方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)
共通部分に関する問題であるから，「交わるならば連立」という基本事項に従い，共通部分に関する情報を求める．

(ⅲ)
今度は共通部分が分かっていて，その元が分からない(求める)問題である．共通部分は直線(1次元)で，元の図形は平面(2次元)であるから，自由度を1増やせばよいと考える．

解答例
(ⅰ)
(19) $4$
(20) $2$
(21) $8$
(22) $5$

(ⅱ)
(23) $0$
(24)(25) $-4$
(26)(27) $-3$
(28)(29) $-2$
(30)(31)(32) $-20$
(33)(34)(35) $-13$
(36) $2$
(37)(38) $12$
(39) $7$

(ⅲ)
(ウ) $5y-8z-4$
(エ) $5x-z-3$

解説
(ⅰ)
平面 $\pi_1$ と平面 $\pi_2$ の交線 $l$ は，実数パラメーター $t$ を用いると，
$\begin{cases} x-2y+3z+1=0 \\ 3x+4y-7z-5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)$
と表せる．
よって，交線 $l$ は， $\left(1,4,2\right)$ を通り( $t=1$ を代入)，方向ベクトルは $\left(1,8,5\right)$ である直線．
$\therefore\begin{cases} \vec{p_0}=\left(1,4,2\right) \\ \vec{v}=\left(1,8,5\right) \end{cases}$ ……(答)

(ⅱ)
球面 $S$ の半径を $r$ とおく．すると，球面 $S$ の方程式は $\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2$ と表せる．
〇球面 $S$ と直線 $l$ が1点のみを共有するとき((23)～(27)について)
球面 $S\colon\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2$ と交線 $l\colon\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)$ の共有点が1つのみとなるには，以下の $t$ に関する2次方程式
$\left(t-2\right)^2+\left(8t-4+8\right)^2+\left(5t-3-3\right)^2=r^2\Leftrightarrow90t^2+56-r^2=0$
がただ一つの実数解(重解)となれば必要十分．
$\therefore56-r^2=0\Leftrightarrow r=2\sqrt{14}$
のときで，そのとき $t=0$ ．
よって，共有点の座標は， $\left(0,8\cdot0-4,5\cdot0-3\right)=\left(0,-4,-3\right)$ ……(答)
〇球面 $S$ と直線 $l$ が1点のみを共有するとき((23)～(27)について)
球面 $S\colon\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2$ と交線 $l\colon\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)$ の共有点が1つのみとなるには，以下の $t$ に関する2次方程式
$\left(t-2\right)^2+\left(8t-4+8\right)^2+\left(5t-3-3\right)^2=r^2\Leftrightarrow90t^2+56-r^2=0$
が相異なる2つの実数解を持てば必要十分．
$\therefore56-r^2<0\Leftrightarrow2\sqrt{14}<r$
のときで，そのとき $t=\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}$ ．
よって，2つの共有点の座標は， $\left(\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}},\pm\frac{8}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}-4,\pm\frac{5}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}-3\right)$ である(複号同順)．
この2点の距離は，
$\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2+\left(\frac{16}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2+\left(\frac{10}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2}=2\sqrt{r^2-56}$
よって，点 $\mathrm{A}$ と直線 $l$ の距離は，三平方の定理より，
$\sqrt{r^2-\left(\sqrt{r^2-56}\right)^2}=2\sqrt{14}$
である．これより，2つの共有点と点 $\mathrm{A}$ を頂点とする三角形の面積は，
$\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{r^2-56}\cdot2\sqrt{14}=2\sqrt{14\left(r^2-56\right)}$
となる．これが $24\sqrt{35}$ であるとき，
$2\sqrt{14\left(r^2-56\right)}=24\sqrt{35}\Leftrightarrow\sqrt{r^2-56}=6\sqrt{10}$
となる．
$\therefore t=\pm\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\pm2$
よって，求める共有点の座標は，
$\left(t,8t-4,5t-3\right)=\left(-2,-20,-13\right),\left(2,12,7\right)$ ……(答)

(ⅲ)
平面 $\pi_3$ は面内に直線 $l$ を含み，かつ $x$ 依存性がないため， $\left(y,z\right)=\left(8t-4,5t-3\right)\Leftrightarrow5y-8z-4=0$ ……(答)
同様に，平面 $\pi_4$ は面内に直線 $l$ を含み，かつ $y$ 依存性がないため， $\left(x,z\right)=\left(t,5t-3\right)\Leftrightarrow5x-z-3=0$ ……(答)