偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 資料請求
  • カウンセリング
  • お電話
2016

2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問1

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

方針の立て方

(1)

頻出問題のため特筆事項なし.

(2)

実際に図を描いてみることで方針を得る.

\sin{2\theta}や\cos{2\theta}は倍角の公式を用いて\sin{\theta}\cos{\theta}の形に統一しておくと上手くいくことが多い.(三角関数が苦手な受験生の多くに見られることだが,\sin{2\theta}\cos{2\theta}\sin{\theta}\cos{\theta}を別個の関数と見なしてしまわないように注意しよう.
見かけは違っていても,これらは全て\thetaの関数であり,倍角の公式や相互関係の式:{\mathrm{cos}}^2\theta+{\mathrm{sin}}^2\theta=1でつながっている.実際,(ⅲ)ではxの一変数関数となっている!)
さらに,極限の問題があることを加味すると,積の形に因数分解しておくのが良いことも分かる.

解答例

ア:36
イ:182
ウ:\sqrt3
エ:9
オ:\frac{-1+\sqrt7}{4}
カ:\frac{10+7\sqrt7}{16}

解説

(1)

2016=2^5\cdot3^2\cdot7
よって,正の約数の個数は,
\left(5+1\right)\left(2+1\right)\left(1+1\right)=36個
また,正の約数の和は,2^c\cdot3^b\cdot7^aで,aを0,1,bを0,1,2,cを0,1,2,3,4,5と変化させて,それらを全部足し合わせたものであるから,
$\displaystyle \sum^1_{a=0}\sum^2_{b=0}\sum^5_{c=0}\left(2^c\cdot3^b\cdot7^a\right)=\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\left(3^0+3^1+3^2\right)\left(7^0+7^1\right)=63\cdot13\cdot8$
より,
\frac{63\cdot13\cdot8}{36}=182…(答)

(2)

S_1\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\left(\sin{\theta}+\sin{2\theta}\right)\cdot\left(\cos{\theta}-\cos{2\theta}\right)=\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2
S_2\left(\theta\right)=\frac{1}{2}\cdot2\sin{\theta}\cdot\left(1-\cos{\theta}\right)=\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)

(ⅰ)
S_1\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3

(ⅱ)
$\displaystyle \lim{\theta\to+0}{\frac{S1\left(\theta\right)}{S2\left(\theta\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\frac{\sin{\theta\left(1-\cos{\theta}\right)}\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}{\sin{\theta}\left(1-\cos{\theta}\right)}}=\lim{\theta\to+0}{\left(2\cos{\theta}+1\right)^2}=9$

(ⅲ)
\cos{\theta}=xとおくと,<\theta<\frac{\pi}{2}より,0<\sin{\theta}だから,\sin{\theta}=\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\theta}=\sqrt{1-x^2}である.
S_1=\sqrt{1-x^2}\left(1-x\right)\left(2x+1\right)^2
積の微分法則を使えば,
\frac{dS_1}{dx}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)\left(8x^2+4x-3\right)}{\sqrt{1-x^2}}
0<\theta<\frac{\pi}{2}より,0<\cos{\theta}=x<1に注意すれば,
\frac{dS_1}{dx}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt7}{4}
増減表を書くと,

x 0 \frac{-1+\sqrt7}{4} 1
\frac{dS_1}{dx} + + 0 ×
S_1 \nearrow \nearrow 最大 \searrow \searrow

\left.S_1\right|_{x=\frac{-1+\sqrt7}{4}}=\frac{10+7\sqrt7}{16}
よって,
\cos{\theta}=\frac{-1+\sqrt7}{4}のとき最大値\frac{10+7\sqrt7}{16}をとる.…(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

 

早慶の過去問を解いてみてまったくわからない・・どのように勉強をしたら良いのか知りたい方はお気軽にこちらからご連絡ください。

Published by

早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

自身の勉強時の体験や社会人になってからの経験を元にいかにして、"考える"ことができる人材を作ることができるのかを日々考えています。また一方で、どんな学力の受験生に対しても独自カリキュラムを提供し、勉強が圧倒的にできるようになっていくという塾を経営しています。