偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2017

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)
共通部分に関する問題であるから,「交わるならば連立」という基本事項に従い,共通部分に関する情報を求める.

(ⅲ)
今度は共通部分が分かっていて,その元が分からない(求める)問題である.共通部分は直線(1次元)で,元の図形は平面(2次元)であるから,自由度を1増やせばよいと考える.

解答例
(ⅰ)
(19)4
(20)2
(21)8
(22)5

(ⅱ)
(23)0
(24)(25)-4
(26)(27)-3
(28)(29)-2
(30)(31)(32)-20
(33)(34)(35)-13
(36)2
(37)(38)12
(39)7

(ⅲ)
(ウ)5y-8z-4
(エ)5x-z-3

解説
(ⅰ)
平面\pi_1と平面\pi_2の交線lは,実数パラメーターtを用いると,
\begin{cases} x-2y+3z+1=0 \\ 3x+4y-7z-5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)
と表せる.
よって,交線lは,\left(1,4,2\right)を通り(t=1を代入),方向ベクトルは\left(1,8,5\right)である直線.
\therefore\begin{cases} \vec{p_0}=\left(1,4,2\right) \\ \vec{v}=\left(1,8,5\right) \end{cases}……(答)

(ⅱ)
球面Sの半径をrとおく.すると,球面Sの方程式は\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2と表せる.
〇球面Sと直線lが1点のみを共有するとき((23)~(27)について)
球面S\colon\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2と交線l\colon\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)の共有点が1つのみとなるには,以下のtに関する2次方程式
\left(t-2\right)^2+\left(8t-4+8\right)^2+\left(5t-3-3\right)^2=r^2\Leftrightarrow90t^2+56-r^2=0
がただ一つの実数解(重解)となれば必要十分.
\therefore56-r^2=0\Leftrightarrow r=2\sqrt{14}
のときで,そのときt=0
よって,共有点の座標は,\left(0,8\cdot0-4,5\cdot0-3\right)=\left(0,-4,-3\right)……(答)
〇球面Sと直線lが1点のみを共有するとき((23)~(27)について)
球面S\colon\left(x-2\right)^2+\left(y+8\right)^2+\left(z-3\right)^2=r^2と交線l\colon\left(x,y,z\right)=\left(t,8t-4,5t-3\right)の共有点が1つのみとなるには,以下のtに関する2次方程式
\left(t-2\right)^2+\left(8t-4+8\right)^2+\left(5t-3-3\right)^2=r^2\Leftrightarrow90t^2+56-r^2=0
が相異なる2つの実数解を持てば必要十分.
\therefore56-r^2<0\Leftrightarrow2\sqrt{14}<r
のときで,そのときt=\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}
よって,2つの共有点の座標は,\left(\pm\frac{1}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}},\pm\frac{8}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}-4,\pm\frac{5}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}-3\right)である(複号同順).
この2点の距離は,
\sqrt{\left(\frac{2}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2+\left(\frac{16}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2+\left(\frac{10}{3}\sqrt{\frac{r^2-56}{10}}\right)^2}=2\sqrt{r^2-56}
よって,点\mathrm{A}と直線lの距離は,三平方の定理より,
\sqrt{r^2-\left(\sqrt{r^2-56}\right)^2}=2\sqrt{14}
である.これより,2つの共有点と点\mathrm{A}を頂点とする三角形の面積は,
\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{r^2-56}\cdot2\sqrt{14}=2\sqrt{14\left(r^2-56\right)}
となる.これが24\sqrt{35}であるとき,
2\sqrt{14\left(r^2-56\right)}=24\sqrt{35}\Leftrightarrow\sqrt{r^2-56}=6\sqrt{10}
となる.
\therefore t=\pm\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\pm2
よって,求める共有点の座標は,
\left(t,8t-4,5t-3\right)=\left(-2,-20,-13\right),\left(2,12,7\right)……(答)

(ⅲ)
平面\pi_3は面内に直線lを含み,かつx依存性がないため,\left(y,z\right)=\left(8t-4,5t-3\right)\Leftrightarrow5y-8z-4=0……(答)
同様に,平面\pi_4は面内に直線lを含み,かつy依存性がないため,\left(x,z\right)=\left(t,5t-3\right)\Leftrightarrow5x-z-3=0……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。