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慶應総合政策2016

2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

円形の図形と接するときは,まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう.そして,中心と接点を結んだ線を活かすためには,中心とさらにどこか1点を結ぶことが必要となると考えられる.OFを引くと,中心,点E,点O,円と円弧の接点の4点を通って使い道が広いと考え,この線を引くことにする.そうすると,OF=4が成り立つので,これを最終的な等式に使うと考え,必要な情報を集める.

解答例
(55)(56)……36
(57)(58)(59)(60)……\frac{02}{13}
(61)(62)……10
(63)(64)……13

解説

(1)
大円の半径の長さをx寸とおく.また,大円,中円,小円の中心を,それぞれ\mathrm{O},\mathrm{O}^\prime,\mathrm{O}^{\prime\prime}とする.

各円の半径を考えることで,\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime=9+x,\mathrm{O}\mathrm{O}^{\prime\prime}=4+x,\mathrm{O}^\prime\mathrm{O}^{\prime\prime}=13と分かる.
よって,三平方の定理から,図の点線の\mathrm{O}^{\prime\prime}より左側の線分の長さは12,右側の線分の長さは4\sqrt xと分かる.
よって,点線全体の長さは12+4\sqrt xであり,三平方の定理から\mathrm{O}\mathrm{O}^\primeの長さは,\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}と分かる.これと9+xが等しいため,
9+x=\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}
が成り立つ.これを解くと,x=36……(答)

(2)

上図のように,線分ADと線分CBの交点をEとし,直線OEと弧ABとの交点をFとする.また,円の中心とEを結んだ線分の長さをy寸とし,円の半径の長さをx寸とする.
\triangleOBCに対して余弦定理を用いると,
{\rm BC}^2={\rm OC}^2+{\rm OB}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OB}\cdot\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Leftrightarrow{\rm BC}^2=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{5}{8}=12
\thereforeBC=2\sqrt3
角の二等分線の定理よりCE\colonEB=1\colon4であることから,
CE=\frac{2\sqrt3}{5},EB=\frac{8\sqrt3}{5}
\triangleOCEに対して余弦定理を用いると,
{\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB} }
\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{AOB}}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{4}より,
{\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\left(\frac{2\sqrt3}{5}\right)^2=1^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot1\cdot\mathrm{OE}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}
これを解くと,
OE=\frac{2\sqrt{13}}{5},\frac{\sqrt{13}}{10}
OE>1より,
OE=\frac{2\sqrt{13}}{5}
ここで,\angleCEO=\angleDEO=\angleAEFより,
\sin{\angle\mathrm{AEF}}=\sin{\angle\mathrm{CEO}}
正弦定理より,
\frac{1}{\sin{\angle\mathrm{CEO}}}=\frac{\frac{2\sqrt3}{5}}{\sin{\angle\mathrm{COE}}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{CEO}}=\frac{5\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\angle\mathrm{COE} }}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2}}{2\sqrt3}=\frac{5}{8}
であるから,
y=\frac{x}{\sin{\angle\mathrm{AEF}}}=\frac{8}{5}x
線分OFの長さは4寸だから,
\mathrm{OE}+x+y=4\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{13}}{5}+x+\frac{8}{5}x=4\Leftrightarrow x=\frac{2}{13}\left(10-\sqrt{13}\right)……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。