偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 資料請求
  • 資料請求
  • カウンセリング
  • お電話

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問4

2019.10.01

方針の立て方 どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる.然程複雑な操作・計算ではないため,ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる. 最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので,それを利用することを考える.これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると,最終的に袋Bには

  • …続きを読む
  • 方針の立て方
    どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる.然程複雑な操作・計算ではないため,ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる.
    最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので,それを利用することを考える.これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると,最終的に袋Bには玉2,4,6しか許されないことが分かる.よって,2回目の袋Bの中の玉の内訳で3回目に取り出さねばならない玉の番号が決まる.逆に言えば,3回目にどの番号の玉を取り出すかを決めると,2回目の操作終了後の袋Bに入っている玉が一意的に決まることになる.これより,3回目の操作で袋Bに入れる玉の番号で場合分けして考えるという解法が立つ.

    解答例
    (ⅰ)
    (43)(44)(45)\frac{1}{10}

    (ⅱ)
    (46)(47)(48)\frac{1}{70}

    (ⅲ)
    (49)1
    (50)1
    (51)3
    (52)(53)(54)\frac{3}{55}
    (55)(56)(57)\frac{4}{77}
    (58)(59)(60)\frac{1}{35}
    (61)(62)(63)\frac{2}{35}

    (ⅳ)
    (64)2
    (65)8
    (66)1
    (67)4
    (68)6

    (ⅴ)
    (69)(70)(71)\frac{2}{35}

    解説
    (ⅰ)
    1回目の操作が終わった後,袋Aには玉1,1,2,2,3,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている.
    よって,求める確率は,\frac{1}{10}……(答)

    (ⅱ)
    1回目の操作で玉2が袋Bに入れられる確率は,\frac{2}{14}=\frac{1}{7}
    1回目の操作が終わった後,袋Aには玉1,3,4,4,5,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている.
    よって,2回目の操作で玉1が袋Bに入れられる確率は\frac{1}{10}
    これら二つの事象は独立であるので,積の法則より,求める確率は,
    \frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{70}……(答)

    (ⅲ)
    事象B_{1,2}に該当するのは,「1回目の操作で玉1,2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象と「1回目の操作で玉2,2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象.
    前問と同様に考えれば,「1回目の操作で玉1,2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は\frac{2}{14}\times\frac{1}{11}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11},「1回目の操作で玉2,2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}
    \therefore P\left(B_{1,2}\right)=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11}+\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{3}{110}……(答)
    同様に考えると,
    P\left(B_{1,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{3}{55}……(答)
    P\left(B_{1,7}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}=\frac{4}{77}……(答)
    P\left(B_{2,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{35}……(答)
    P\left(B_{2,4}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{2}{35}……(答)

    (ⅳ)
    起こる確率がP\left(B_{1,2}\right)であるものは,B_{1,2}B_{6,7}の2個……(答)
    起こる確率がP\left(B_{1,3}\right)であるものは,B_{1,3}B_{1,4}B_{1,5}B_{1,6}B_{2,7}B_{3,7}B_{4,7}B_{5,7}の8個……(答)
    起こる確率がP\left(B_{1,7}\right)であるものは,B_{1,7}の1個……(答)
    起こる確率がP\left(B_{2,3}\right)であるものは,B_{2,3}B_{3,4}B_{4,5}B_{5,6}の4個……(答)
    起こる確率がP\left(B_{2,4}\right)であるものは,B_{2,4}B_{2,5}B_{2,6}B_{3,5}B_{3,6}B_{4,6}の6個……(答)

    (ⅴ)
    題意を満たす取り出し方をした場合,最終的に袋Bには玉2,4,6が入っている.
    3回目の操作で玉6を袋Bに入れて題意を満たす場合,2回目の操作終了後に袋に玉2,4が入っていて(このとき袋Aには玉1,5,6,6,7,7の計6個が入っている),そこに玉3を入れれば良いため,その確率は,
    P\left(B_{2,4}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}
    同様に,3回目の操作で玉4を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は,
    P\left(B_{2,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}
    であり,3回目の操作で玉2を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は,
    P\left(B_{4,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}
    である.これらは排反であるため,求める確率は,和の法則より,
    \frac{2}{105}+\frac{2}{105}+\frac{2}{105}=\frac{2}{35}……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問3

