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慶應理工2016

2016年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問5

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慶應義塾大学過去問徹底研究 2016年  大問5

方針の立て方

(ニ)と(ヌ)については,基本的な解法であるため特筆事項なし.
(ネ)について.
面と垂線の問題である.面は2つの線形独立なベクトル(このようなベクトルを基底ベクトルという)の線形結合で表現される.つまり,「面と垂直」という条件を,「2つの基底ベクトルと垂直」という条件に言い換えることができる.このことを利用しよう.なお,面と垂線の問題は難関大学では頻出の問題であるため,この問題ができなかった受験生は是非復習してほしい.
(ノ)について.
前問で\triangle\mathrm{ABC}の垂線を考えたので,\triangle\mathrm{ABC}を底面と考えて体積を求めるという方針が立つ.そのためには高さに当たる線分\mathrm{OH}の長さを求める必要があるため,線分\mathrm{OH}のことを考える.
(ハ)について.
実際に点\mathrm{P}と点\mathrm{Q}を作図する.\triangle\mathrm{ABC}は全ての辺の長さが分かっているため,垂線\mathrm{BB^\prime}の長さが求められることを考えれば,相似比を使うという考え方も思い浮かぶ.
(ヒ)について.
\triangle\mathrm{OAC}\equiv\triangle\mathrm{BCA}であることから,四面体のねじれ具合を考え,切り口の形を考える.線分\mathrm{PQ}の長さを前問で求めたので,線分\mathrm{PQ}を底辺として考えるという方針を立てると,点\mathrm{R}について考えるという方針も立つ.

解答例
ニ:\frac{3}{2}
ヌ:\frac{3\sqrt{15}}{4}
ネ:\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}
ノ:\frac{5\sqrt2}{4}
ハ:\frac{21\sqrt{15}}{40}
ヒ:\frac{45\sqrt2}{32}

解説

\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}と,\triangle\mathrm{ABC}の面積について(ニ,ヌについて)
\triangle\mathrm{ABC}に対して余弦定理より,
\left(\sqrt{10}\right)^2=3^2+2^2-2\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=32……(答)
\therefore\triangle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}\right)^2}=\frac{3\sqrt{15}}{4}……(答)

\vec{\mathrm{AH}}について(ネについて)
\vec{\mathrm{AH}}=x\vec{\mathrm{AB}}+y\vec{\mathrm{AC}} (x,yは実数定数)とおく.すると,\vec{\mathrm{OH}}=x\vec{\mathrm{AB}}+y\vec{\mathrm{AC}}-\vec{\mathrm{AO}}
平面\alpha\mathrm{OH}は直交するので,下記の条件
\begin{cases}\vec{\mathrm{OH}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=0\\\vec{\mathrm{OH}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=0\end{cases}
を満たす.
ここで.\triangle\mathrm{OAB}\triangle\mathrm{OAC}それぞれに余弦定理を用いることで,
\begin{cases}\vec{\mathrm{AO}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}&=\frac{15}{2}\\\vec{\mathrm{AO}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}&=\frac{5}{2}\end{cases}
を得る.これを用いて,上の条件式を計算すると,
\begin{cases}x=\frac{7}{9}\\y=\frac{1}{3}\end{cases}
を得る.
\therefore\vec{\mathrm{AH}}=\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}……(答)

〇四面体\mathrm{OABC}の体積について(ノについて)
\left|\vec{\mathrm{AH}}\right|^2=\left(\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}\right)\cdot\left(\frac{7}{9}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\vec{\mathrm{AC}}\right)=\frac{49}{81}\left|\vec{\mathrm{AB}}\right|^2+\frac{1}{9}\left|\vec{\mathrm{AC}}\right|^2+\frac{14}{27}\vec{\mathrm{AB}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=\frac{20}{3}
\therefore\left|\vec{\mathrm{OH}}\right|^2=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2-\left|\vec{\mathrm{AH}}\right|^2=\frac{10}{3}\Leftrightarrow\left|\vec{\mathrm{OH}}\right|=\frac{\sqrt{30}}{3}
よって,四面体\mathrm{OABC}の体積は,
\frac{1}{3}\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot\vec{\mathrm{OH}}=13\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{\sqrt{30}}{3}=\frac{5\sqrt2}{4}……(答)

\mathrm{PQ}の長さについて(ハについて)
\mathrm{P}は,線分\mathrm{AH}上の点のため,
\vec{\mathrm{AP}}=k\vec{\mathrm{AH}}=\frac{7}{9}k\vec{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}k\vec{\mathrm{AC}}
と書ける.
ここで,点\mathrm{P}\triangle\mathrm{ABC}において,辺\mathrm{BC}上の交点であるから,
\frac{7}{9}k+\frac{1}{3}k=1\Leftrightarrow k=\frac{9}{10}
\therefore\vec{\mathrm{AP}}=\frac{7}{10}\vec{\mathrm{AB}}+\frac{3}{10}\vec{\mathrm{AC}}
よって,点\mathrm{P}は,線分\mathrm{BC}を3:7に内分する点.

