2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究大問1

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

方針の立て方

(1)

頻出問題のため特筆事項なし．

(2)

実際に図を描いてみることで方針を得る．

$\sin{2\theta}や\cos{2\theta}$ は倍角の公式を用いて $\sin{\theta}$ や $\cos{\theta}$ の形に統一しておくと上手くいくことが多い．(三角関数が苦手な受験生の多くに見られることだが， $\sin{2\theta}$ や $\cos{2\theta}$ ， $\sin{\theta}$ ， $\cos{\theta}$ を別個の関数と見なしてしまわないように注意しよう．
見かけは違っていても，これらは全て $\theta$ の関数であり，倍角の公式や相互関係の式： ${\mathrm{cos}}^2\theta+{\mathrm{sin}}^2\theta=1$ でつながっている．実際，(ⅲ)では $x$ の一変数関数となっている！)
さらに，極限の問題があることを加味すると，積の形に因数分解しておくのが良いことも分かる．

解答例

ア：36
イ：182
ウ： $\sqrt3$
エ：9
オ： $\frac{-1+\sqrt7}{4}$
カ： $\frac{10+7\sqrt7}{16}$

解説

(1)

$2016=2^5\cdot3^2\cdot7$
よって，正の約数の個数は，
$\left(5+1\right)\left(2+1\right)\left(1+1\right)=36個$
また，正の約数の和は， $2^c\cdot3^b\cdot7^a$ で， $a$ を0,1， $b$ を0,1,2， $c$ を0,1,2,3,4,5と変化させて，それらを全部足し合わせたものであるから，
$\displaystyle \sum^1_{a=0}\sum^2_{b=0}\sum^5_{c=0}\left(2^c\cdot3^b\cdot7^a\right)=\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\left(3^0+3^1+3^2\right)\left(7^0+7^1\right)=63\cdot13\cdot8$
より，
$\frac{63\cdot13\cdot8}{36}=182$ …(答)

(2)

$S_1\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\left(\sin{\theta}+\sin{2\theta}\right)\cdot\left(\cos{\theta}-\cos{2\theta}\right)=\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2$
$S_2\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\sin{\theta}\cdot\left(1-\cos{\theta}\right)=\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)$

(ⅰ)
$S_1\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$

(ⅱ)
$\displaystyle \lim{\theta\to+0}{\frac{S1\left(\theta\right)}{S2\left(\theta\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\frac{\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}{\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}=9$

(ⅲ)
$\cos{\theta}=x$ とおくと， $<\theta<\frac{\pi}{2}$ より， $0<\sin{\theta}$ だから， $\sin{\theta}=\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\theta}=\sqrt{1-x^2}$ である．
∴ $S_1=\sqrt{1-x^2}\left(1-x\right)\left(2x+1\right)^2$
積の微分法則を使えば，
$\frac{dS_1}{dx}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)\left(8x^2+4x-3\right)}{\sqrt{1-x^2}}$
$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より， $0<\cos{\theta}=x<1$ に注意すれば，
$\frac{dS_1}{dx}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt7}{4}$
増減表を書くと，