方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため，特筆事項なし．

解答例
(ⅰ)
(1) $9$
(2) $3$
(3) $\begin{cases} 2 \left(k=1\right) \\ 3 \left(k=5,10\right) \end{cases}$
(ⅱ)
(ア) $\alpha=0,\pi$
(イ) $\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi$

解説
(ⅰ)
$\left\{S_n\right\}$ は初項 $k$ ，公比 $k$ の等比数列であるから，
$S_n=k\cdot k^{n-1}=k^n$
である．
$\therefore a_1=S_1=k,a_n=S_n-S_{n-1}=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)$
〇 $a_n\geqq5000$ を満たす $n$ ((1)について)
$k=3$ の場合， $a_1=3,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であるから， $a_n\geqq5000$ を満たすには，
$2\cdot3^{n-1}\geqq5000$
であれば必要十分． $n\geqq9$ のとき，この不等式は満たされる．
$\therefore n\geqq9$ ……(答)
〇 $a_n$ が100の倍数となる $n$ が存在する場合((2)と(3)について)
10以下の自然数 $k$ で $a_1\left(=k\right)$ が100の倍数となることはない．
10以下の自然数 $k$ の内， $a_n=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ が $100\left(=2^2\cdot5^2\right)$ の倍数となる $n$ が存在するものを考える．
$k=1$ のとき， $a_n=0\left(n\geqq2\right)$ であり，これは任意の $n$ で100の倍数となる．
$k=2$ のとき， $a_n=2^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=3$ のとき， $a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=4$ のとき， $a_n=3\cdot4^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=5$ のとき， $a_n=2^2\cdot5^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，これは $n-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3$ のとき100の倍数となる．
$k=6$ のとき， $a_n=5\cdot6^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を1つしか含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=7$ のとき， $a_n=6\cdot7^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=8$ のとき， $a_n=7\cdot8^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=9$ のとき， $a_n=8\cdot9^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=10$ のとき， $a_n=9\cdot{10}^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，これは $n-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3$ のとき100の倍数となる．
以上より， $a_n$ が100の倍数となる $n$ が存在するような10以下の自然数 $k$ は $k=1,5,10$ の3つ……(答)
また，このとき， $a_n$ が100の倍数となるのは， $\begin{cases} n\geqq2 \left(k=1\right) \\ n\geqq3 \left(k=5,10\right) \end{cases}$ のとき……(答)

(ⅱ)
$\begin{cases} X=\sin{t} \\ Y=\sin{\left(t+\alpha\right)} \end{cases}$
とおくと，加法定理より，
$Y=\sin{\left(t+\alpha\right)}=\sin{t}\cos{\alpha}+\cos{t}\sin{\alpha}$
であるから，
$Y=\begin{cases} \cos{\alpha}\cdot X+\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\leqq t\leqq2\pi\right) \\ \cos{\alpha}\cdot X-\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(\frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{2}\pi\right) \end{cases}$
となる．
〇 $T$ が線分となるような $\alpha$ の値((ア)について)
$T$ が線分となるのは $\sqrt{1-X^2}$ の係数 $\sin{\alpha}$ が0となるとき．
$\therefore\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=0,\pi$ ……(答)
〇 $T$ が原点を中心とする円となるような $\alpha$ の値((イ)について)
$T$ が原点を中心とする円となるのは $X$ の係数 $\cos{\alpha}$ が0となるとき(そのとき $\sin{\alpha}=\pm1$ となり $T$ の式は $x^2+y^2=1$ となる)．
$\therefore\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi$ ……(答)