2019.10.01

方針の立て方 殆ど基本問題であるため,特筆事項なし. を求めるときは,座標は角度の問題に弱いため,内積に持ち込むことを考える.点が次々と定義されていくため,簡単に図にまとめると題意をつかみやすい. 解答例 (24) (25) (26) (27) (28) (29)(30) (31) (32) (33

  • …続きを読む
  • 方針の立て方
    殆ど基本問題であるため,特筆事項なし.
    \angle\mathrm{ACP}を求めるときは,座標は角度の問題に弱いため,内積に持ち込むことを考える.点が次々と定義されていくため,簡単に図にまとめると題意をつかみやすい.

    解答例
    (24)4
    (25)2
    (26)0
    (27)4
    (28)0
    (29)(30)-3
    (31)5
    (32)4
    (33)8
    (34)4
    (35)3
    (36)9
    (37)6
    (38)3
    (39)(40)\frac{1}{6}
    (41)(42)\frac{1}{2}

    解説
    〇点\mathrm{A}と中心\mathrm{B}および半径((24)~(31)について)
    x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9
    よって,球面Sは点\left(4,2,-3\right)を中心とする半径3の球面である.よってxy平面(z=0)との接点\mathrm{A}の座標は\left(4,2,0\right)……(答)
    また,zx平面(y=0)との交わりは,
    \left(x-4\right)^2+\left(0-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(z+3\right)^2=5
    であり,これは中心\mathrm{B}\left(4,0,-3\right),半径\sqrt5の円を表す.……(答)
    〇点\mathrm{P}((32)~(38)について)
    \vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OB}}
    である.\vec{\mathrm{OA}}=\left(4,2,0\right),\vec{\mathrm{OB}}=\left(4,0,-3\right)より,
    \vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\left(4,2,0\right)+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\left(4,0,-3\right)=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)
    よって,点\mathrm{P}の座標は\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)……(答)

    \angle\mathrm{ACP}((39)と(40)について)
    \vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,-3\right)より,
    \vec{\mathrm{CA}}=\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,0\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,0,3\right)
    \vec{\mathrm{CP}}=\vec{\mathrm{OP}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,6+4\sqrt3,12+6\sqrt3\right)
    \therefore\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|=3,\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|=\sqrt{0^2+\left(6+4\sqrt3\right)^2+\left(12+6\sqrt3\right)^2}=4\sqrt{21+12\sqrt3},\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=0\cdot0+0\cdot\left(6+4\sqrt3\right)+3\cdot\left(12+6\sqrt3\right)=18\left(2+\sqrt3\right)
    一方で,
    \vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|\cos{\angle\mathrm{ACP}}=12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}
    とも表せるため,
    12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}=18\left(2+\sqrt3\right)\Leftrightarrow\cos{\angle\mathrm{ACP}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)}{2\sqrt{21+12\sqrt3}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)\sqrt{21-12\sqrt3}}{2\sqrt{\left(21+12\sqrt3\right)\left(21-12\sqrt3\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2\left(21-12\sqrt3\right)}=\frac{\sqrt3}{2} \therefore\angle\mathrm{ACP}=\frac{1}{6}\pi……(答)

    〇円弧((41)と(42)について)
    球面S,点\mathrm{B},点\mathrm{C},点\mathrm{P}の位置関係を図示すると,下図のようになる.

    これより,三角形\mathrm{BPC}の辺および内部が球面Sと交わってできる図形は,長さ3\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\piの円弧である.……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問2

2019.10.01

方針の立て方 殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし. 最後の面積は,円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である.円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため,解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう. 解答例 (ⅰ) (ウ) (ⅱ) (4) (5) (6) (7)(8) (9) (1

  • …続きを読む
  • 方針の立て方
    殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし.
    最後の面積は,円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である.円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため,解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう.

