方針の立て方
殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし．
最後の面積は，円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である．円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため，解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう．

解答例
(ⅰ)
(ウ) $4a\left(c-a\right)$

(ⅱ)
(4) $1$
(5) $2$
(6) $2$
(7)(8) $-1$
(9) $2$
(10)(11) $-2$

(ⅲ)
(エ) $8a^2+2$

(ⅳ)
(12)(13) $\frac{1}{2}$
(14)(15) $-2$
(16)(17) $\frac{5}{2}$
(18) $1$
(19) $1$
(20)(21) $\frac{7}{3}$
(22)(23) $\frac{1}{2}$

解説
(ⅰ)(ⅱ)
$f^\prime\left(x\right)=2ax+b$
放物線 $y=f\left(x\right)$ と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の接点を $\left(t,at^2+bt+c\right)$ とすると，接線は $y=\left(2at+b\right)x-at^2+c$ と表せる．これが $y=f^\prime\left(x\right)$ と一致するので，係数比較すると，
$\begin{cases} 2at+b=2a \\ -at^2+c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=1-\frac{b}{2a} \\ b^2=4a\left(c-a\right) \end{cases}$
よって， $b^2=4a\left(c-a\right)$ ……(答)
また， $t=1-\frac{b}{2a},b^2=4a\left(c-a\right)\Leftrightarrow c=a+\frac{b^2}{4a}$ より接点の座標は，
$\left(1-\frac{b}{2a},a\left(1-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(1-\frac{b}{2a}\right)+a+\frac{b^2}{4a}\right)=\left(1-\frac{b}{2a},2a\right)$ ……(答)
放物線 $y=-f\left(x\right)$ と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の接点についても，同様に考える．接点を $\left(t,-at^2-bt-c\right)$ とおくと， $y^\prime=-f^\prime\left(x\right)=-2ax-b$ より，接線は $y=-\left(2at+b\right)x+at^2-c$ と表せる．これが $y=f^\prime\left(x\right)$ と一致するので，係数比較すると，
$\begin{cases} -\left(2at+b\right)=2a \\ at^2-c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=-1-\frac{b}{2a} \\ c=a+\frac{b^2}{4a} \end{cases}$
よって，接点 $\mathrm{P}$ の座標は，
$\left(-1-\frac{b}{2a},-a\left(-1-\frac{b}{2a}\right)^2-b\left(-1-\frac{b}{2a}\right)-\left(a+\frac{b^2}{4a}\right)\right)=\left(-1-\frac{b}{2a},-2a\right)$ ……(答)

(ⅲ)
原点と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の距離は，点と直線の距離の公式より $\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}$ ．よって，直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ が原点を中心とする半径 $\sqrt2$ の円 $\mathrm{O}$ と接するための必要十分条件は，
$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}=\sqrt2\Leftrightarrow b^2=8a^2+2$ ……(答)

(ⅳ)
接点 $\mathrm{Q}$ の座標は，円 $\mathrm{O}$ の式が $x^2+y^2=2$ であることより，
$\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=2ax+b \end{cases}$
$b^2=8a^2+2$ を用いてこれを解くと，
$\left(x,y\right)=\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)$ 　(重解)
となる．よって，接点 $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)$ ．
これが点 $\mathrm{P}$ と一致するのは，
$\begin{cases} -1-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{b} \\ -2a=\frac{2}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)\left(-\frac{1}{2},2\right)$
$a$ は正の実数のため， $\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)$ が適当．これを条件(A)の式： $c=a+\frac{b^2}{4a}$ に代入すると， $c=\frac{5}{2}$ ．
$\therefore a=\frac{1}{2},b=-2,c=\frac{5}{2}$ ……(答)
このとき，円 $\mathrm{O}$ と放物線 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$ の共有点は，
$\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$
より， $\left(1,1\right)$ ……(答)
放物線 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$ ，直線 $y=f^\prime\left(x\right)=x-2$ ，円 $\mathrm{O}$ ： $x^2+y^2=2$ を図示すると，

上図．点 $\left(0,0\right),\left(1,-1\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)$ の4点を頂点とする正方形内について考えると，題意を満たす領域の面積は，正方形から四分円を引いた面積と等しくなるため，
$\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2$
と書ける．
よって，求める面積は，
$\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2+\int_{1}^{2}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(-x+2\right)\right\}dx+\int_{2}^{3}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(x-2\right)\right\}dx=2-\frac{1}{2}\pi+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_1^2+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x\right]_2^3=\frac{7}{3}-\frac{1}{2}\pi$ ……(答)