方針の立て方
(ⅰ)
二次関数の最小問題であり，特筆事項なし．

(ⅱ)
計算するだけ．特筆事項なし．

(ⅲ)
不等式の証明は(大きい方)-(小さい方)が0より大きくなる(あるいは0以上となる)ことを示すという典型的な解法を取る．つまり， $c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)$ を考察する．これが0より大きくなれば証明終了であるから， $c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)$ を小さく評価していく． $a\left(x\right)$ の単調減少の性質を使うには， $c\left(x\right)$ の情報を $a\left(x\right)$ に変換する必要があるため， $a\left(x\right)=\frac{c\left(x\right)}{x}\Leftrightarrow c\left(x\right)=xa\left(x\right)$ を用いる．

(ⅳ)
「節約される費用」はどのようにして数式化すればいいかを考える．すると(買収前の製造費用)-(買収後の製造費用)で求められると分かり，これを用いて数式化すればよい．

解答例
(ⅰ)
(14) $4$
(15) $6$

(ⅱ)
(16)(17)(18) $\frac{76}{9}$

(ⅲ)
(ア)
$c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)=x_1a\left(x_1\right)+x_2a\left(x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)$
ここで， $0<x_1<x_1+x_2\leqq\bar{x}$ であるから， $a\left(x_1+x_2\right)<a\left(x_1\right)$ であり，同様に， $0<x_2<x_1+x_2\leqq\bar{x}$ であることから $a\left(x_1+x_2\right)<a\left(x_2\right)$ が言える．
$\therefore x_1a\left(x_1\right)+x_2a\left(x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)>x_1a\left(x_1+x_2\right)+x_2a\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)=0$
よって，
$c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)>0\Leftrightarrow c\left(x_1+x_2\right)<c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)$
証明終了．

(ⅳ)
(イ) $8-u_1-u_2$

解説
(ⅰ)
$m\left(x\right)=x^2-8x+17=\left(x-4\right)^2+1$
よって $m\left(x\right)$ を最小にする $x$ は $x=4$ ．
$\therefore x_m=4$ ……(答)
$c\left(x\right)$ は $m\left(x\right)$ の原始関数であるから，
$c\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x+C$ ( $C$ は積分定数)
となる． $c\left(0\right)=0$ より，積分定数は $C=0$ である．
$\therefore a\left(x\right)=\frac{\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x}{x}=\frac{1}{3}x^2-4x+17=\frac{1}{3}\left(x-6\right)^2+5$
よって， $a\left(x\right)$ を最小にする $x$ は $x=6$ ．
$\therefore x_a=6$ ……(答)

(ⅱ)
$\int_{x_m}^{x_a+1}\left|m\left(x\right)-a\left(x\right)\right|dx=\int_{4}^{7}\left|x^2-8x+17-\left(\frac{1}{3}x^2-4x+17\right)\right|dx=\int_{4}^{7}\left|\frac{2}{3}x\left(x-6\right)\right|dx=\int_{4}^{6}\left\{-\frac{2}{3}x\left(x-6\right)\right\}dx+\int_{6}^{7}{\frac{2}{3}x\left(x-6\right)}dx=\left[2x^2-\frac{2}{9}x^3\right]_4^6+\left[\frac{2}{9}x^3-2x^2\right]_6^7=\frac{76}{9}$ ……(答)

(ⅳ)
式①が仮定されている場合， $c\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x$ である．
買収前における，商品 $\mathrm{P}_\mathrm{A}$ の製造費用は $c\left(u_1\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1$ であり，商品 $\mathrm{P}_\mathrm{B}$ の製造費用は $c\left(u_2\right)=\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2$ である．よって，買収前での両社合わせた製造費用は $c\left(u_1\right)+c\left(u_2\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1+\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2$ となる．
製造後における，商品 $\mathrm{P}_\mathrm{A}$ の製造費用は，製造量が $u_1+u_2$ となることより $c\left(u_1+u_2\right)=\frac{1}{3}\left(u_1+u_2\right)^3-4\left(u_1+u_2\right)^2+17\left(u_1+u_2\right)$ となる．
よって，節約される費用は，
$c\left(u_1\right)+c\left(u_2\right)-c\left(u_1+u_2\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1+\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2-\left\{\frac{1}{3}\left(u_1+u_2\right)^3-4\left(u_1+u_2\right)^2+17\left(u_1+u_2\right)\right\}=u_1u_2\left(8-u_1-u_2\right)$ ……(答)