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慶應総合政策2016

2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問2

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

一文字固定法の典型的な問題である.
題意を満たす点の座標を求める問題のため,座標を文字でおくのが定石である.後は,2乗和を実際に計算し,一文字固定法の解法を取れば良い.(2)では,本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満たしているか(”直線との距離”と”三角形の各辺からの距離”は必ずしもイコールになるとは限らない)を確認せねばならないことに注意.

解答例
(19)(20)(21)(22)……\frac{11}{05}
(23)(24)(25)(26)……\frac{27}{05}
(27)(28)(29)(30)……\frac{01}{04}
(31)(32)(33)(34)……\frac{51}{20}

解説

(1)
\begin{cases} x+2y-4=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-y+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-2 \\ y=x+5 \end{cases}
交点を考えると,
y=-\frac{1}{2}x+2y=2x-2の交点は,\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)
y=2x-2y=x+5の交点は,\left(7,12\right)
y=x+5y=-\frac{1}{2}x+2の交点は,\left(-2,3\right)
図示すると,

xy平面上の点を\left(x,y\right)とおく.この点と三角形の各頂点との距離の2乗和は,
\left\{\left(\frac{8}{5}-x\right)^2+\left(\frac{6}{5}-y\right)^2\right\}+\left\{\left(-2-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\right\}+\left\{\left(7-x\right)^2+\left(12-y\right)^2\right\}=3x^2+3y^2-\frac{66}{5}x-\frac{162}{5}y+210=3\left(x-\frac{11}{5}\right)^2+3\left(y-\frac{27}{5}\right)^2+108
よって,2乗和が最小となるのは,\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{5},\frac{27}{5}\right)のとき……(答)

(2)
xy平面上の点を\left(x,y\right)とおく.この点と三角形の各辺との距離の2乗和は,点と直線の距離の公式より,
\frac{\left(x+2y-4\right)^2}{5}+\frac{\left(2x-y-2\right)^2}{5}+\frac{\left(x-y+5\right)^2}{2}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2-xy+\frac{9}{5}x-\frac{37}{5}y+\frac{33}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{4}{3}\left(y-\frac{51}{20}\right)^2+\frac{729}{100}
よって,2乗和が最小となるのは,
\begin{cases} x=\frac{1}{3}y-\frac{3}{5} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}
のときである.これは三角形の内部の点であるから,この点から各直線に下した垂線の足は,三角形の辺上にあり,題意から外れない.
よって,\left(\frac{1}{4},\frac{51}{20}\right)……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。