偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2016

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
殆ど基本問題であるため,特筆事項なし.
\angle\mathrm{ACP}を求めるときは,座標は角度の問題に弱いため,内積に持ち込むことを考える.点が次々と定義されていくため,簡単に図にまとめると題意をつかみやすい.

解答例
(24)4
(25)2
(26)0
(27)4
(28)0
(29)(30)-3
(31)5
(32)4
(33)8
(34)4
(35)3
(36)9
(37)6
(38)3
(39)(40)\frac{1}{6}
(41)(42)\frac{1}{2}

解説
〇点\mathrm{A}と中心\mathrm{B}および半径((24)~(31)について)
x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9
よって,球面Sは点\left(4,2,-3\right)を中心とする半径3の球面である.よってxy平面(z=0)との接点\mathrm{A}の座標は\left(4,2,0\right)……(答)
また,zx平面(y=0)との交わりは,
\left(x-4\right)^2+\left(0-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(z+3\right)^2=5
であり,これは中心\mathrm{B}\left(4,0,-3\right),半径\sqrt5の円を表す.……(答)
〇点\mathrm{P}((32)~(38)について)
\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OB}}
である.\vec{\mathrm{OA}}=\left(4,2,0\right),\vec{\mathrm{OB}}=\left(4,0,-3\right)より,
\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\left(4,2,0\right)+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\left(4,0,-3\right)=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)
よって,点\mathrm{P}の座標は\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)……(答)

\angle\mathrm{ACP}((39)と(40)について)
\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,-3\right)より,
\vec{\mathrm{CA}}=\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,0\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,0,3\right)
\vec{\mathrm{CP}}=\vec{\mathrm{OP}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,6+4\sqrt3,12+6\sqrt3\right)
\therefore\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|=3,\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|=\sqrt{0^2+\left(6+4\sqrt3\right)^2+\left(12+6\sqrt3\right)^2}=4\sqrt{21+12\sqrt3},\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=0\cdot0+0\cdot\left(6+4\sqrt3\right)+3\cdot\left(12+6\sqrt3\right)=18\left(2+\sqrt3\right)
一方で,
\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|\cos{\angle\mathrm{ACP}}=12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}
とも表せるため,
12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}=18\left(2+\sqrt3\right)\Leftrightarrow\cos{\angle\mathrm{ACP}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)}{2\sqrt{21+12\sqrt3}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)\sqrt{21-12\sqrt3}}{2\sqrt{\left(21+12\sqrt3\right)\left(21-12\sqrt3\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2\left(21-12\sqrt3\right)}=\frac{\sqrt3}{2} \therefore\angle\mathrm{ACP}=\frac{1}{6}\pi……(答)

〇円弧((41)と(42)について)
球面S,点\mathrm{B},点\mathrm{C},点\mathrm{P}の位置関係を図示すると,下図のようになる.

これより,三角形\mathrm{BPC}の辺および内部が球面Sと交わってできる図形は,長さ3\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\piの円弧である.……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。