偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2016

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし.
最後の面積は,円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である.円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため,解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう.

解答例
(ⅰ)
(ウ)4a\left(c-a\right)

(ⅱ)
(4)1
(5)2
(6)2
(7)(8)-1
(9)2
(10)(11)-2

(ⅲ)
(エ)8a^2+2

(ⅳ)
(12)(13)\frac{1}{2}
(14)(15)-2
(16)(17)\frac{5}{2}
(18)1
(19)1
(20)(21)\frac{7}{3}
(22)(23)\frac{1}{2}

解説
(ⅰ)(ⅱ)
f^\prime\left(x\right)=2ax+b
放物線y=f\left(x\right)と直線y=f^\prime\left(x\right)の接点を\left(t,at^2+bt+c\right)とすると,接線はy=\left(2at+b\right)x-at^2+cと表せる.これがy=f^\prime\left(x\right)と一致するので,係数比較すると,
\begin{cases} 2at+b=2a \\ -at^2+c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=1-\frac{b}{2a} \\ b^2=4a\left(c-a\right) \end{cases}
よって,b^2=4a\left(c-a\right)……(答)
また,t=1-\frac{b}{2a},b^2=4a\left(c-a\right)\Leftrightarrow c=a+\frac{b^2}{4a}より接点の座標は,
\left(1-\frac{b}{2a},a\left(1-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(1-\frac{b}{2a}\right)+a+\frac{b^2}{4a}\right)=\left(1-\frac{b}{2a},2a\right)……(答)
放物線y=-f\left(x\right)と直線y=f^\prime\left(x\right)の接点についても,同様に考える.接点を\left(t,-at^2-bt-c\right)とおくと,y^\prime=-f^\prime\left(x\right)=-2ax-bより,接線はy=-\left(2at+b\right)x+at^2-cと表せる.これがy=f^\prime\left(x\right)と一致するので,係数比較すると,
\begin{cases} -\left(2at+b\right)=2a \\ at^2-c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=-1-\frac{b}{2a} \\ c=a+\frac{b^2}{4a} \end{cases}
よって,接点\mathrm{P}の座標は,
\left(-1-\frac{b}{2a},-a\left(-1-\frac{b}{2a}\right)^2-b\left(-1-\frac{b}{2a}\right)-\left(a+\frac{b^2}{4a}\right)\right)=\left(-1-\frac{b}{2a},-2a\right)……(答)

(ⅲ)
原点と直線y=f^\prime\left(x\right)の距離は,点と直線の距離の公式より\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}.よって,直線y=f^\prime\left(x\right)が原点を中心とする半径\sqrt2の円\mathrm{O}と接するための必要十分条件は,
\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}=\sqrt2\Leftrightarrow b^2=8a^2+2……(答)

(ⅳ)
接点\mathrm{Q}の座標は,円\mathrm{O}の式がx^2+y^2=2であることより,
\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=2ax+b \end{cases}
b^2=8a^2+2を用いてこれを解くと,
\left(x,y\right)=\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right) (重解)
となる.よって,接点\mathrm{Q}の座標は\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)
これが点\mathrm{P}と一致するのは,
\begin{cases} -1-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{b} \\ -2a=\frac{2}{b} \end{cases}
\Leftrightarrow\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)\left(-\frac{1}{2},2\right)
aは正の実数のため,\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)が適当.これを条件(A)の式:c=a+\frac{b^2}{4a}に代入すると,c=\frac{5}{2}
\therefore a=\frac{1}{2},b=-2,c=\frac{5}{2}……(答)
このとき,円\mathrm{O}と放物線y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}の共有点は,
\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(1,1\right)
より,\left(1,1\right)……(答)
放物線y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2},直線y=f^\prime\left(x\right)=x-2,円\mathrm{O}x^2+y^2=2を図示すると,

上図.点\left(0,0\right),\left(1,-1\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)の4点を頂点とする正方形内について考えると,題意を満たす領域の面積は,正方形から四分円を引いた面積と等しくなるため,
\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2
と書ける.
よって,求める面積は,
\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2+\int_{1}^{2}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(-x+2\right)\right\}dx+\int_{2}^{3}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(x-2\right)\right\}dx=2-\frac{1}{2}\pi+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_1^2+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x\right]_2^3=\frac{7}{3}-\frac{1}{2}\pi……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。