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慶應総合政策2016

2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問3

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

\tan{2\alpha}は倍角の公式を用いれば\tan{\alpha}のみで表せるため,\tan{\alpha}さえ求められれば良いのだと判断する.
本解冒頭の\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\piのように,\alpha=\frac{m\pi}{n}(n,mは自然数)で与えられている場合に分母を払うのは典型的な処理であるためおさえておくこと.
後は,加法定理で分解していけば求まる.

解答例
(35)(36)……10
(37)(38)……02
(39)(40)……05
(41)(42)……05

解説

\alpha=\frac{\pi}{5}\Leftrightarrow5\alpha=\piより,\tan{5\alpha}=\tan{\pi}=0
また,加法定理を用いれば,
\tan{5\alpha}=\tan{\left(3\alpha+2\alpha\right)}=\frac{\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}}{1-\tan{3\alpha}\tan{2\alpha}}
であるから,
\tan{5\alpha}=0\Leftrightarrow\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0
加法定理より,
\tan{3\alpha}=\tan{\left(2\alpha+\alpha\right)}=\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}
\therefore\tan{3\alpha}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\frac{\tan{2\alpha}+\tan{\alpha}}{1-\tan{2\alpha}\tan{\alpha}}+\tan{2\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0
倍角の公式より,
\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}
\therefore\tan^22\alpha\tan{\alpha}-2\tan{2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\left(\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}\right)^2\tan{\alpha}-\frac{4\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}-\tan{\alpha}=0\Leftrightarrow\tan^4\alpha-10\tan^2\alpha+5=0
これを解くと,
\tan^2\alpha=5\pm2\sqrt5
であるが,\tan{\frac{\pi}{6}}<\tan{\alpha}=\tan{\frac{\pi}{5}}<\tan{\frac{\pi}{4}}より,\frac{1}{\sqrt3}<\tan{\alpha}<1より,
\tan^2\alpha=5-2\sqrt5
であり,
\tan{\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}
\therefore\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\sqrt{5-2\sqrt5}}{1-\left(5-2\sqrt5\right)}=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}{\sqrt5-2}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\sqrt5\cdot\sqrt{\left(\sqrt5-2\right)\left(\sqrt5+2\right)}\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt5\cdot\sqrt{\sqrt5+2}=\sqrt{5+2\sqrt5}
\therefore\tan{\alpha}+\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}+\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\left(\sqrt5+2\right)=\left(\sqrt5+3\right)\sqrt{5-2\sqrt5}=\sqrt{\left(\sqrt5+3\right)^2\left(5-2\sqrt5\right)}=\sqrt{10+2\sqrt5}……(答)
\tan{\alpha}\tan{2\alpha}=\sqrt{5-2\sqrt5}\cdot\sqrt{5+2\sqrt5}=\sqrt{\left(5-2\sqrt5\right)\left(5+2\sqrt5\right)}=\sqrt5……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。