    解答例
    (ⅰ)
    (ウ)4a\left(c-a\right)

    (ⅱ)
    (4)1
    (5)2
    (6)2
    (7)(8)-1
    (9)2
    (10)(11)-2

    (ⅲ)
    (エ)8a^2+2

    (ⅳ)
    (12)(13)\frac{1}{2}
    (14)(15)-2
    (16)(17)\frac{5}{2}
    (18)1
    (19)1
    (20)(21)\frac{7}{3}
    (22)(23)\frac{1}{2}

    解説
    (ⅰ)(ⅱ)
    f^\prime\left(x\right)=2ax+b
    放物線y=f\left(x\right)と直線y=f^\prime\left(x\right)の接点を\left(t,at^2+bt+c\right)とすると,接線はy=\left(2at+b\right)x-at^2+cと表せる.これがy=f^\prime\left(x\right)と一致するので,係数比較すると,
    \begin{cases} 2at+b=2a \\ -at^2+c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=1-\frac{b}{2a} \\ b^2=4a\left(c-a\right) \end{cases}
    よって,b^2=4a\left(c-a\right)……(答)
    また,t=1-\frac{b}{2a},b^2=4a\left(c-a\right)\Leftrightarrow c=a+\frac{b^2}{4a}より接点の座標は,
    \left(1-\frac{b}{2a},a\left(1-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(1-\frac{b}{2a}\right)+a+\frac{b^2}{4a}\right)=\left(1-\frac{b}{2a},2a\right)……(答)
    放物線y=-f\left(x\right)と直線y=f^\prime\left(x\right)の接点についても,同様に考える.接点を\left(t,-at^2-bt-c\right)とおくと,y^\prime=-f^\prime\left(x\right)=-2ax-bより,接線はy=-\left(2at+b\right)x+at^2-cと表せる.これがy=f^\prime\left(x\right)と一致するので,係数比較すると,
    \begin{cases} -\left(2at+b\right)=2a \\ at^2-c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=-1-\frac{b}{2a} \\ c=a+\frac{b^2}{4a} \end{cases}
    よって,接点\mathrm{P}の座標は,
    \left(-1-\frac{b}{2a},-a\left(-1-\frac{b}{2a}\right)^2-b\left(-1-\frac{b}{2a}\right)-\left(a+\frac{b^2}{4a}\right)\right)=\left(-1-\frac{b}{2a},-2a\right)……(答)

    (ⅲ)
    原点と直線y=f^\prime\left(x\right)の距離は,点と直線の距離の公式より\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}.よって,直線y=f^\prime\left(x\right)が原点を中心とする半径\sqrt2の円\mathrm{O}と接するための必要十分条件は,
    \frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}=\sqrt2\Leftrightarrow b^2=8a^2+2……(答)

    (ⅳ)
    接点\mathrm{Q}の座標は,円\mathrm{O}の式がx^2+y^2=2であることより,
    \begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=2ax+b \end{cases}
    b^2=8a^2+2を用いてこれを解くと,
    \left(x,y\right)=\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right) (重解)
    となる.よって,接点\mathrm{Q}の座標は\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)
    これが点\mathrm{P}と一致するのは,
    \begin{cases} -1-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{b} \\ -2a=\frac{2}{b} \end{cases}
    \Leftrightarrow\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)\left(-\frac{1}{2},2\right)
    aは正の実数のため,\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)が適当.これを条件(A)の式:c=a+\frac{b^2}{4a}に代入すると,c=\frac{5}{2}
    \therefore a=\frac{1}{2},b=-2,c=\frac{5}{2}……(答)
    このとき,円\mathrm{O}と放物線y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}の共有点は,
    \begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(1,1\right)
    より,\left(1,1\right)……(答)
    放物線y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2},直線y=f^\prime\left(x\right)=x-2,円\mathrm{O}x^2+y^2=2を図示すると,

    上図.点\left(0,0\right),\left(1,-1\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)の4点を頂点とする正方形内について考えると,題意を満たす領域の面積は,正方形から四分円を引いた面積と等しくなるため,
    \left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2
    と書ける.
    よって,求める面積は,
    \left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2+\int_{1}^{2}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(-x+2\right)\right\}dx+\int_{2}^{3}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(x-2\right)\right\}dx=2-\frac{1}{2}\pi+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_1^2+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x\right]_2^3=\frac{7}{3}-\frac{1}{2}\pi……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問1

2019.10.01

方針の立て方 (ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため,特筆事項なし. 解答例 (ⅰ) (1) (2) (3) (ⅱ) (ア) (イ) 解説 (ⅰ) は初項,公比の等比数列であるから, である. 〇を満たす((1)について) の場合,であるから,を満たすには, であれば必要十分.のとき,この不等式は満た

  • …続きを読む
  • 方針の立て方
    (ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため,特筆事項なし.

