偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應商学部2016

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため,特筆事項なし.

解答例
(ⅰ)
(1)9
(2)3
(3)\begin{cases} 2  \left(k=1\right) \\ 3  \left(k=5,10\right) \end{cases}
(ⅱ)
(ア)\alpha=0,\pi
(イ)\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi

解説
(ⅰ)
\left\{S_n\right\}は初項k,公比kの等比数列であるから,
S_n=k\cdot k^{n-1}=k^n
である.
\therefore a_1=S_1=k,a_n=S_n-S_{n-1}=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)
a_n\geqq5000を満たすn((1)について)
k=3の場合,a_1=3,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)であるから,a_n\geqq5000を満たすには,
2\cdot3^{n-1}\geqq5000
であれば必要十分.n\geqq9のとき,この不等式は満たされる.
\therefore n\geqq9……(答)
a_nが100の倍数となるnが存在する場合((2)と(3)について)
10以下の自然数ka_1\left(=k\right)が100の倍数となることはない.
10以下の自然数kの内,a_n=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)100\left(=2^2\cdot5^2\right)の倍数となるnが存在するものを考える.
k=1のとき,a_n=0\left(n\geqq2\right)であり,これは任意のnで100の倍数となる.
k=2のとき,a_n=2^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=3のとき,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=4のとき,a_n=3\cdot4^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=5のとき,a_n=2^2\cdot5^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,これはn-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3のとき100の倍数となる.
k=6のとき,a_n=5\cdot6^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を1つしか含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=7のとき,a_n=6\cdot7^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=8のとき,a_n=7\cdot8^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=9のとき,a_n=8\cdot9^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,素因数5を含まないため全てのnで100の倍数とはならない.
k=10のとき,a_n=9\cdot{10}^{n-1}\left(n\geqq2\right)であり,これはn-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3のとき100の倍数となる.
以上より,a_nが100の倍数となるnが存在するような10以下の自然数kk=1,5,10の3つ……(答)
また,このとき,a_nが100の倍数となるのは,\begin{cases} n\geqq2  \left(k=1\right) \\ n\geqq3  \left(k=5,10\right) \end{cases}のとき……(答)

(ⅱ)
\begin{cases} X=\sin{t} \\ Y=\sin{\left(t+\alpha\right)} \end{cases}
とおくと,加法定理より,
Y=\sin{\left(t+\alpha\right)}=\sin{t}\cos{\alpha}+\cos{t}\sin{\alpha}
であるから,
Y=\begin{cases} \cos{\alpha}\cdot X+\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\leqq t\leqq2\pi\right) \\ \cos{\alpha}\cdot X-\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(\frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{2}\pi\right) \end{cases}
となる.
Tが線分となるような\alphaの値((ア)について)
Tが線分となるのは\sqrt{1-X^2}の係数\sin{\alpha}が0となるとき.
\therefore\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=0,\pi……(答)
Tが原点を中心とする円となるような\alphaの値((イ)について)
Tが原点を中心とする円となるのはXの係数\cos{\alpha}が0となるとき(そのとき\sin{\alpha}=\pm1となりTの式はx^2+y^2=1となる).
\therefore\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。