慶應商学部2016 | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.01

方針の立て方どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる．然程複雑な操作・計算ではないため，ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる．最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので，それを利用することを考える．これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると，最終的に袋Bには

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方針の立て方
どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる．然程複雑な操作・計算ではないため，ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる．
最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので，それを利用することを考える．これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると，最終的に袋Bには玉2,4,6しか許されないことが分かる．よって，2回目の袋Bの中の玉の内訳で3回目に取り出さねばならない玉の番号が決まる．逆に言えば，3回目にどの番号の玉を取り出すかを決めると，2回目の操作終了後の袋Bに入っている玉が一意的に決まることになる．これより，3回目の操作で袋Bに入れる玉の番号で場合分けして考えるという解法が立つ．

解答例
(ⅰ)
(43)(44)(45) $\frac{1}{10}$

(ⅱ)
(46)(47)(48) $\frac{1}{70}$

(ⅲ)
(49) $1$
(50) $1$
(51) $3$
(52)(53)(54) $\frac{3}{55}$
(55)(56)(57) $\frac{4}{77}$
(58)(59)(60) $\frac{1}{35}$
(61)(62)(63) $\frac{2}{35}$

(ⅳ)
(64) $2$
(65) $8$
(66) $1$
(67) $4$
(68) $6$

(ⅴ)
(69)(70)(71) $\frac{2}{35}$

解説
(ⅰ)
1回目の操作が終わった後，袋Aには玉1,1,2,2,3,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている．
よって，求める確率は， $\frac{1}{10}$ ……(答)

(ⅱ)
1回目の操作で玉2が袋Bに入れられる確率は， $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$ ．
1回目の操作が終わった後，袋Aには玉1,3,4,4,5,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている．
よって，２回目の操作で玉１が袋Bに入れられる確率は $\frac{1}{10}$ ．
これら二つの事象は独立であるので，積の法則より，求める確率は，
$\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{70}$ ……(答)

(ⅲ)
事象 $B_{1,2}$ に該当するのは，「1回目の操作で玉1，2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象と「1回目の操作で玉2，2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象．
前問と同様に考えれば，「1回目の操作で玉1，2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は $\frac{2}{14}\times\frac{1}{11}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11}$ ，「1回目の操作で玉2，2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は $\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}$ ．
$\therefore P\left(B_{1,2}\right)=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11}+\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{3}{110}$ ……(答)
同様に考えると，
$P\left(B_{1,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{3}{55}$ ……(答)
$P\left(B_{1,7}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}=\frac{4}{77}$ ……(答)
$P\left(B_{2,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{35}$ ……(答)
$P\left(B_{2,4}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{2}{35}$ ……(答)

(ⅳ)
起こる確率が $P\left(B_{1,2}\right)$ であるものは， $B_{1,2}$ と $B_{6,7}$ の2個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{1,3}\right)$ であるものは， $B_{1,3}$ と $B_{1,4}$ と $B_{1,5}$ と $B_{1,6}$ と $B_{2,7}$ と $B_{3,7}$ と $B_{4,7}$ と $B_{5,7}$ の8個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{1,7}\right)$ であるものは， $B_{1,7}$ の1個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{2,3}\right)$ であるものは， $B_{2,3}$ と $B_{3,4}$ と $B_{4,5}$ と $B_{5,6}$ の4個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{2,4}\right)$ であるものは， $B_{2,4}$ と $B_{2,5}$ と $B_{2,6}$ と $B_{3,5}$ と $B_{3,6}$ と $B_{4,6}$ の6個……(答)

(ⅴ)
題意を満たす取り出し方をした場合，最終的に袋Bには玉2,4,6が入っている．
3回目の操作で玉6を袋Bに入れて題意を満たす場合，2回目の操作終了後に袋に玉2,4が入っていて(このとき袋Aには玉1,5,6,6,7,7の計6個が入っている)，そこに玉3を入れれば良いため，その確率は，
$P\left(B_{2,4}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}$
同様に，3回目の操作で玉4を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は，
$P\left(B_{2,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}$
であり，3回目の操作で玉2を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は，
$P\left(B_{4,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}$
である．これらは排反であるため，求める確率は，和の法則より，
$\frac{2}{105}+\frac{2}{105}+\frac{2}{105}=\frac{2}{35}$ ……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.01

