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2018年慶應義塾環境情報数学|過去問徹底研究大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1) 平易な問題のため特筆事項なし． (2) 前問の問題を利用するために，変数変換をして，の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．解答例 (15)(16)…… (

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方針の立て方

(1)
平易な問題のため特筆事項なし．

(2)
前問の問題を利用するために，変数変換をして， $\left|p-1\right|+\left|q-1\right|$ の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．
また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．

解答例

(15)(16)…… $01$
(17)(18)(19)(20)…… $\frac{01}{04}$
(21)(22)(23)(24)…… $\frac{03}{04}$
(25)(26)…… $\frac{9}{4}$
(27)(28)…… $\frac{1}{4}$
(29)(30)…… $\frac{1}{2}$
(31)(32)…… $01$
(33)(34)(35)(36)…… $\frac{-1}{04}$
(37)(38)…… $\frac{3}{4}$
(39)(40)…… $\frac{3}{2}$
(41)(42)…… $02$
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{01}{02}$
(47)(48)…… $01$
(49)(50)…… $02$
(51)(52)…… $-1$

解説

(1)
線形計画法の考え方で考えれば， $\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ か $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ のどちらかで最小値となる．
$\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ を代入すると， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-1\right|=\frac{3}{4}$ であり， $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ を代入すると， $\left|2-1\right|+\left|1-1\right|=1$ であるから，答えは，
$p=1,q=\frac{1}{4},m=\frac{3}{4}$ ……(答)

(2)
$2x+y=p,2xy=q$ とおく． $x,y$ が実数のため， $2x\left(p-2x\right)=q\Leftrightarrow-4x^2+2px-q=0$ の判別式は非負である．
$\therefore p^2-4q\geqq0\Leftrightarrow q\leqq\frac{p^2}{4}$
よって，前問で $\left|q-1\right|$ の箇所を $\left|q-a\right|$ としたものとして考えられる．線形計画法で考えれば， $a$ が小さいときには，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ でとり，値を大きくするとある $a$ で，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方でとり，それより $a$ の値が大きくなると，最小値は $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ でとる．
$\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方で最小値となるのは， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|$ が成立するときであり，これを解くと， $a>\frac{1}{4}$ より， $a=\frac{9}{4}$ である．
よって，
(ⅰ) $\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=a-\frac{1}{4}$ ……(答)
(ⅱ) $a=\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ または， $\begin{cases} p=2\sqrt a=3 \\ q=a=\frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right|=2$ ……(答)
(ⅲ) $\frac{9}{4}<a$ の場合， $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ のとき， $m=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|=2\sqrt a-1$ ……(答)

HIRO ACADEMIAの評判、口コミ、ネットでの情報の付き合い方

2019.09.17

ネットを探すと色々な情報が出てきますね。結論から言いますといい評判も悪い評判も全部ひっくるめて、総合的に判断する必要があります。ここでは悪い口コミ、いい口コミ色々ある中でどのように付き合っていくべきかを考えていきます。悪い口コミに対しての考え方どれだけ注意をしたとしても・・どこの塾であって

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ネットを探すと色々な情報が出てきますね。
結論から言いますといい評判も悪い評判も全部ひっくるめて、

総合的に判断する必要があります。

ここでは悪い口コミ、いい口コミ色々ある中でどのように付き合っていくべきかを考えていきます。

悪い口コミに対しての考え方

どれだけ注意をしたとしても・・どこの塾であっても、長く経営していれば、

何かしらの問題は起こりえます。

その中で塾生徒の齟齬が起こり、悪い口コミを書いていくという場合があります。

この場合は、必ずしもどちらに非があるとは言えません。

当塾も一部のネットの方には酷く言われています。

また他には、競合他社が悪い口コミを書いて、自分の塾に呼び込むということを行っているケースもあるようです。

どの塾も良い点悪い点もあると思うのですが、わるい点を誇張して、
自身に呼び込むというものです。

それ以外にもイタズラで口コミを記載されることもあります。

特に私たちのような中学生高校生相手の塾ですと、イタズラで口コミされてしまうことがあるんです。。

このようにネットの口コミは誰がかいているかわからない・・・ということを考慮した方が良いでしょう。

見るべきは悪い口コミ発生率ではないかな・・・と思います。

悪い口コミもあればよい口コミもあるのが当然です。

まとめ
悪い口コミも誰が書いたかわからないし、状況がわからないので、必ずしも信頼できるとはかぎらない。
いい口コミに対してどれだけわるい口コミがあるのかをみてみるのがよいでしょう。

