2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の接点の４点を通って使い道が広いと考え，この線を引くことにする．そうすると，OF $=4$ が成り立つので，これを最終的な等式に使うと考え，必要な情報を集める．

解答例
(55)(56)…… $36$
(57)(58)(59)(60)…… $\frac{02}{13}$
(61)(62)…… $10$
(63)(64)…… $13$

解説

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(1)
大円の半径の長さを $x$ 寸とおく．また，大円，中円，小円の中心を，それぞれ $\mathrm{O},\mathrm{O}^\prime,\mathrm{O}^{\prime\prime}$ とする．

各円の半径を考えることで， $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime=9+x,\mathrm{O}\mathrm{O}^{\prime\prime}=4+x,\mathrm{O}^\prime\mathrm{O}^{\prime\prime}=13$ と分かる．
よって，三平方の定理から，図の点線の $\mathrm{O}^{\prime\prime}$ より左側の線分の長さは12，右側の線分の長さは $4\sqrt x$ と分かる．
よって，点線全体の長さは $12+4\sqrt x$ であり，三平方の定理から $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ の長さは， $\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$ と分かる．これと $9+x$ が等しいため，
$9+x=\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$
が成り立つ．これを解くと， $x=36$ ……(答)

(2)

上図のように，線分ADと線分CBの交点をEとし，直線OEと弧ABとの交点をFとする．また，円の中心とEを結んだ線分の長さを $y$ 寸とし，円の半径の長さを $x$ 寸とする．
$\triangle$ OBCに対して余弦定理を用いると，
${\rm BC}^2={\rm OC}^2+{\rm OB}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OB}\cdot\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Leftrightarrow{\rm BC}^2=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{5}{8}=12$
$\therefore$ BC $=2\sqrt3$
角の二等分線の定理よりCE $\colon$ EB $=1\colon4$ であることから，
CE $=\frac{2\sqrt3}{5}$ ,EB $=\frac{8\sqrt3}{5}$
$\triangle$ OCEに対して余弦定理を用いると，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB} }$
$\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{AOB}}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$ より，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\left(\frac{2\sqrt3}{5}\right)^2=1^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot1\cdot\mathrm{OE}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}$
これを解くと，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5},\frac{\sqrt{13}}{10}$
OE $>1$ より，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5}$
ここで， $\angle$ CEO $=\angle$ DEO $=\angle$ AEFより，
$\sin{\angle\mathrm{AEF}}=\sin{\angle\mathrm{CEO}}$
正弦定理より，
$\frac{1}{\sin{\angle\mathrm{CEO}}}=\frac{\frac{2\sqrt3}{5}}{\sin{\angle\mathrm{COE}}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{CEO}}=\frac{5\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\angle\mathrm{COE} }}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2}}{2\sqrt3}=\frac{5}{8}$
であるから，
$y=\frac{x}{\sin{\angle\mathrm{AEF}}}=\frac{8}{5}x$
線分OFの長さは４寸だから，
$\mathrm{OE}+x+y=4\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{13}}{5}+x+\frac{8}{5}x=4\Leftrightarrow x=\frac{2}{13}\left(10-\sqrt{13}\right)$ ……(答)