を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は,
P\left(B_{4,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}
である.これらは排反であるため,求める確率は,和の法則より,
\frac{2}{105}+\frac{2}{105}+\frac{2}{105}=\frac{2}{35}……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。