良い口コミに対しての考え方

あからさまに良い口コミだけの場合は逆に要注意です。

良い口コミだらけだと、

『素晴らしい塾だ！』と思って飛びこむことがあるのですが、、

そういうわけではないこともしばしば。。

そういえば、以前このような話がありました。

以前、広告会社から電話が来まして、

『自社でランキングサイトを作って自社を一位にしたらどうか？』

ということを提案いただきました。

もちろん、丁重にお断りしましたが・・

上記のような提案がウチまで来るということは、そのようなランキングサイトは、

かなりの塾さんがやっているのではないか？という見方もできます。

そのため良い口コミだけを信頼するのも良くないのです。

まとめ
よい口コミも100%信じてよいものではないこともある。
自分にとって何がよいのかを冷静に考てみましょう。色々と審議するのも考えるトレーニングになりますよ！

まとめ

ネットにはよい評判、悪い評判いろいろありますよね。どの塾にもよい点、悪い点色々あると思いますので、自分にあった塾を見つけてみてくださいね。

以前、塾の選び方というブログ記事を書いたので、参考にしていただければ幸です。

こちらから確認できます。

早慶への日本史勉強法マップ|早慶の日本史を0から学ぶ方法

2019.09.12

このページでは、当塾で指導している早稲田慶應に合格するための最速で効率的に日本史の成績をあげる勉強方法をお伝えします。ページ目次インプット|流れの把握と語彙を覚えるインプット|細かな歴史語彙を覚えていくアウトプット|問題集を解くリーズニングができる早慶に合格するオススメの参考書プランが知りたい!

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このページでは、当塾で指導している早稲田慶應に合格するための最速で効率的に日本史の成績をあげる勉強方法をお伝えします。 [toc]
インプット|流れの把握と語彙を覚える

日本史ができるためには、まずはでてきた歴史語彙を覚えていく必要があります。

ですが、最初の段階では細かな語彙を覚える必要はありません。
それよりも全体の流れを掴むことに専念しましょう。流れを掴むというのは、教材をざっくり読むのと各世紀においてどこで何が起こったかの把握と簡単な因果関係の把握となります。

また、覚える語彙はとにかく頻度の高いもののみに絞ってください。いきなりたくさん覚えようとしても覚えられませんし忘れます。ですので、よく出る部分のみで抑えるようにしてください。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/nihonshi-benkyo/"]
インプット|細かな歴史語彙を覚えていく

インプットを進めるにしたがって、知識の詳細度を高めてください。全体像を最初に把握して、そのあとに細かな部分を暗記するようにしてください。この段階では、時間がない場合は問題集を解く必要はなく、一問一答などで確認するだけで良いでしょう。覚えるべきことを覚えてない限りは、問題集をやってもできるようになりません。

一問一答の使い方についてはこちらをご覧ください。

アウトプット|問題集を解く

もちろんこのくらいの偏差値にとどくよりも前に行っても問題ありません。分野によっては得意不得意があるため、できる部分もあるでしょう。
ただ偏差値60というのが基礎が身についたかどうかの一つの基準になるためこのレベルよりも明らかに下の場合はまずはインプットに集中しましょう。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/nihonshi-benkyo-output/"]
リーズニングができる

早慶などの私大の場合は、選択肢から選ぶ形式となっているため文章を読むことができなくても、「なんとなくわかれば答えがでる！」と思い込んでいる人が多いようです。

もちろん、このレベルの受験生が論外で受かるわけがないのは当然でしょう。

なぜその答えを選ぶのか？どうして答えになるのか？という部分を徹底的に行っていきましょう。
問題を見ただけで自身で選択肢を見ないで、答えを出せるレベルまで行った上で選択肢を吟味してなぜその選択肢が間違っているのか？、なぜその選択肢があっているのか？という点を言葉で人に説明できるレベルまで持っていけると良いでしょう。
赤本のや青本の解説を見てわかったと勘違いしていても早慶には程遠いです。

自身で解説ができるくらい全ての選択肢の正誤の理由を考えていきましょう。当塾では全ての選択肢について正誤の理由を書いていくのを必須としています。

早慶に合格するオススメの参考書プランが知りたい!

