偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2017

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(ⅰ)
f\left(x\right)には\cos{x}\sin{x}が混じっているため,これを一つの三角関数にまとめることを考える.すると,三角関数の合成という解法が立つ.

(ⅱ)
実際にa_2,a_3,\cdots\cdotsを求めてみて,その導出過程をnで一般化すれば良い.数列の問題はいきなり抽象的なnで計算するのではなく,最初はn=1,2などの小さい値でやってみると,解法が得やすい.漸化式が求まってしまえば,後は一般項に直して,問題文に沿って素直に不等式を立てれば良い.
(余談だが,この問題はニュートン法を題材にした問題である.)

解答例
(ⅰ)
(1)(2)(3)\frac{11}{6}
(4)(5)13
(6)(7)\frac{5}{6}
(8)(9)-3

(ⅱ)
(10)(11)\frac{4}{5}
(12)(13)25

解説
(ⅰ)
三角関数の合成公式を用いれば,
f\left(x\right)=4\sqrt3\cos{x}-4\sin{x}+5=8\sin{\left(x+\frac{2}{3}\pi\right)}+5
である.0\leqq x <2\pi\Leftrightarrow\frac{2}{3}\pi\leqq x+\frac{2}{3}\pi<\frac{8}{3}\piであるから,x+\frac{2}{3}\pi=\frac{5}{2}\pi\Leftrightarrow x=\frac{11}{6}\piで最大値8+5=13を取り,x+\frac{2}{3}\pi=\frac{3}{2}\pi\Leftrightarrow x=\frac{5}{6}\piで最小値-8+5=-3を取る.
まとめると,

(ⅱ)
a_nは帰納的に正である.つまり,0<a_n
y^\prime=5x^4より,点\left(a_n,{a_n}^5\right)での接線の方程式はy=5{a_n}^4x-4{a_n}^5となる.これとx軸(y=0)との交点のx座標がa_{n+1}のため,
0=5{a_n}^4a_{n+1}-4{a_n}^5
となる.0<a_nに注意してこれを解くと,
a_{n+1}=\frac{4}{5}a_n……(答)
この漸化式を解く.a_nは初項a_1=1,公比\frac{4}{5}の等比数列であるから,一般項a_n
a_n=1\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}
となる.
\therefore a_n-a_{n+1}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^n=\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}
よって,a_n-a_{n+1}\frac{1}{1000}以下であるには,
\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\leqq\frac{1}{1000}\Leftrightarrow\log_{10}{\left\{\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right\}}\leqq\log_{10}{\frac{1}{1000}}……(*)
であれば必要十分.
\log_{10}{\left\{\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right\}}=\log_{10}{\frac{1}{5}}+\log_{10}{\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}}=\log_{10}{\frac{2}{10}}+\left(n-1\right)\log_{10}{\frac{8}{10}}=\log_{10}{2}-1+\left(n-1\right)\left(3\log_{10}{2}-1\right)
\log_{10}{\frac{1}{1000}}=\log_{10}{{10}^{-3}}=-3
より,(*)は
\log_{10}{2}-1+\left(n-1\right)\left(3\log_{10}{2}-1\right)\leqq-3\Leftrightarrow n\geqq\frac{2+\log_{10}{2}}{1-3\log_{10}{2}}+1=\frac{2+0.3010}{1-3\times0.3010}+1=24.7\cdots\cdots
となる.よって,求める自然数nの最小値は,n=25……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。