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慶應経済2017

2017年慶應大学経済学部|過去問徹底研究 大問2

方針の立て方

(1)
f\left(0\right)の値については特筆事項なし．f\left(2\alpha\right)については，何とか\alpha,\betaに代入して，f\left(2\alpha\right)を作り出すことを考える．するとf\left(\alpha+\beta\right)がf\left(2\alpha\right)となるようにすると，他の項はf\left(\alpha\right)やf\left(0\right)となるから扱いやすい．

(2)(3)
典型問題であり特筆事項なし．回答欄の形式から，複雑な式は簡単にまとまるのではないかと考える．すると，2f\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)=f\left(\alpha+\beta\right)+f\left(\alpha-\beta\right)を使うことが思いつく．

(4)については解説の通り．

解答例

(10)1
(11)2
(12)(13)-1
(14)(15)-2
(16)2
(17)2
(18)(19)-1
(20)2
(21)3
(22)2
(23)1
(24)(25)-1
(26)2
(27)1
(28)1
(29)(30)-1
(31)(32)01
(33)(34)-1
(35)2

解説

(1)
〇f\left(0\right)((10)について)
\alpha=\beta=0を代入すると，
f\left(0\right)\geqq1,2f\left(0\right)f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(0\right)\geqq1,f\left(0\right)=1
\therefore f\left(0\right)=1……(答)
〇f\left(2\alpha\right)((11)～(13)について)
\alpha=\betaを代入すると，f\left(0\right)=1より，
f\left(\alpha\right)\geqq1,2f\left(\alpha\right)f\left(\alpha\right)=f\left(2\alpha\right)+f\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(\alpha\right)\geqq1,f\left(2\alpha\right)=2\left\{f\left(\alpha\right)\right\}^2-1
\therefore f\left(2\alpha\right)=2\left\{f\left(\alpha\right)\right\}^2-1……(答)

(2)
\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2……(答)
これと，f\left(2\alpha\right)=2\left\{f\left(\alpha\right)\right\}^2-1\Leftrightarrow\left\{f\left(\alpha\right)\right\}^2=\frac{f\left(2\alpha\right)+1}{2}より，
x^2+\frac{1}{x^2}=\left\{2f\left(\alpha\right)\right\}^2-2=4\left\{f\left(\alpha\right)\right\}^2-2=4\cdot\frac{f\left(2\alpha\right)+1}{2}-2=2f\left(2\alpha\right)……(答)

(3)
\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^3+\frac{1}{x^3}+x+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)-1\left(x+\frac{1}{x}\right)……(答)
これと，2f\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)=f\left(\alpha+\beta\right)+f\left(\alpha-\beta\right)で\alpha\rightarrow2\alpha,\beta\rightarrow\alphaとした式：2f\left(2\alpha\right)f\left(\alpha\right)=f\left(3\alpha\right)+f\left(\alpha\right)\Leftrightarrow f\left(3\alpha\right)=2f\left(2\alpha\right)f\left(\alpha\right)-f\left(\alpha\right)を用いれば，
x^3+\frac{1}{x^3}=2f\left(2\alpha\right)\cdot2f\left(\alpha\right)-1\cdot2f\left(\alpha\right)=2\left\{2f\left(2\alpha\right)f\left(\alpha\right)-f\left(\alpha\right)\right\}=2f\left(3\alpha\right)……(答)

(4)
(2)と(3)より，
x^n+\frac{1}{x^n}=2f\left(n\alpha\right)……(答)
が成り立つと推測できる．
n=k-1,kでの①の成立が仮定されているため，
x^{k-1}+\frac{1}{x^{k-1}}=2f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)
x^k+\frac{1}{x^k}=2f\left(k\alpha\right)
が仮定されている．
ここで，
\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}+x^{k-1}+\frac{1}{x^{k-1}}\Leftrightarrow x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)-1\left(x^{k-1}+\frac{1}{x^{k-1}}\right)……(答)
と，2f\left(\alpha\right)f\left(\beta\right)=f\left(\alpha+\beta\right)+f\left(\alpha-\beta\right)で\alpha\rightarrow k\alpha,\beta\rightarrow\alphaとした式：2f\left(k\alpha\right)f\left(\alpha\right)=f\left(\left\{k+1\right\}\alpha\right)+f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)\Leftrightarrow f\left(\left\{k+1\right\}\alpha\right)=2f\left(k\alpha\right)f\left(\alpha\right)-f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)を用いれば，
x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=2f\left(k\alpha\right)\cdot2f\left(\alpha\right)-1\cdot2f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)=2\left[2f\left(k\alpha\right)f\left(\alpha\right)-f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)\right]=2f\left(\left\{k+1\right\}\alpha\right)……(答)
が成り立つと分かる．

(5)
f\left(\left\{k+1\right\}\alpha\right)=2f\left(k\alpha\right)f\left(\alpha\right)-f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)\Leftrightarrow f\left(k\alpha\right)=\frac{f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)+f\left(\left\{k+1\right\}\alpha\right)}{2f\left(\alpha\right)}
より，
\sum_{k=1}^{n-1}f\left(k\alpha\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f\left(\left\{k-1\right\}\alpha\right)+f\left(\left\{k+1\right\}\alpha\right)}{2f\left(\alpha\right)}=\frac{f\left(0\right)+f\left(\alpha\right)+2f\left(2\alpha\right)+2f\left(3\alpha\right)+\cdots\cdots+f\left(\left\{n-1\right\}\alpha\right)+f\left(n\alpha\right)}{2f\left(\alpha\right)}=\frac{2\sum_{k=1}^{n-1}f\left(k\alpha\right)+f\left(0\right)+f\left(n\alpha\right)-f\left(\alpha\right)-f\left(\left\{n-1\right\}\alpha\right)}{2f\left(\alpha\right)}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n-1}f\left(k\alpha\right)=\frac{1-f\left(\alpha\right)-f\left(\left\{n-1\right\}\alpha\right)+f\left(n\alpha\right)}{2\left\{f\left(\alpha\right)-1\right\}}
f\left(0\right)=1を用いれば，
\therefore S_n=f\left(0\right)+\frac{1-f\left(\alpha\right)-f\left(\left\{n-1\right\}\alpha\right)+f\left(n\alpha\right)}{2\left\{f\left(\alpha\right)-1\right\}}=\frac{1-f\left(\alpha\right)+f\left(\left\{n-1\right\}\alpha\right)-f\left(n\alpha\right)}{2\left\{1-f\left(\alpha\right)\right\}}

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。