早稲田慶應に合格するために必要な参考書をこちらで紹介しています。このプランを見て君も偏差値30から合格を目指そう！

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2018年慶応義塾大学総合政策　数学|過去問徹底研究大問6

2019.09.08

2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6 方針の立て方 (1) 解答欄の形式から，を用いてはいけないため，とについての等式を立てれば良いと分かる．この内，についての等式は，立てるまでもなく(座標)であるため，本解では省略した． (2) 特筆事項なし． (3) 実際にぐらいまで考えて

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2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
解答欄の形式から， $p_i$ を用いてはいけないため， $s_i$ と $r_i$ についての等式を立てれば良いと分かる．この内， $r_i$ についての等式は，立てるまでもなく( $y$ 座標) $=r_i$ であるため，本解では省略した．

(2)
特筆事項なし．

(3)
実際に $\left(r_4,s_4,p_4\right)$ ぐらいまで考えてみれば，解答が予測できる上に，何故そうなるのかの理由も分かる．

(4)
前問同様，最初の数回を具体的に考えれば解法を得られる．前問の試行で得られた知見を用いれば，比較的簡単に，期待値の評価ができる．

解答例
(63)(64)……01
(65)(66)……02
(67)(68)……01
(69)(70)……00
(71)(72)……06
(73)(74)……02
(75)(76)……06
(77)(78)……06
(79)(80)……12

解説

(1)
$y$ 座標は $r_i$ である． $x$ 座標を $X$ とする．点と直線の距離の公式より，直線PR( $y=\sqrt3x$ )と点 $J_i$ との距離について，
$s_i=\frac{\left|r_i-\sqrt3X\right|}{2}$
となる．点 $J_i$ は，直線PRよりも下側にあるため， $r_i-\sqrt3X\leqq0$ である．
$\therefore s_i=\frac{\sqrt3X-r_i}{2}\Leftrightarrow X=\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3}$
$\therefore\left(\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3},r_i\right)$ ……(答)

(2)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ となる．
$\therefore\left(\frac{6}{\sqrt3},2\right)$ ……(答)

(3)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ となる．
第３ラウンド以降は $\left(r_i,s_i,p_i\right)$ は $\left(4,2,0\right)$ か $\left(6,0,0\right)$ のどちらかとなる．
$\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(4,2,0\right)$ となる確率について考えると，第３ラウンド以降の14回の対戦全てが「R対Rが２組，S対Sが１組」という当たり方をせねばならない．これが起こる確率は， $\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ である．よって， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率は $1-\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ となり，明らかに， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率の方が大きい．
よって，求める座標は $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ から求められる点で， $\left(\frac{6}{\sqrt3},6\right)$ ……(答)

(4)
第１ラウンドが，
(ⅰ)R対P，R対S，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,0,2\right)$ → $E\left(P\right)>E\left(R\right)>E\left(S\right)$ となる．
(ⅱ)R対P，R対R，S対Sの場合(場合の数は3通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ → $E\left(P\right)=E\left(R\right)=E\left(S\right)$ となる．
(ⅲ)S対P，R対R，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ → $E\left(R\right)>E\left(S\right)>E\left(P\right)$ となる．
よって， $E\left(R\right)>E\left(P\right)>E\left(S\right)$ となる．
$\therefore$ (12)……(答)

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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年　大問1 方針の立て方 (1) 実際にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる．「３点を結ぶと三角形をなす」ことと，「３点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと． (2) 前問と同様にP，A，Bの位置関係を図に描いてみる

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早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年　大問1

方針の立て方

(1)
実際にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる．「３点を結ぶと三角形をなす」ことと，「３点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと．

(2)
前問と同様にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると，ABを底辺と見ると都合がいいことが分かる．複素共役な２つの複素数は，複素数平面上では実軸対称となることは，複素数と図形の融合問題では頻出の考え方のためおさえておくこと．

(3)
外心の定義と外心の作図の仕方を考えれば解法を得られる．

解答例

(1)
３次方程式 $\left(x-p\right)\left(x^2+qx+r\right)=0$ の解は， $x=p,\alpha,\beta$ の３つ．
３点P，A，Bが三角形をなすには，３点P，A，Bが一直線上になければ必要十分．そのためには， $\alpha,\beta$ が虚数解であり( $\alpha,\beta$ が実数解ならば， $p$ が実数であるため，３点P，A，Bが一直線上に並んでしまう)，かつ $\alpha,\beta$ の実部が $p$ でなければ必要十分．
$x^2+qx+r=0$ を解くと， $x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4r}}{2}$ であるから，求める条件は，
$\begin{cases} q^2-4r<0 \\ \frac{-q}{2}\neq p \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} q^2-4r<0 \\ q\neq-2p \end{cases}$ ……(答)