上図のように,\triangle\mathrm{ABC}で,\mathrm{B}から\mathrm{AC}への垂線の足を\mathrm{B}^\primeとする.
\mathrm{A}\mathrm{B}^\prime=x>0とおくと,三平方の定理より,
{\mathrm{AB}}^2-x^2={\mathrm{BC}}^2-\left(\mathrm{AC}-x\right)^2\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}
\thereforeB\mathrm{B}^\prime=\frac{3\sqrt{15}}{4}
\triangleC\mathrm{B}^\prime\mathrm{B}∽\triangleCQP(相似比10:7)より,
\mathrm{PQ}=\frac{7}{10}\cdot\frac{3\sqrt{15}}{4}=\frac{21\sqrt{15}}{40}……(答)

〇切り口の面積について(ヒについて)
4つの面が全て合同であることから,2点\mathrm{P,Q}を通り平面\alphaに垂直な平面は,辺\mathrm{OA},辺\mathrm{OB}と交わる.
特に,線分\mathrm{PQ}を平面\alphaと垂直な方向に動かすと,\triangle\mathrm{OAC}上を通ると考えられる.
ここで,\mathrm{P}から,\triangle\mathrm{OAC}への垂線の足を\mathrm{R}とする.
\vec{\mathrm{AR}}=s\vec{\mathrm{AO}}+t\vec{\mathrm{AC}}\Leftrightarrow\vec{\mathrm{PR}}=s\vec{\mathrm{AO}}-\frac{7}{10}\vec{\mathrm{AB}}+\left(t-\frac{3}{10}\right)\vec{\mathrm{AC}} (s,tは実数定数)とおく.

\mathrm{PR}\triangle\mathrm{ABC}は直交するので,
\begin{cases}\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{AB}}=0\\\vec{\mathrm{PR}}\cdot\vec{\mathrm{AC}}=0\end{cases}
これを解くと、
\begin{cases}x=\frac{9}{10}\\y=0\end{cases}
よって,点\mathrm{R}は辺\mathrm{AO}上の点であり,
\vec{\mathrm{AR}}=\frac{9}{10}\vec{\mathrm{AO}}
となる.
\therefore\vec{\mathrm{PR}}=\frac{9}{10}\vec{\mathrm{AO}}-\frac{7}{10}\vec{\mathrm{AB}}-\frac{3}{10}\vec{\mathrm{AC}}
\therefore\left|\vec{\mathrm{PR}}\right|=\frac{3\sqrt{30}}{10}

また,上図のように,2点\mathrm{P,Q}を通り平面\alphaに垂直な平面と辺\mathrm{OB}の交点を\mathrm{S}とし,\mathrm{S}から平面\alphaへの垂線の足を\mathrm{T}とする.
\triangle\mathrm{BOH}\backsim\triangle\mathrm{BST}より,\mathrm{T}\mathrm{BH}上の点であり,かつ,\mathrm{PQ}上の点であるから,実数定数i,jを用いて,
\bagin{cases}\vec{\mathrm{BT}}=i\vec{\mathrm{BH}}\\\vec{\mathrm{QT}}=j\vec{\mathrm{QP}}\end{cases}\Leftrightarrow\bagin{cases}\vec{\mathrm{QT}}&=\left(1-\frac{2}{9}x\right)\vec{\mathrm{AB}}+\left(\frac{1}{3}x-\frac{9}{16}\right)\vec{\mathrm{AC}}\\\vec{\mathrm{QT}}&=\frac{7}{10}j\vec{\mathrm{AB}}-\frac{21}{80}j\vec{AC}\end{cases}
係数比較して解くことで,
j=\frac{25}{21}
を得る.
\therefore\left|\vec{\mathrm{QT}}\right|=\frac{25}{21}\left|\vec{\mathrm{PQ}}\right|=\frac{5\sqrt{15}}{8}
等積変形の考え方を用いれば,求める面積は\triangle\mathrm{RTQ}の面積と同じであるから,
\frac{1}{2}\cdot\mathrm{QT}\cdot\mathrm{PR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5\sqrt{15}}{8}\cdot\frac{3\sqrt{30}}{10}=\frac{45\sqrt2}{32}……(答)

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