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慶應総合政策2017

2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問6

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問6

方針の立て方

(1)
どの工場にも自由度はないため,\sum_{i=1}^{10}x_iそのものを塊と見て考える.素直に定義に従って計算すれば,特に難しい解法の必要はない.
(2)
工場iの汲み上げ量が自由度を持つため,他の工場の汲み上げ量の総和\sum_{k\neq i} x_kx_iで分離して考えることにしよう.すると,p\left(\mathbit{x}\right)x_iは2文字の関数となるため一文字固定法の考え方で解いていこう.

解答例
(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)……\frac{0625}{0004}
(63)(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)……\frac{6250}{0121}

解説

(1)
\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}\right)x_i}=\sum_{i=1}^{10}\left\{25x_i-x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right\}=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\sum_{i=1}^{10}\left(x_i\sum_{i=1}^{10}x_i\right)=25\sum_{i=1}^{10}x_i-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i\right)^2=-\left(\sum_{i=1}^{10}x_i-\frac{25}{2}\right)^2+\frac{625}{4}
\therefore\sum_{i=1}^{10}x_i=\frac{25}{2}<25のとき,\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^\prime\right)x_i^\prime}=\frac{625}{4}……(答)

(2)
\sum_{k\neq i} x_k=A_i>0とすると,

となる.工場iの利益は,
p\left(\mathbit{x}\right)x_i=25x_i-A_ix_i-x_i^2=-\left(x_i-\frac{25-A_i}{2}\right)^2+\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}
\therefore x_i^{\prime\prime}=\frac{25-A_i}{2}で,p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}=\frac{\left(25-A_i\right)^2}{4}
ここで,A_i=\sum_{k=1}^{10}x_k-x_iより,x_i^{\prime\prime}=\frac{25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}+x_i^{\prime\prime}}{2}\Leftrightarrow x_i^{\prime\prime}=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}
両辺を1\leqq i\leqq10で総和を取ると,左辺はiに依存しないから,
\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=250-10\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}\Leftrightarrow\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{250}{11}<25
\therefore p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)=25-\sum_{k=1}^{10}x_k^{\prime\prime}=25-\frac{250}{11}=\frac{25}{11}
\therefore\sum_{i=1}^{10}{p\left(\mathbit{x}^{\prime\prime}\right)x_i^{\prime\prime}}=\frac{25}{11}\sum_{i=1}^{10}x_i^{\prime\prime}=\frac{25}{11}\cdot\frac{250}{11}=\frac{6250}{121}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。