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慶應理工2016

2016年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問2

本シリーズでは、早慶の各学部の過去問をそれぞれどのように解いたら良いのか、方針をどのように立てていけば良いのかを解説していきます。

方針の立て方
(1)

f\left(x\right)=\alpha x^2+\beta x+\gammaと置くことも可能だが,f\left(0\right)=f\left(1\right)=0の情報を盛り込むには,
本解のように置くのが妥当だと見抜きたい.

(2)

0\leqq x\leqq1 (積分の下限と上限が定数) で積分しているため,考える定積分はaの一変数関数となると見抜き,素直に積分を実行するのが得策だと考える.
実際に積分を実行すると,ただの2次関数になるため,後は典型的に平方完成による解法を取ればよい.

(3)

等式の証明は(左辺)-(右辺)=0を示せばよいことを利用する.Iの2乗の項を展開する際に,f^\prime\left(x\right)-xを一塊と見ると,Jを打ち消せることを利用すると計算が楽になります。
ひとしきり計算が終わると,h^\prime\left(x\right)の処理が課題となるが,h^\prime\left(x\right)の目ぼしい情報は問題文で殆ど与えられていないため,
部分積分してh^\prime\left(x\right)を消滅させる打開策が思いつく.

(4)

前問でI=Jを示したことを利用するのだと考えたい.
そして,IJの複雑さを考えると,

①一旦Iに帰着させて,その後で,②前問の等式を用いてJに帰着させる.
という方針が立つ.
さらに(2)で定義したmが絡んでいることも考えると,
\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2の積分を小さく評価して0にし消滅させる.
という方針も思いつく.

①~③の手順を踏んでいけばg\left(x\right)の置き換えが思いつき, 本解の解答となる.

解答例

ronin
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(1)

キ:ax\left(x-1\right)
ク:\frac{1}{4}x\left(x-1\right)

(2)

ケ:\frac{5}{16}

(3)以下、解答

I=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right\}dx=\int_{0}^{1}\left\{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right\}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx+2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left\{f^\prime\left(x\right)-x\right\}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx
\therefore I-J=2\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left{f^\prime\left(x\right)-x\right}}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\bigm=-\int_{0}^{1}{h^\prime\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}dx-\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ \left(\because f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)\right)\bigm={-\left[h\left(x\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)\right]}^1_0+\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ -\int_{0}^{1}h\left(x\right)dx\ \ \ \ \ 第1項に部分積分 =0\ \ \ \ \ (\because h\left(0\right)=h\left(1\right)=0)
証明終了.

(4)以下解答

g\left(x\right)=f\left(x\right)+h\left(x\right)とおくと,h\left(x\right)は任意であるからg\left(x\right)も任意であり,かつ,g\left(0\right)=g\left(1\right)=0をみたす.
また,g^\prime\left(x\right)=f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)は連続である.
\therefore\int_{0}^{1}\left{\left(g^\prime\left(x\right)-x\right)^2-g\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)+h^\prime\left(x\right)-x\right)^2-\left(f\left(x\right)+h\left(x\right)\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx+\int_{0}^{1}\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2dx\ \ \ \ \ 前問の結果 \geqq\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx\ \ \ \ \ \left(\because\left(h^\prime\left(x\right)\right)^2\geqq0\right)\bigm\geqq m\ \ \ \ \ 2の結果

証明終了.

解説(1)

f\left(x\right)=\alpha x\left(x-1\right) (\alphaは実数)と表せる.
f^\prime\left(x\right)=2\alpha x-\alpha
f^{\prime\prime}\left(x\right)=2\alpha
\therefore a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}\left(0\right)=\alpha
\thereforef\left(x\right)=ax\left(x-1\right)…(答)​

(2)

f^\prime\left(x\right)=2ax-aより,
\int_{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dx=\int_{0}^{1}\left{\left(\left(2a-1\right)x-a\right)^2-\left(ax^2-ax\right)\right}dx\bigm=\int_{0}^{1}\left{\left(4a^2-5a+1\right)x^2-\left(4a^2-3a\right)x+a^2\right}dx\bigm=\left[\frac{4a^2-5a+1}{3}x^3-\frac{4a^2-3a}{2}x^2+a^2x\right]<em>0^1\bigm=\frac{1}{3}a^2-\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}\bigm=\frac{1}{3}\left(a-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{5}{16}
よって,a=\frac{1}{4}のとき,\int</em>{0}^{1}\left{\left(f^\prime\left(x\right)-x\right)^2-f\left(x\right)\right}dxの値は最小となる.
よって,
f\left(x\right)=\frac{1}{4}x\left(x-1\right)のとき,
最小値\frac{5}{16}……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

 

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