方針の立て方殆ど基本問題であるため，特筆事項なし．を求めるときは，座標は角度の問題に弱いため，内積に持ち込むことを考える．点が次々と定義されていくため，簡単に図にまとめると題意をつかみやすい．解答例 (24) (25) (26) (27) (28) (29)(30) (31) (32) (33

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方針の立て方
殆ど基本問題であるため，特筆事項なし．
$\angle\mathrm{ACP}$ を求めるときは，座標は角度の問題に弱いため，内積に持ち込むことを考える．点が次々と定義されていくため，簡単に図にまとめると題意をつかみやすい．

解答例
(24) $4$
(25) $2$
(26) $0$
(27) $4$
(28) $0$
(29)(30) $-3$
(31) $5$
(32) $4$
(33) $8$
(34) $4$
(35) $3$
(36) $9$
(37) $6$
(38) $3$
(39)(40) $\frac{1}{6}$
(41)(42) $\frac{1}{2}$

解説
〇点 $\mathrm{A}$ と中心 $\mathrm{B}$ および半径((24)～(31)について)
$x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9$
よって，球面 $S$ は点 $\left(4,2,-3\right)$ を中心とする半径3の球面である．よって $xy$ 平面( $z=0$ )との接点 $\mathrm{A}$ の座標は $\left(4,2,0\right)$ ……(答)
また， $zx$ 平面( $y=0$ )との交わりは，
$\left(x-4\right)^2+\left(0-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(z+3\right)^2=5$
であり，これは中心 $\mathrm{B}\left(4,0,-3\right)$ ，半径 $\sqrt5$ の円を表す．……(答)
〇点 $\mathrm{P}$ ((32)～(38)について)
$\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OB}}$
である． $\vec{\mathrm{OA}}=\left(4,2,0\right),\vec{\mathrm{OB}}=\left(4,0,-3\right)$ より，
$\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\left(4,2,0\right)+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\left(4,0,-3\right)=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)$
よって，点 $\mathrm{P}$ の座標は $\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)$ ……(答)

〇 $\angle\mathrm{ACP}$ ((39)と(40)について)
$\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,-3\right)$ より，
$\vec{\mathrm{CA}}=\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,0\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,0,3\right)$
$\vec{\mathrm{CP}}=\vec{\mathrm{OP}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,6+4\sqrt3,12+6\sqrt3\right)$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|=3,\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|=\sqrt{0^2+\left(6+4\sqrt3\right)^2+\left(12+6\sqrt3\right)^2}=4\sqrt{21+12\sqrt3},\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=0\cdot0+0\cdot\left(6+4\sqrt3\right)+3\cdot\left(12+6\sqrt3\right)=18\left(2+\sqrt3\right)$
一方で，
$\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|\cos{\angle\mathrm{ACP}}=12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}$
とも表せるため，
$12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}=18\left(2+\sqrt3\right)\Leftrightarrow\cos{\angle\mathrm{ACP}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)}{2\sqrt{21+12\sqrt3}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)\sqrt{21-12\sqrt3}}{2\sqrt{\left(21+12\sqrt3\right)\left(21-12\sqrt3\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2\left(21-12\sqrt3\right)}=\frac{\sqrt3}{2} \therefore\angle\mathrm{ACP}=\frac{1}{6}\pi$ ……(答)

〇円弧((41)と(42)について)
球面 $S$ ，点 $\mathrm{B}$ ，点 $\mathrm{C}$ ，点 $\mathrm{P}$ の位置関係を図示すると，下図のようになる．

これより，三角形 $\mathrm{BPC}$ の辺および内部が球面 $S$ と交わってできる図形は，長さ $3\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\pi$ の円弧である．……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.01

方針の立て方殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし．最後の面積は，円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である．円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため，解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう．解答例 (ⅰ) (ウ) (ⅱ) (4) (5) (6) (7)(8) (9) (1

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方針の立て方
殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし．
最後の面積は，円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である．円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため，解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう．