(2)

３点P，A，Bの位置関係は上図の通り．
$q^2-4r0$ ( $\because$ (1))より， $\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r$
$\therefore R=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}$ ……(答)

(3)
三角形の外接円の中心は，各辺の垂直二等分線の交点である．
辺ABの垂直二等分線は，実軸である．よって，求める中心Qは $x$ ( $x$ は実数)とおける．QとP，QとAの距離が等しいことより，
$\left|p-x\right|=\sqrt{\left(x+\frac{q}{2}\right)^2\left(-\frac{\sqrt{4r-q^2}}{2}\right)^2}$
が成り立ち，これを解くと， $x=\frac{p^2-r}{2p+q}$ ……(答)
また，半径 $R$ は，
$R=\left|p-x\right|=\left|p-\frac{p^2-r}{2p+q}\right|=\left|\frac{p^2+pq+r}{2p+q}\right|=\frac{\left|p^2+pq+r\right|}{\left|2p+q\right|}$
$p^2+pq+r=\left(p+\frac{q}{2}\right)^2+\frac{4r-q^2}{4}\geqq\frac{4r-q^2}{4}>0$ ( $\because$ (1))より， $\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r$
$\thereforeR=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}$ ……(答)

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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年大問5 方針の立て方 (1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る． (3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる．頂点の選び方は70通りあるが，回転での対称性を考慮すれば，考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え，一先ず虱潰

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早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年大問5

方針の立て方

(1)と(2)は実際に簡単な図を描くことで解答を得る．
(3)前問(1)と(2)で見た通り頂点の選び方で共通部分が変わる．頂点の選び方は70通りあるが，回転での対称性を考慮すれば，考えるべきパターン数はもっと減るのではと考え，一先ず虱潰しで考えてみる．すると実際，考えるべきパターン数は多くならないため，数え上げる．

解答例

(1)
立方体の各面の中心を頂点とする立体となる．
よって，正八面体……(答)

(2)
$\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{7}$ と $\mathrm{A}_\mathrm{4}\mathrm{A}_\mathrm{6}$ が立方体の中心で交わるのみ．
よって，点……(答)

(3)
４点の頂点の選び方は，全部で $_{8}\mathrm{C}_{4}=70$ 通り．
以下では，１つの面に着目(図では面 $\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}\mathrm{A}_\mathrm{4}$ )し，その面から何個の頂点が選ばれているかで場合分けする．選ばれた頂点を●で表すことにする．
(ⅰ)４個の場合

上図のような場合，共通部分はない．
４つの●が集合する面の選び方を考えれば，回転して左図のパターンになるものは全部で６通りあることが分かる．
(ⅱ)３点の場合
(ⅱ―ⅰ)

上図のような場合，共通部分はない．
上図の $\mathrm{A}_\mathrm{2}$ のように，隣り合うすべての頂点が選ばれている点の配置を考えれば，回転して上図のパターンになるものは全部で８通りあることが分かる．
(ⅱ―ⅱ)

上図のような場合，共通部分は１点となる．
上図の $\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{3}$ or $\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ のような線分の配置を考えれば，回転して上図のどちらかのパターンになるものは全部で24通りあることが分かる．
(ⅱ―ⅲ)

上図のような場合，共通部分は立体図形となる．
上図の $\mathrm{A}_\mathrm{8}$ のように，隣り合うすべての頂点が選ばれていない点の配置は８通りあり，３点が集合する面がどの配置にあるかで３通りあるため，回転して上図のパターンになるものは全部で24通りあることが分かる．
(ⅲ)２点の場合
(ⅲ―ⅰ)

上図のような場合，共通部分は線分となる．
回転して上図のパターンになるものは全部で6通りある．
(ⅲ―ⅱ)

上図のような場合，共通部分は立体図形となる．
回転して上図のパターンになるものは全部で２通りある．
以上より，
$\begin{cases} p=\frac{6+8}{70}=\frac{1}{5} \\ q_0=\frac{24}{70}=\frac{12}{35} \\ q_1=\frac{6}{70}=\frac{3}{35} \\ q_2=\frac{0}{70}=0 \\ q_3=\frac{24+2}{70}=\frac{13}{35} \end{cases}$ ……(答)

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早稲田大学理工学部数学|対策,勉強法, 過去問,入試頻出分野,合格する考え方とは？

