偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 資料請求
  • 資料請求
  • カウンセリング
  • お電話
慶應総合政策2017

2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問3

方針の立て方

(1)
文字が3つと多いため,典型的な一文字固定法で考えていくのが妥当.

(2)
前問の結果から,x=y=zのときが答えだと当たりをつけて考えていく.x=y=zのときに使える多変数の公式といえば,相加相乗平均の関係式であるから,試しに使ってみると,解法を得る.

解答例

(21)(22)(23)(24)(25)(26)……\frac{001}{162}
(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)……\frac{-7+05\sqrt{02}}{27}

解説

(1)
AB=x,AD=y,AE=zとおく.すると,
条件式:x+2y+3z=1となる.
0<x,0<y,0<zより,0<z<\frac{1}{3}である.
体積は,
xyz=\left(1-2y-3z\right)yz=z\left\{-2y^2+\left(1-3z\right)y\right\}=z\left\{-2\left(y-\frac{1-3z}{4}\right)^2+\frac{\left(1-3z\right)^2}{8}\right\}\leqq\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}
不等号の等号成立条件はy=\frac{1-3z}{4}である.
ここで,f\left(z\right)=\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}=\frac{1}{8}\left(9z^3-6z^2+z\right)とおくと,f^\prime\left(z\right)=\frac{1}{8}\left(27z^2-12z+1\right)=\frac{\left(9z-1\right)\left(3z-1\right)}{8}
増減表を描くと,

z 0 \cdots \frac{1}{9} \cdots \frac{1}{3}
f^\prime\left(z\right) + + 0 - 0
f\left(z\right) 0 \nearrow \frac{1}{162} \searrow 0

よって,f\left(z\right)\leqq f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{162}
ここで,
\begin{cases} y=\frac{1-3z}{4} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=\frac{1}{6} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}
となる.このとき,x=\frac{1}{3}となり,これらは全て適当である.
よって,
V=\frac{1}{162}……(答)

(2)
AB=x,AD=y,AE=zとおく.すると,
条件式:x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=1となる.
ここで,相加相乗平均の関係式
x+y+z\geqq3\sqrt[3]{xyz} (等号成立はx=y=zのとき)
であり,
\sqrt{x^2+y^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{x^2y^2}}=\sqrt{2xy} (等号成立はx=yのとき)
\sqrt{y^2+z^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{y^2z^2}}=\sqrt{2yz} (等号成立はy=zのとき)
\sqrt{z^2+x^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{z^2x^2}}=\sqrt{2zx} (等号成立はz=xのとき)
であり,
\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{2yz}\cdot\sqrt{2zx}}=3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz} (等号成立は\sqrt{2xy}=\sqrt{2yz}=\sqrt{2zx}のとき)
であることを用いると,
1=x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz}
が成り立つ.等号成立はx=y=zのときであり,最左辺と最右辺に着目すると,
\sqrt[3]{xyz}\leqq\frac{1}{3+3\sqrt2}
\therefore xyz\leqq\frac{1}{\left(3+3\sqrt2\right)^3}=\frac{-7+5\sqrt2}{27}
となる.xyzは考えている直方体の体積であることに注意されたい.
さて,x=y=zのとき,条件式より,x+x+x+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}=1\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt2-1}{3}となり,x=y=z=\frac{\sqrt2-1}{3}となる.これは適当である.よって,
V=\frac{-7+5\sqrt2}{27}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

早慶の過去問を解いてみてまったくわからない・・どのように勉強をしたら良いのか知りたい方はお気軽にこちらからご連絡ください。

 

LINE公式アカウント開始

LINE公式アカウントのみでの限定情報もお伝えします。ぜひご登録ください。

Published by

早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。