解答例
(ⅰ)
(ウ) $4a\left(c-a\right)$

(ⅱ)
(4) $1$
(5) $2$
(6) $2$
(7)(8) $-1$
(9) $2$
(10)(11) $-2$

(ⅲ)
(エ) $8a^2+2$

(ⅳ)
(12)(13) $\frac{1}{2}$
(14)(15) $-2$
(16)(17) $\frac{5}{2}$
(18) $1$
(19) $1$
(20)(21) $\frac{7}{3}$
(22)(23) $\frac{1}{2}$

解説
(ⅰ)(ⅱ)
$f^\prime\left(x\right)=2ax+b$
放物線 $y=f\left(x\right)$ と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の接点を $\left(t,at^2+bt+c\right)$ とすると，接線は $y=\left(2at+b\right)x-at^2+c$ と表せる．これが $y=f^\prime\left(x\right)$ と一致するので，係数比較すると，
$\begin{cases} 2at+b=2a \\ -at^2+c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=1-\frac{b}{2a} \\ b^2=4a\left(c-a\right) \end{cases}$
よって， $b^2=4a\left(c-a\right)$ ……(答)
また， $t=1-\frac{b}{2a},b^2=4a\left(c-a\right)\Leftrightarrow c=a+\frac{b^2}{4a}$ より接点の座標は，
$\left(1-\frac{b}{2a},a\left(1-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(1-\frac{b}{2a}\right)+a+\frac{b^2}{4a}\right)=\left(1-\frac{b}{2a},2a\right)$ ……(答)
放物線 $y=-f\left(x\right)$ と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の接点についても，同様に考える．接点を $\left(t,-at^2-bt-c\right)$ とおくと， $y^\prime=-f^\prime\left(x\right)=-2ax-b$ より，接線は $y=-\left(2at+b\right)x+at^2-c$ と表せる．これが $y=f^\prime\left(x\right)$ と一致するので，係数比較すると，
$\begin{cases} -\left(2at+b\right)=2a \\ at^2-c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=-1-\frac{b}{2a} \\ c=a+\frac{b^2}{4a} \end{cases}$
よって，接点 $\mathrm{P}$ の座標は，
$\left(-1-\frac{b}{2a},-a\left(-1-\frac{b}{2a}\right)^2-b\left(-1-\frac{b}{2a}\right)-\left(a+\frac{b^2}{4a}\right)\right)=\left(-1-\frac{b}{2a},-2a\right)$ ……(答)

(ⅲ)
原点と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の距離は，点と直線の距離の公式より $\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}$ ．よって，直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ が原点を中心とする半径 $\sqrt2$ の円 $\mathrm{O}$ と接するための必要十分条件は，
$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}=\sqrt2\Leftrightarrow b^2=8a^2+2$ ……(答)

(ⅳ)
接点 $\mathrm{Q}$ の座標は，円 $\mathrm{O}$ の式が $x^2+y^2=2$ であることより，
$\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=2ax+b \end{cases}$
$b^2=8a^2+2$ を用いてこれを解くと，
$\left(x,y\right)=\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)$ 　(重解)
となる．よって，接点 $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)$ ．
これが点 $\mathrm{P}$ と一致するのは，
$\begin{cases} -1-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{b} \\ -2a=\frac{2}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)\left(-\frac{1}{2},2\right)$
$a$ は正の実数のため， $\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)$ が適当．これを条件(A)の式： $c=a+\frac{b^2}{4a}$ に代入すると， $c=\frac{5}{2}$ ．
$\therefore a=\frac{1}{2},b=-2,c=\frac{5}{2}$ ……(答)
このとき，円 $\mathrm{O}$ と放物線 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$ の共有点は，
$\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$
より， $\left(1,1\right)$ ……(答)
放物線 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$ ，直線 $y=f^\prime\left(x\right)=x-2$ ，円 $\mathrm{O}$ ： $x^2+y^2=2$ を図示すると，