2019.09.05

ページ目次早稲田大学理工学部の数学の対策早稲田理工の配点早稲田大学理工学部の問題形式早稲田大学理工学部頻出分野早稲田理工の数学のための勉強法早稲田理工過去問解説(随時更新)早稲田大学理工学部に圧倒的な実力で合格できる専門対策をします早稲田大学理工学部の数学の対策このブログでは、早稲田大学理工学部

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早稲田大学理工学部の数学の対策

このブログでは、早稲田大学理工学部の数学に関する入試対策（出題傾向と勉強法）をご紹介していきます。
基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説！

[toc]

早稲田理工の配点

外国語：120/360点　時間90分
数学：120/360点
理科(2科目)：120/360点　各60点

[su_box title="早稲田大学理工学部科目別対策" radius="1"]▶英語対策　　 ▶数学対策　　 ▶化学対策　　 ▶物理対策 ▶生物対策
[/su_box]

早稲田大学理工学部の問題形式

大問は5題で、それぞれ小問に分かれています。前の小問の結果をふまえて次の小問を解くことが多く、小問同士を結びつける論理力が必要となっています。

理工学部の数学は原則すべて記述式解答で、結果だけでなくそれに至るまでの過程を書く記述力が求められます。全て解き切るのは時間的に厳しいので、部分的にでも確実に答えられる問題を探して解いていくことが大切になります。

早稲田大学理工学部頻出分野

微積は毎年のように出題され、場合の数・確率、数列は隔年で出されています。
また近年整数の出題も増えているので注意が必要です。
簡単な年は典型問題が並びますが、難しい年になるとなかなか骨のある問題が並びます

＜微積＞2017年度の大問２は簡単でしたが、2016年度の大問５は2016年度のセットのなかでは一番難しく、絶対取るべきかどうかというのは判断しにくいです。
しかし、誘導が丁寧なので難しくても（2）くらいまでは解き、半答は取りたいところです。
難しそうだからといって避けずに、解けるところまで粘ってみましょう。

＜場合の数・確率＞数列と隔年で出題されていますが、さほど難しくないですし、特徴があるわけではないので、神経質になって対策する必要はありません。ｎ絡みの確率は漸化式、Σ、反復試行など多岐に渡りますから柔軟に対応できるようにしておくと本番も落ち着いて試験に挑めると思います。

＜立体＞2016、2017と二年連続で立体図形が出題されていて、来年度以降も大問で出る可能性は十分にあります。
空間は苦手にしている人が多く、差がつきやすいため難関大では好まれます。
空間は座標で押すoｒベクトルで攻めるの2つが大まかな方針ですから適宜図形的考察を加えたり、適切な断面で平面に落とし込んだりして、誘導をうまく汲み取って解答していきましょう。

＜複素平面＞こちらも課程が変わった年から連続して出題され、対策が必要不可欠な分野でしょう。難関大では複素平面の人気が高く、ほとんどの大学で出題されています。そのため他大学を受けるにおいても複素平面の学習はプラスに働くこと間違いなしでしょう。

早稲田理工の数学のための勉強法

どのようにしたら、早稲田理工学部の数学を解くことができるレベルに達するのかを具体的におつたえしていきます。そもそもの数学力が足りない人は、こちらの数学の勉強法概論をまずは読んだ方が良いでしょう。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/rikeisugaku-benkyo/"]

典型問題を確実に解くことのできる練習を！

易の年、難の年があるものの、大問５つのなかで見たことあるな〜という問題が２つくらいはあります。
難の年は実質簡単な問題が解けるかどうかで数学で差がつくので、巷に出回っている問題集の典型的なレベルは確実に解けるようにしておきましょう。
過去問演習する際、簡単な年なら3完２半、難しい年なら２完３半を最低ラインに据えると良いでしょう。

自分なりの作戦を！

大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、落ち着いて計算を進めましょう。
検算は必ず行い、計算ミスは確実に防ぎましょう。
簡単な問題は15分程度で終わらせて、少し難し目の問題に傾斜的に時間を掛けるなど臨機応変に対応しましょう。
問題が始まったらまず全体を俯瞰して自分なりの作戦を立ててから解き始めると、大きな失敗は免れますし、良い流れに乗れるのでオススメです！

記述力をつける

ただ解くのではなく、途中式や導出過程、細かい条件まで含めた解答を作りましょう。
基本的な問題演習をしているうちから実際の入試を意識して解答を作ることで、記述力を早いうちから身につけることができます。
特に証明問題や場合分けを要する問題では記述力が重要となります。

