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2016

2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問2

2019.05.13

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

方針の立て方
(1)

f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gammaと置くことも可能だが,f\left(0\right)=f\left(1\right)=0の情報を盛り込むには,
本解のように置くのが妥当だと見抜きたい.

(2)

0\leqq x\leqq1 (積分の下限と上限が定数) で積分しているため,考える定積分はaの一変数関数となると見抜き,素直に積分を実行するのが得策だと考える.
実際に積分を実行すると,ただの2次関数になるため,後は典型的に平方完成による解法を取ればよい.

(3)

等式の証明は(左辺)-(右辺)=0を示せばよいことを利用する.Iの2乗の項を展開する際に,f^\prime\left(x\right)-xを一塊と見ると,Jを打ち消せることを利用すると計算が楽になります。
ひとしきり計算が終わると,h^\prime\left(x\right)の処理が課題となるが,h^\prime\left(x\right)の目ぼしい情報は問題文で殆ど与えられていないため,
部分積分してh^\prime\left(x\right)を消滅させる打開策が思いつく.

(4)

前問でI=Jを示したことを利用するのだと考えたい.
そして,IJの複雑さを考えると,

①一旦Iに帰着させて,その後で,②前問の等式を用いてJに帰着させる.
という方針が立つ.
さらに(2)で定義したmが絡んでいることも考えると,
\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2の積分を小さく評価して0にし消滅させる.
という方針も思いつく.

①~③の手順を踏んでいけばg\left(x\right)の置き換えが思いつき, 本解の解答となる.

解答例

(1)

キ:ax\left(x-1\right)
ク:\frac{1}{4}x\left(x-1\right)

(2)

ケ:\frac{5}{16}

(3)以下、解答

I=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right\}dx=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right\}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx+2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left\{f^\prime\left(x\right)-x\right\}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx
\therefore I-J=2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left{f^\prime\left(x\right)-x\right}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\bigm=-\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ \left(\because f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)\right)\bigm={-\left[h\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]}^1_0+\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ -\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ 第1項に部分積分 =0\ \ \ \ \ (\because h\left(0\right)=h\left(1\right)=0)
証明終了.

(4)以下解答

g\left(x\right)=f\left(x\right)+h\left(x\right)とおくと,h\left(x\right)は任意であるからg\left(x\right)も任意であり,かつ,g\left(0\right)=g\left(1\right)=0をみたす.
また,g^\prime\left(x\right)=f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)は連続である.
\therefore\int_{0}^{1}\left{\left(g^\prime\left(x\right)-x\right)^2-g\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx\ \ \ \ \ 前問の結果 \geqq\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx\ \ \ \ \ \left(\because\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2\geqq0\right)\bigm\geqq m\ \ \ \ \ 2の結果

証明終了.

解説(1)

f\left(x\right)=\alpha x\left(x-1\right) (\alphaは実数)と表せる.
f^\prime\left(x\right)=2\alpha x-\alpha
f^{\prime\prime}\left(x\right)=2\alpha
\therefore a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}\left(0\right)=\alpha
\thereforef\left(x\right)=ax\left(x-1\right)…(答)​

(2)

f^\prime\left(x\right)=2ax-aより,
\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(\left(2a-1\right)x-a\right)^2-\left(ax^2-ax\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(4a^2-5a+1\right)x^2-\left(4a^2-3a\right)x+a^2\right}dx\bigm=\left[\frac{4a^2-5a+1}{3}x^3-\frac{4a^2-3a}{2}x^2+a^2x\right]<em>0^1\bigm=\frac{1}{3}a^2-\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}\bigm=\frac{1}{3}\left(a-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{16}
よって,a=\frac{1}{4}のとき,\int</em>{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dxの値は最小となる.
よって,
f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)のとき,
最小値\frac{5}{16}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

 

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自身の勉強時の体験や社会人になってからの経験を元にいかにして、"考える"ことができる人材を作ることができるのかを日々考えています。また一方で、どんな学力の受験生に対しても独自カリキュラムを提供し、勉強が圧倒的にできるようになっていくという塾を経営しています。