偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應総合政策2017

2017年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
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方針の立て方

前半はあまりに平易な問題のため特筆事項なし.
後半は,実際に具体的なトーナメント表で考える.すると,選手Hの位置と,選手Hがいつ負けるのかがカギになると分かる.例によって,大まかな場合分け→細かい場合分け→さらに細かい計算というように,最初は大雑把に分けて考えていき細かいことは後回しとすると,全体の見通しが良くなる.対称性を見抜けるかで処理のスピードに差が出た問題である.入試数学は基本的には時間が足りなくなるのが常なので,小さな対称性でも,気付いてどんどん利用したい.

解答例

(43)(44)(45)(46)(47)(48)……\frac{001}{008}
(49)(50)(51)(52)(53)(54)……\frac{019}{189}

解説

〇すべての選手が互角であったときの確率((43)~(48))について
選手Aが3連勝すれば必要十分.
\therefore\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}……(答)

〇選手Hだけが他の選手より優れていたときの確率((49)~(54))について
選手Aと選手Hのトーナメント表での位置関係で場合分けする.このとき,選手Aは下図のように左端に固定して考えて一般性を失わない.

更に対称性から,②と②',③と③'と③''と③'''を考えることは対等であるので,①,②,③のみを考える.
①の位置に選手Hがいる場合
選手Aが優勝するには1回戦で選手Hに勝ち,後の2回を勝てば必要十分.
\therefore\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}
②か②'の位置に選手Hがいる場合
2回戦で選手Hと戦うか,戦わないかで場合分けする.
2回戦で選手Hと戦って,選手Aが優勝するには,選手Aと選手Hがともに1回戦を勝ち,2回戦で選手Aが選手Hに勝ち,3回戦で選手Aが勝てば必要十分.
\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{18}
2回戦で選手Hと戦わず,選手Aが優勝するには,1回戦で選手Aが勝ち,選手Hが負け,後の2回を選手Aが勝てば必要十分.
\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}
\therefore\frac{1}{18}+\frac{1}{24}=\frac{7}{72}
③か③'か③''か③'''の位置に選手Hがいる場合
選手Hが何回戦で負けるかで場合分けする.
選手Hが1回戦で負けて,選手Aが優勝するには,1回戦で選手Aが勝ち,選手Hが負け,後の2回を選手Aが勝てば必要十分.
\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{24}
選手Hが2回戦で負けて,選手Aが優勝するには,選手Aと選手Hがともに1回戦を勝ち,2回戦で選手Aが勝ち,選手Hが負け,3回戦で選手Aが勝てば必要十分.
\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{36}
選手Hが3回戦で負けて,選手Aが優勝するには,選手Aと選手Hがともに1回戦と2回戦を勝ち,3回戦で選手Aが勝てば必要十分.
\therefore\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{27}
\therefore\frac{1}{24}+\frac{1}{36}+\frac{1}{27}=\frac{23}{216}
さらに,抽選で選手Hが①の位置にくる確率は\frac{1}{7},②か②'の位置にくる確率は\frac{2}{7},③か③'か③''か③'''の位置にくる確率は\frac{4}{7}であるから,求める確率は,
\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{12}+\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{72}+\frac{4}{7}\cdot\frac{23}{216}=\frac{19}{189}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。