証明問題で論理の飛躍があったり、場合分けを書き間違うとそれだけで減点されてしまいます。
自己採点の際も、解答と照らし合わせながら細かいミスがないかどうかまで確認しましょう。
また、図示問題に限らず関数や平面・立体図形が登場する問題もあるので、自分で分かりやすい図を描くことが大事になります。

計算力をつける

大問が5題で120分であるので、1問あたりにかけられる時間は単純計算で24分です。
問題を解く際に計算に必要な時間は多いため、迅速かつ正確な計算力が必要となります。
積分計算などはかなり時間を要することが多いため、繰り返し練習することで計算力を身につけましょう。

実際の問題に慣れる

問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。この際、本番通りの時間で解くことが大切です。数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、時間を測って問題演習をし、自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。

また、先述の通り大問1問あたりにかけられる時間は24分と限られているので、あまり1つの大問を完答することにこだわりすぎるとかえって点数が下がってしまいます。
大問前半の比較的問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。

ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。

早稲田理工過去問解説(随時更新)

年度	難易度
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2015年		大問1 大問2 大問3 大問4 大問5

圧勝している人はこう考える！

実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。できない人は上記の法則を利用することができていません。実際に過去問を用意して考えてみましょう。2016年度理工学部数学大問Ⅱからの出題です。

正四角錐と、それに内接する球という立体図形の問題です。

(1)立体図形のままだと分かりにくいので、断面図を描きましょう。（図１：全体図、図2：断面図）

このような断面図にすると、内接する球の半径は、二等辺三角形△PMNに内接する円の半径と同じであることがわかります(Nは線分CDの中点)。ここで、直線と円の接点において、接点と円の中心を結ぶ線分は直線に垂直になります。よって、球の半径をrとすると、△PMNの面積は

$\frac{1}{2} \times 2a \times r + \frac{1}{2} \times b \times r = \big(a+b\big) \times r$

で表されます。また、△PMNはMNを底辺とする二等辺三角形であるので、MNを底辺とした時、高さは

$\sqrt{a ^{2}+ b^{2}}$

になります。よって、△PMNの面積は

$\frac{1}{2} \times 2a \times \sqrt{a ^{2}+ b^{2}} = a \sqrt{a ^{2}+ b^{2}}$

のようになります。この二通りで表された△PMNの面積は等しいので、

$\big(a+b\big) r = a \sqrt{b^{2} - a^{2}}$

の式が成り立ちます。よって、球の半径は

$r = \frac{{a \sqrt{b^{2} - a^{2}} }}{a+b}$

で表されます。

(2)球の表面積は、半径をrとすると $4 \pi r^{2}$ で表されます。また、正四角錐PABCDの表面積は、△PAB+△PBC+△PCD+△PDA+正方形ABCDの面積で表わされるので、

$\big( \frac{1}{2} \times 2a \times b\big) \times 4 +2a\times 2a =4ab +4a^{2}$

のようになります。よって、求める式は

$\frac{4 \pi r^{2}}{4ab+4a^{2}} = \frac{4 \pi}{4a(b+a)} \times \frac{a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi a^{2} \big(b^{2}-a^{2}\big) }{ \big(a+b\big) ^{3} } \\ = \frac{\pi a^{2} \big(b-a\big) }{ a\big(a+b\big) ^{2} } \\= \frac{\pi \big( \frac{b}{a}-1 \big) }{ \big(1+ \frac{b}{a} \big) ^{2} }\\= \frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }$

のようになります。

(3)(2)の式が最大値をとるとき、 $f(x)=\frac{\pi \big( x-1 \big) }{ \big(1+ x \big) ^{2} }$ とすると、

$f^{'}(x)=\frac{\pi(3-x)}{(x+1)^{3}}$

のようになります。このとき、 $f^{'}(x)=0$ のときのxの値はx=3となります。よって、このときの正四角錐PABCDの体積は

$\frac{8 \sqrt{2} }{3} a^{3}$

のようになります。

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2016年慶応義塾大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6 方針の立て方簡単に解ける公式や規則性等は見つけられないので，地道に書き出して考える．(2)でさえ高々16通りを考えればよいのだから，綺麗に解くことに時間を割くよりは，ケアレスミスにだけ気を付けてしらみつぶししたほうがコスパが良い．解答例 (6

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問6

方針の立て方

簡単に解ける公式や規則性等は見つけられないので，地道に書き出して考える．(2)でさえ高々16通りを考えればよいのだから，綺麗に解くことに時間を割くよりは，ケアレスミスにだけ気を付けてしらみつぶししたほうがコスパが良い．