上図．点 $\left(0,0\right),\left(1,-1\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)$ の4点を頂点とする正方形内について考えると，題意を満たす領域の面積は，正方形から四分円を引いた面積と等しくなるため，
$\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2$
と書ける．
よって，求める面積は，
$\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2+\int_{1}^{2}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(-x+2\right)\right\}dx+\int_{2}^{3}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(x-2\right)\right\}dx=2-\frac{1}{2}\pi+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_1^2+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x\right]_2^3=\frac{7}{3}-\frac{1}{2}\pi$ ……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.01

方針の立て方 (ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため，特筆事項なし．解答例 (ⅰ) (1) (2) (3) (ⅱ) (ア) (イ) 解説 (ⅰ) は初項，公比の等比数列であるから，である．〇を満たす((1)について) の場合，であるから，を満たすには，であれば必要十分．のとき，この不等式は満た

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方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため，特筆事項なし．

解答例
(ⅰ)
(1) $9$
(2) $3$
(3) $\begin{cases} 2 \left(k=1\right) \\ 3 \left(k=5,10\right) \end{cases}$
(ⅱ)
(ア) $\alpha=0,\pi$
(イ) $\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi$

解説
(ⅰ)
$\left\{S_n\right\}$ は初項 $k$ ，公比 $k$ の等比数列であるから，
$S_n=k\cdot k^{n-1}=k^n$
である．
$\therefore a_1=S_1=k,a_n=S_n-S_{n-1}=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)$
〇 $a_n\geqq5000$ を満たす $n$ ((1)について)
$k=3$ の場合， $a_1=3,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であるから， $a_n\geqq5000$ を満たすには，
$2\cdot3^{n-1}\geqq5000$
であれば必要十分． $n\geqq9$ のとき，この不等式は満たされる．
$\therefore n\geqq9$ ……(答)
〇 $a_n$ が100の倍数となる $n$ が存在する場合((2)と(3)について)
10以下の自然数 $k$ で $a_1\left(=k\right)$ が100の倍数となることはない．
10以下の自然数 $k$ の内， $a_n=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ が $100\left(=2^2\cdot5^2\right)$ の倍数となる $n$ が存在するものを考える．
$k=1$ のとき， $a_n=0\left(n\geqq2\right)$ であり，これは任意の $n$ で100の倍数となる．
$k=2$ のとき， $a_n=2^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=3$ のとき， $a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=4$ のとき， $a_n=3\cdot4^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=5$ のとき， $a_n=2^2\cdot5^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，これは $n-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3$ のとき100の倍数となる．
$k=6$ のとき， $a_n=5\cdot6^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を1つしか含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=7$ のとき， $a_n=6\cdot7^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=8$ のとき， $a_n=7\cdot8^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=9$ のとき， $a_n=8\cdot9^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=10$ のとき， $a_n=9\cdot{10}^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，これは $n-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3$ のとき100の倍数となる．
以上より， $a_n$ が100の倍数となる $n$ が存在するような10以下の自然数 $k$ は $k=1,5,10$ の3つ……(答)
また，このとき， $a_n$ が100の倍数となるのは， $\begin{cases} n\geqq2 \left(k=1\right) \\ n\geqq3 \left(k=5,10\right) \end{cases}$ のとき……(答)

(ⅱ)
$\begin{cases} X=\sin{t} \\ Y=\sin{\left(t+\alpha\right)} \end{cases}$
とおくと，加法定理より，
$Y=\sin{\left(t+\alpha\right)}=\sin{t}\cos{\alpha}+\cos{t}\sin{\alpha}$
であるから，
$Y=\begin{cases} \cos{\alpha}\cdot X+\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\leqq t\leqq2\pi\right) \\ \cos{\alpha}\cdot X-\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(\frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{2}\pi\right) \end{cases}$
となる．
〇 $T$ が線分となるような $\alpha$ の値((ア)について)
$T$ が線分となるのは $\sqrt{1-X^2}$ の係数 $\sin{\alpha}$ が0となるとき．
$\therefore\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=0,\pi$ ……(答)
〇 $T$ が原点を中心とする円となるような $\alpha$ の値((イ)について)
$T$ が原点を中心とする円となるのは $X$ の係数 $\cos{\alpha}$ が0となるとき(そのとき $\sin{\alpha}=\pm1$ となり $T$ の式は $x^2+y^2=1$ となる)．
$\therefore\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi$ ……(答)