2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問1

方針の立て方

(1)
典型問題であり，特筆事項なし．

(2)
実際に題意を満たす碁石の置き方をいくつか考えてみると，順番に並べていく内に，碁石の置き方が１パターンずつ減っていくことが分かり，解法を得る．

(3)
正攻法で考えようとすると，意外と題意を満たす置き方が多いことに気付くので，余事象を数える方が，考えるパターン数が少なくて済むと考える．

解答例
(1)(2)……84
(3)(4)(5)(6)……1820
(7)(8)……06
(9)(10)(11)(12)……0024
(13)(14)……78
(15)(16)(17)(18)……1428

解説

(1)
$n\times n$ で考えると， $n^2$ 個の格子点の内，碁石を置く $n$ 個の点の選び方が ${_{n^2}\mathrm{C}}_n$ 通りあるので， $A_n={_{n^2}\mathrm{C}}_n$ ．
$\therefore A_3={_{3^2}\mathrm{C}}_3={_{9}\mathrm{C}}_3=84$ ……(答)
$\therefore A_4={_{4^2}\mathrm{C}}_4={_{16}\mathrm{C}}_4=1820$ ……(答)

(2)
$n\times n$ で考える．第１列から順番に，題意を満たすように碁石を１個ずつ置いていくと考えると，
第１列での碁石の置き方は $n$ 通り．
第２列での碁石の置き方は，第１列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-1$ 通り．
第３列での碁石の置き方は，第１列と第２列で選んだ行以外の行から選べばいいので， $n-2$ 通り．
$\vdots$
第 $n$ 列での碁石の置き方は，第１列と第２列と……と第 $n-1$ 列で選んだ行以外の行から選べばいいので，１通り．
よって， $B_n=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\cdots\cdots\cdot1=n!$
$\therefore B_3=3!=6$ ……(答)
$\therefore B_4=4!=24$ ……(答)

(3)
〇 $C_3$ について((13)(14)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように３個の碁石が一直線に並んだとき．
上図のように縦一列に並ぶときと，他に横一列に並ぶパターンがある．
よって，題意を満たさない並べ方は６通り．
$\therefore C_3=A_3-6=84-6=78$ ……(答)
〇 $C_4$ について((15)～(18)について)
余事象で考える．

題意を満たさないのは，上図のように４個の碁石が一直線に並んだときと，他に３個の碁石が一直線に並んだとき．
４個の碁石が一直線に並ぶのは，縦一列に並ぶパターンと横一列に並ぶパターンがあり，合計で８通りある．
３個の碁石が一直線に並ぶ場合の数は，４つが一直線に並んだ状態(８通り)から，碁石を１つ選んで(４通り)他の格子点に移動させる(12通り)ことを考えると，
$8\cdot4\cdot12=384$ 通り．
$\therefore C_4=A_4-8-384=1820-8-384=1428$ ……(答)