解答例
(65)(66)…… $\frac{1}{2}$
(67)(68)…… $\frac{1}{2}$
(69)(70)…… $\frac{1}{2}$
(71)(72)(73)(74)…… $\frac{5}{8}$
(75)(76)(77)(78)…… $\frac{3}{8}$
(79)(80)(81)(82)…… $\frac{3}{8}$
(83)(84)(85)(86)…… $\frac{1}{8}$

解説

(1)
政党Aについて：YNY，YYNとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)
政党Bについて：NYY，YYNとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)
政党Cについて：NYY，YNYとY↔Nで入れ替えた４通り． $\therefore\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ ……(答)

(2)
YとNの並びを $\mathrm{AB}\mathrm{C}_1\mathrm{C}_2$ の順で表す．
政党Aについて：YYYN，NYYN(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，YYNY，YNYY，YNYN，YYNNおよびY↔Nで入れ替えた計10通り． $\therefore\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$ ……(答)
政党Bについて：YYNY，YNNY(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，NYYY，YYNNおよびY↔Nで入れ替えた計6通り． $\therefore\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ ……(答)
政党 $\mathrm{C}_1$ について：YNYY，YNNY(Y↔Nの入れ替えは含まない)と，NYYY，YNYNおよびY↔Nで入れ替えた計６通り． $\therefore\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ ……(答)
政党 $\mathrm{C}_2$ について：NYYY，NYYN(Y↔Nの入れ替えは含まない)の２通り． $\therefore\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問5

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5 方針の立て方円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問5

方針の立て方

円形の図形と接するときは，まず中心と接点を結ぶ線を描くことを典型解法としておさえよう．そして，中心と接点を結んだ線を活かすためには，中心とさらにどこか１点を結ぶことが必要となると考えられる．OFを引くと，中心，点E，点O，円と円弧の接点の４点を通って使い道が広いと考え，この線を引くことにする．そうすると，OF $=4$ が成り立つので，これを最終的な等式に使うと考え，必要な情報を集める．

解答例
(55)(56)…… $36$
(57)(58)(59)(60)…… $\frac{02}{13}$
(61)(62)…… $10$
(63)(64)…… $13$

解説

(1)
大円の半径の長さを $x$ 寸とおく．また，大円，中円，小円の中心を，それぞれ $\mathrm{O},\mathrm{O}^\prime,\mathrm{O}^{\prime\prime}$ とする．

各円の半径を考えることで， $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime=9+x,\mathrm{O}\mathrm{O}^{\prime\prime}=4+x,\mathrm{O}^\prime\mathrm{O}^{\prime\prime}=13$ と分かる．
よって，三平方の定理から，図の点線の $\mathrm{O}^{\prime\prime}$ より左側の線分の長さは12，右側の線分の長さは $4\sqrt x$ と分かる．
よって，点線全体の長さは $12+4\sqrt x$ であり，三平方の定理から $\mathrm{O}\mathrm{O}^\prime$ の長さは， $\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$ と分かる．これと $9+x$ が等しいため，
$9+x=\sqrt{\left(x-9\right)^2+\left(12+4\sqrt x\right)^2}$
が成り立つ．これを解くと， $x=36$ ……(答)

(2)

上図のように，線分ADと線分CBの交点をEとし，直線OEと弧ABとの交点をFとする．また，円の中心とEを結んだ線分の長さを $y$ 寸とし，円の半径の長さを $x$ 寸とする．
$\triangle$ OBCに対して余弦定理を用いると，
${\rm BC}^2={\rm OC}^2+{\rm OB}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OB}\cdot\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Leftrightarrow{\rm BC}^2=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot\frac{5}{8}=12$
$\therefore$ BC $=2\sqrt3$
角の二等分線の定理よりCE $\colon$ EB $=1\colon4$ であることから，
CE $=\frac{2\sqrt3}{5}$ ,EB $=\frac{8\sqrt3}{5}$
$\triangle$ OCEに対して余弦定理を用いると，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB} }$
$\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\angle\mathrm{AOB}}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$ より，
${\mathrm{CE}}^2={\mathrm{OC}}^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OE}\cdot\cos{\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\left(\frac{2\sqrt3}{5}\right)^2=1^2+{\mathrm{OE}}^2-2\cdot1\cdot\mathrm{OE}\cdot\frac{\sqrt{13}}{4}$
これを解くと，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5},\frac{\sqrt{13}}{10}$
OE $>1$ より，
OE $=\frac{2\sqrt{13}}{5}$
ここで， $\angle$ CEO $=\angle$ DEO $=\angle$ AEFより，
$\sin{\angle\mathrm{AEF}}=\sin{\angle\mathrm{CEO}}$
正弦定理より，
$\frac{1}{\sin{\angle\mathrm{CEO}}}=\frac{\frac{2\sqrt3}{5}}{\sin{\angle\mathrm{COE}}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{CEO}}=\frac{5\sqrt{1-{\mathrm{cos}}^2\angle\mathrm{COE} }}{2\sqrt3}=\frac{5\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{13}}{4}\right)^2}}{2\sqrt3}=\frac{5}{8}$
であるから，
$y=\frac{x}{\sin{\angle\mathrm{AEF}}}=\frac{8}{5}x$
線分OFの長さは４寸だから，
$\mathrm{OE}+x+y=4\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{13}}{5}+x+\frac{8}{5}x=4\Leftrightarrow x=\frac{2}{13}\left(10-\sqrt{13}\right)$ ……(答)

