方針の立て方

(1)
絶対値の問題では，絶対値の中身の正負で場合分けをする．すると， $x=-1,0$ を境目にして場合分けが生じることが分かるため，本解答の(ⅰ)～(ⅲ)のように場合分けすることが分かる．

(2)
考える図形を図示して，どこの面積を求めれば良いかを特定する．後は積分計算を行うだけ．

(3)
解析を行うには，点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ の座標を具体的に書き下す必要があるが，そのままでは全部で(点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ がどの関数上に乗っているかで)6通りを考えることになる．高々6通りであるから，このまま考えても良いが，もう少し絞れないかを検討してみる．実際に満たす点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を具体的に考えると，点 $\mathrm{A}$ は $y$ 軸の左側，点 $\mathrm{B}$ は $y$ 軸の右側になければならないと分かるから，点 $\mathrm{B}$ は必ず $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}$ 上に乗っていると分かる．これより，考えるべきパターンは2通りに減少する．後は，本解答のように解析するのみ．

解答例

(1)
$\left|x+1\right|=\begin{cases} -x-1\left(x\leqq-1\right) \\ x+1\left(-1\leqq x\right) \end{cases},\int_{-1}^{x}\left(1-\left|t\right|\right)dt=\begin{cases} \int_{-1}^{x}\left(1+t\right)dt\left(x\leqq0\right) \\ \int_{-1}^{0}\left(1+t\right)dt+\int_{0}^{x}\left(1-t\right)dt\left(0\leqq\ x\right) \end{cases}$ となる．
(ⅰ) $x\leqq-1$ のとき
$F\left(x\right)=-x-1+\int_{-1}^{x}\left(1+t\right)dt=-x-1+\left[t+\frac{1}{2}t^2\right]_{-1}^x=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}$
(ⅱ) $-1\leqq x\leqq0$ のとき
$F\left(x\right)=x+1+\int_{-1}^{x}\left(1+t\right)dt=x+1+\left[t+\frac{1}{2}t^2\right]_{-1}^x=\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}$
(ⅲ) $0\leqq x$ のとき
$F\left(x\right)=x+1+\int_{-1}^{0}\left(1+t\right)dt+\int_{0}^{x}\left(1-t\right)dt=x+1+\left[t+\frac{1}{2}t^2\right]_{-1}^0+\left[t-\frac{1}{2}t^2\right]_0^x=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}$
以上，(ⅰ)～(ⅲ)より，
$F\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\left(x\leqq-1\right) \\ \frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\left(-1\leqq x\leqq0\right) \\ -\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\left(0\leqq x\right) \end{cases}$ ……(答)

(2)
前問で求めた $F\left(x\right)$ のグラフを描くと，

上図．
よって，求める面積は，
$\int_{-1}^{0}\left(\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\right)dx+\int_{0}^{2+\sqrt7}\left(-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{3}{2}\right)dx=\left[\frac{1}{6}x^3+x^2+\frac{3}{2}x\right]_{-1}^0+\left[-\frac{1}{6}x^3+x^2+\frac{3}{2}x\right]_0^{2+\sqrt7}=\frac{19+7\sqrt7}{3}$ ……(答)

(3)
$a<0$ かつ $0<b$ が必要であり， $\mathrm{B}\left(b,-\frac{1}{2}b^2+2b+\frac{3}{2}\right)$ となる．
(ⅰ) $a\leqq-1$ のとき
$\mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}\right)$ となる．
よって， $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を結ぶ線分の中点の座標は， $\left(\frac{a+b}{2},\frac{a^2-b^2}{4}+b+\frac{1}{2}\right)$ と書ける．これが $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ であるとき，
$\begin{cases} \frac{a+b}{2}=0 \\ \frac{a^2-b^2}{4}+b+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=-1 \\ b=1 \end{cases}$
これは $a\leqq-1$ かつ $0<b$ を満たす．よって， $\mathrm{A}\left(-1,0\right),\mathrm{B}\left(1,3\right)$ となる．
このとき傾き $m$ は， $m=\frac{3}{2}$ となる．
(ⅱ) $-1\leqq a<0$ のとき
$\mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{3}{2}\right)$ となる．
よって， $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を結ぶ線分の中点の座標は， $\left(\frac{a+b}{2},\frac{a^2-b^2}{4}+a+b+\frac{3}{2}\right)$ と書ける．これが $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ であるとき，
$\begin{cases} \frac{a+b}{2}=0 \\ \frac{a^2-b^2}{4}+a+b+\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \end{cases}\Leftrightarrow a+b=0$
$-1\leqq a<0$ より， $0<b\leqq1$ ．これは $0<b$ を満たす．よって， $\mathrm{A}\left(a,\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{3}{2}\right),\mathrm{B}\left(-a,-\frac{1}{2}a^2-2a+\frac{3}{2}\right)$ となる．
このとき傾き $m$ は， $m=\frac{-\frac{1}{2}a^2-2a+\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{3}{2}\right)}{-a-a}=\frac{a+4}{2}$ となる．
$-1\leqq a<0$ より， $\frac{3}{2}\leqq\frac{a+4}{2}<2\Leftrightarrow\frac{3}{2}\leqq m<2$
以上，(ⅰ)と(ⅱ)より，求める範囲は，
$0<b\leqq1,\frac{3}{2}\leqq m<2$ ……(答)