2016年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

(1)(2)
線形計画法の応用問題である．２変数で，条件式が与えられている下での最大最小問題であることから気付きたい．

解答例
(35)(36)…… $10$
(37)(38)(39)(40)(41)(42)…… $18-2\sqrt{17}$

解説

(1)
条件式： $\left|x\right|+\left|y\right|\leqq1$ を図示すると，

上図の斜線部となる(但し境界を含む)．
正の実数を $k$ 用いて $\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=k$ と置けば，これは $\left(1,4\right)$ を中心とする半径 $\sqrt k$ の円である．
上図の領域と共有点をもち，かつ，半径が最小となるのは，点 $\left(0,1\right)$ を通るとき．
$\therefore k\geqq\left(0-1\right)^2+\left(1-4\right)^2=10$ ……(答)

(2)
条件式： $x^2+y^2\leqq1$ を図示すると，

上図の斜線部となる(但し境界を含む)．
正の実数を $k$ 用いて $\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=k$ と置けば，これは $\left(1,4\right)$ を中心とする半径 $\sqrt k$ の円である．
上図の領域と共有点をもち，かつ，半径が最小となるのは，これらの２円が外接するとき．２円の中心を結んだ直線の方程式は $y=4x$ であるから，接点は， $\left(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}\right)$ である．
$\therefore k\geqq\left(\frac{1}{\sqrt{17}}-1\right)^2+\left(\frac{4}{\sqrt{17}}-4\right)^2=18-2\sqrt{17}$ ……(答)