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2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問4

2019.09.04

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4 方針の立て方問題文で「２つの曲線が交点Pで接するとは，Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し，これに沿って考える．つまり，接点の座標をおいて，その点での２曲線の接線をそれぞれ求めて，その２つの接線が一致する条件を書き下す．面

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2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問4

方針の立て方

問題文で「２つの曲線が交点Pで接するとは，Pにおける接線が一致することを意味し」という部分に着目し，これに沿って考える．つまり，接点の座標をおいて，その点での２曲線の接線をそれぞれ求めて，その２つの接線が一致する条件を書き下す．
面積の方は典型的な問題であるため特筆事項なし．

解答例
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{-3}{04}$
(47)(48)(49)(50)…… $\frac{13}{04}$
(51)(52)(53)(54)…… $\frac{08}{03}$

解説

〇 $C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標と $C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標((43)～(50))について
$C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標を $x=\alpha$ ， $C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標を $x=\beta$ とする．
$C$ について， $y^\prime=x+a$ である．
よって， $x=\alpha$ ( $y=\frac{1}{2}\alpha^2+a\alpha+b$ )での接線は $y=\left(\alpha+a\right)x-\frac{1}{2}\alpha^2+b$ …①であり， $x=\beta$ ( $y=\frac{1}{2}\beta^2+a\beta+b$ )での接線は $y=\left(\beta+a\right)x-\frac{1}{2}\beta^2+b$ …②である．
$C_1$ について， $y^\prime=2x$ である．
よって， $x=\alpha$ ( $y=\alpha^2$ )での接線は $y=2\alpha x-\alpha^2$ …③である．
$C_2$ について， $y^\prime=2x-4$ である．
よって， $x=\beta$ ( $y=\beta^2-4\beta+5$ )での接線は $y=\left(2\beta-4\right)x-\beta^2+5$ …④である．
①と③，②と④が一致すれば必要十分のため，係数比較をすると，
$\begin{cases} \alpha+a=2\alpha \\ -\frac{1}{2}\alpha^2+b=-\alpha^2 \end{cases}$
$\begin{cases} \beta+a=2\beta-4 \\ -\frac{1}{2}\beta^2+b=-\beta^2+5 \end{cases}$
となる．これを解くと，
$\begin{cases} \alpha=-\frac{3}{4} \\ \beta=\frac{13}{4} \\ a=-\frac{3}{4} \\ b=-\frac{9}{32} \end{cases}$
よって，
$C$ と $C_1$ の接点の $x$ 座標は， $-\frac{3}{4}$ ……(答)
$C$ と $C_2$ の接点の $x$ 座標は， $\frac{13}{4}$ ……(答)

〇面積((51)～(54))について
$C_2$ と $C_2$ の交点は，
$\begin{cases} y=x^2 \\ y=x^2-4x+5 \end{cases}$
を解くことで， $\left(\frac{5}{4},\frac{25}{16}\right)$ と分かる．
よって，求める面積は，
$\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left\{x^2-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left\{\left(x^2-4x+5\right)-\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{9}{32}\right)\right\}dx=\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x+\frac{9}{32}\right)dx+\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{13}{4}x+\frac{169}{32}\right)dx=\left[\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{8}x^2+\frac{9}{32}x\right]_{-\frac{3}{4}}^{\frac{5}{4}}+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{169}{32}x\right]_{\frac{5}{4}}^{\frac{13}{4}}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ ……(答)

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