    解答例
    (ⅰ)
    (1)9
    (2)3
    (3)\begin{cases} 2  \left(k=1\right) \\ 3  \left(k=5,10\right) \end{cases}
    (ⅱ)
    (ア)\alpha=0,\pi
    (イ)\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi

    解説
    (ⅰ)
    \left\{S_n\right\}は初項k,公比kの等比数列であるから,
    S_n=k\cdot k^{n-1}=k^n
    である.
    \therefore a_1=S_1=k,a_n=S_n-S_{n-1}=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)
    a_n\geqq5000を満たすn((1)について)
    k=3の場合,a_1=3,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)であるから,a_n\geqq5000を満たすには,
    2\cdot3^{n-1}\geqq5000
    であれば必要十分.n\geqq9のとき,この不等式は満たされる.
    \therefore n\geqq9……(答)
    a_nが100の倍数となるnが存在する場合((2)と(3)について)
    10以下の自然数ka_1\left(=k\right)が100の倍数となることはない.
    10以下の自然数kの内,a_n=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)100\left(=2^2\cdot5^2\right)の倍数となるnが存在するものを考える.
    k=1のとき,a_n=0\left(n\geqq2\right)であり,これは任意のnで100の倍数となる.
    k=2のとき,a_n=2^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=3のとき,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=4のとき,a_n=3\cdot4^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=5のとき,a_n=2^2\cdot5^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,これはn-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3のとき100の倍数となる.
    k=6のとき,a_n=5\cdot6^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を1つしか含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=7のとき,a_n=6\cdot7^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=8のとき,a_n=7\cdot8^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=9のとき,a_n=8\cdot9^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
    k=10のとき,a_n=9\cdot{10}^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,これはn-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3のとき100の倍数となる.
    以上より,a_nが100の倍数となるnが存在するような10以下の自然数kk=1,5,10の3つ……(答)
    また,このとき,a_nが100の倍数となるのは,\begin{cases} n\geqq2  \left(k=1\right) \\ n\geqq3  \left(k=5,10\right) \end{cases}のとき……(答)

    (ⅱ)
    \begin{cases} X=\sin{t} \\ Y=\sin{\left(t+\alpha\right)} \end{cases}
    とおくと,加法定理より,
    Y=\sin{\left(t+\alpha\right)}=\sin{t}\cos{\alpha}+\cos{t}\sin{\alpha}
    であるから,
    Y=\begin{cases} \cos{\alpha}\cdot X+\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\leqq t\leqq2\pi\right) \\ \cos{\alpha}\cdot X-\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(\frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{2}\pi\right) \end{cases}
    となる.
    Tが線分となるような\alphaの値((ア)について)
    Tが線分となるのは\sqrt{1-X^2}の係数\sin{\alpha}が0となるとき.
    \therefore\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=0,\pi……(答)
    Tが原点を中心とする円となるような\alphaの値((イ)について)
    Tが原点を中心とする円となるのはXの係数\cos{\alpha}が0となるとき(そのとき\sin{\alpha}=\pm1となりTの式はx^2+y^2=1となる).
    \therefore\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi……(答)

LINE

  • 偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 早稲田校舎 : 〒162-0045
    東京都新宿区馬場下町9-7 ハイライフホーム早稲田駅前ビル4階
    TEL: 03-6884-7991
    営業時間: 月〜土 13:00-21:30 
  • 武蔵小杉校舎 : 〒211-0068
    神奈川県川崎市中原区小杉御殿町2丁目67セラヴィ小杉ビル4F
    TEL:044-819-6333
    営業時間: 月〜土 13:00-21:30 
  • Facebook Twitter
    Page Top

Copyright © BETELGEUSE corporation All Rights Reserved.