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慶應総合政策2016

2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問4

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

問題文で「2つの曲線が交点Pで接するとは,Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し,これに沿って考える.つまり,接点の座標をおいて,その点での2曲線の接線をそれぞれ求めて,その2つの接線が一致する条件を書き下す.
面積の方は典型的な問題であるため特筆事項なし.

解答例
(43)(44)(45)(46)……\frac{-3}{04}
(47)(48)(49)(50)……\frac{13}{04}
(51)(52)(53)(54)……\frac{08}{03}

解説

CC_1の接点のx座標とCC_2の接点のx座標((43)~(50))について
CC_1の接点のx座標をx=\alphaCC_2の接点のx座標をx=\betaとする.
Cについて,y^\prime=x+aである.
よって,x=\alpha(y=\frac{1}{2}\alpha^2+a\alpha+b)での接線はy=\left(\alpha+a\right)x-\frac{1}{2}\alpha^2+b…①であり,x=\beta(y=\frac{1}{2}\beta^2+a\beta+b)での接線はy=\left(\beta+a\right)x-\frac{1}{2}\beta^2+b…②である.
C_1について,y^\prime=2xである.
よって,x=\alpha(y=\alpha^2)での接線はy=2\alpha x-\alpha^2…③である.
C_2について,y^\prime=2x-4である.
よって,x=\beta(y=\beta^2-4\beta+5)での接線はy=\left(2\beta-4\right)x-\beta^2+5…④である.
①と③,②と④が一致すれば必要十分のため,係数比較をすると,
\begin{cases} \alpha+a=2\alpha \\ -\frac{1}{2}\alpha^2+b=-\alpha^2 \end{cases}
\begin{cases} \beta+a=2\beta-4 \\ -\frac{1}{2}\beta^2+b=-\beta^2+5 \end{cases}
となる.これを解くと,
\begin{cases} \alpha=-\frac{3}{4} \\ \beta=\frac{13}{4} \\ a=-\frac{3}{4} \\ b=-\frac{9}{32} \end{cases}
よって,
CC_1の接点のx座標は,-\frac{3}{4}……(答)
CC_2の接点のx座標は,\frac{13}{4}……(答)

〇面積((51)~(54))について
C_2C_2の交点は,
\begin{cases} y=x^2 \\ y=x^2-4x+5 \end{cases}
を解くことで,\left(\frac{5}{4},\frac{25}{16}\right)と分かる.
よって,求める面積は,
\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left\{x^2-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left\{\left(x^2-4x+5\right)-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx=\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{32}\right)dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{13}{4}x+\frac{169}{32}\right)dx=\left[\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{8}x^2+\frac{9}{32}x\right]_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{169}{32}x\right]_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}……(答)

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大問1

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。