偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2017

2017年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(ⅰ)
二次関数の最小問題であり,特筆事項なし.

(ⅱ)
計算するだけ.特筆事項なし.

(ⅲ)
不等式の証明は(大きい方)-(小さい方)が0より大きくなる(あるいは0以上となる)ことを示すという典型的な解法を取る.つまり,c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)を考察する.これが0より大きくなれば証明終了であるから,c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)を小さく評価していく.a\left(x\right)の単調減少の性質を使うには,c\left(x\right)の情報をa\left(x\right)に変換する必要があるため,a\left(x\right)=\frac{c\left(x\right)}{x}\Leftrightarrow c\left(x\right)=xa\left(x\right)を用いる.

(ⅳ)
「節約される費用」はどのようにして数式化すればいいかを考える.すると(買収前の製造費用)-(買収後の製造費用)で求められると分かり,これを用いて数式化すればよい.

解答例
(ⅰ)
(14)4
(15)6

(ⅱ)
(16)(17)(18)\frac{76}{9}

(ⅲ)
(ア)
c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)=x_1a\left(x_1\right)+x_2a\left(x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)
ここで,0<x_1<x_1+x_2\leqq\bar{x}であるから,a\left(x_1+x_2\right)<a\left(x_1\right)であり,同様に,0<x_2<x_1+x_2\leqq\bar{x}であることからa\left(x_1+x_2\right)<a\left(x_2\right)が言える.
\therefore x_1a\left(x_1\right)+x_2a\left(x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)>x_1a\left(x_1+x_2\right)+x_2a\left(x_1+x_2\right)-\left(x_1+x_2\right)a\left(x_1+x_2\right)=0
よって,
c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)-c\left(x_1+x_2\right)>0\Leftrightarrow c\left(x_1+x_2\right)<c\left(x_1\right)+c\left(x_2\right)
証明終了.

(ⅳ)
(イ)8-u_1-u_2

解説
(ⅰ)
m\left(x\right)=x^2-8x+17=\left(x-4\right)^2+1
よってm\left(x\right)を最小にするxx=4
\therefore x_m=4……(答)
c\left(x\right)m\left(x\right)の原始関数であるから,
c\left(x\right)=\int m\left(x\right)dx=\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x+C (Cは積分定数)
となる.c\left(0\right)=0より,積分定数はC=0である.
\therefore a\left(x\right)=\frac{\frac{1}{3}x^3-4x^2+17x}{x}=\frac{1}{3}x^2-4x+17=\frac{1}{3}\left(x-6\right)^2+5
よって,a\left(x\right)を最小にするxx=6
\therefore x_a=6……(答)

(ⅱ)
\int_{x_m}^{x_a+1}\left|m\left(x\right)-a\left(x\right)\right|dx=\int_{4}^{7}\left|x^2-8x+17-\left(\frac{1}{3}x^2-4x+17\right)\right|dx=\int_{4}^{7}\left|\frac{2}{3}x\left(x-6\right)\right|dx=\int_{4}^{6}\left\{-\frac{2}{3}x\left(x-6\right)\right\}dx+\int_{6}^{7}{\frac{2}{3}x\left(x-6\right)}dx=\left[2x^2-\frac{2}{9}x^3\right]_4^6+\left[\frac{2}{9}x^3-2x^2\right]_6^7=\frac{76}{9}……(答)

(ⅳ)
式①が仮定されている場合,c\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-4x^2+17xである.
買収前における,商品\mathrm{P}_\mathrm{A}の製造費用はc\left(u_1\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1であり,商品\mathrm{P}_\mathrm{B}の製造費用はc\left(u_2\right)=\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2である.よって,買収前での両社合わせた製造費用はc\left(u_1\right)+c\left(u_2\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1+\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2となる.
製造後における,商品\mathrm{P}_\mathrm{A}の製造費用は,製造量がu_1+u_2となることよりc\left(u_1+u_2\right)=\frac{1}{3}\left(u_1+u_2\right)^3-4\left(u_1+u_2\right)^2+17\left(u_1+u_2\right)となる.
よって,節約される費用は,
c\left(u_1\right)+c\left(u_2\right)-c\left(u_1+u_2\right)=\frac{1}{3}{u_1}^3-4{u_1}^2+17u_1+\frac{1}{3}{u_2}^3-4{u_2}^2+17u_2-\left\{\frac{1}{3}\left(u_1+u_2\right)^3-4\left(u_1+u_2\right)^2+17\left(u_1+u_2\right)\right\}=u_1u_2\left(8-u_1-u_2\right)……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。