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2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) (ソ)について．角の情報を引き出す必要があるため，内積で攻める必要があると判断する． (タ)と(チ)について．答えの形式から，との係数を文字で置くことから始める．すると，求める文字は2つのため，点に関する情報が2つ必要になるから，問題文から点に関する情報を2つ集める． (ツ)に

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方針の立て方

(1)
(ソ)について．角の情報を引き出す必要があるため，内積で攻める必要があると判断する．
(タ)と(チ)について．答えの形式から， $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{OB}}$ の係数を文字で置くことから始める．すると，求める文字は2つのため，点 $\mathrm{C}$ に関する情報が2つ必要になるから，問題文から点 $\mathrm{C}$ に関する情報を2つ集める．
(ツ)について． $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}$ のままでは埒が明かないため，一先ず変形を試みる．前問の結果を用いれば変形の仕方も容易に思いつく．

(2)
$s,t,u$ の3文字から $s,t$ の等式を導くため，一先ず $u$ を消去することを考える．その後は， $s,t$ の等式を立てるため， $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{OB}}$ と $\vec{\mathrm{OC}}$ を消去する必要があるが，これにはベクトルの大きさで考えれば良いから，その方針で解く．

(3)
(ネ)～(ハ)について．前問で $s,t$ を導入したこともあり， $s,t$ 中心で考えていくと上手くいくと考える．すると， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|$ が $s,t$ で書き表せるため， $s,t$ を動かしたときの最大値を考えればいいことが分かる．前問の結果を加味すれば線形計画法の考え方であると見抜ける．
(ヒ)について．典型的な四面体の体積問題である．「垂線と面が直交する」と，「垂線と面を構成する2ベクトル(基底ベクトルという)が垂直」が同値であることを利用する．

解答例

(1)
ソ： $\frac{\pi}{3}$
タ： $\frac{3}{2}$
チ： $-\frac{1}{2}$
ツ： $9$
(2)
テ： $3$
ト： $0$
ナ： $-3$
ニ： $-3$
ヌ： $0$
(3)
ネ： $\frac{3+\sqrt3}{2}$
ノ： $\frac{1+\sqrt3}{2}$
ハ： $-1-\sqrt3$
ヒ： $\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}$

解説

(1)
〇 $\angle\mathrm{AOB}$ (ソについて)
点 $\mathrm{B}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\cos{\angle\mathrm{AOB}}=\frac{1}{\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|}=\frac{1}{2}$
$\therefore\angle\mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OC}}$ (タとチについて)
$\vec{\mathrm{OC}}$ は $\mathrm{AB}$ 上の点のため， $\vec{\mathrm{OC}}=t\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OB}}$ ( $t$ は実数)と表せる．
点 $\mathrm{C}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=t\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=4t+6\left(1-t\right)=-2t+6$
$\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2=t^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+2t\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=28t^2-60t+36$
$\therefore28t^2-60t+36=\left(-2t+6\right)^2\Leftrightarrow t=0,\frac{3}{2}$
$t=0$ では $\vec{\mathrm{OC}}=\vec{\mathrm{OB}}$ となるため不適．よって， $t=\frac{3}{2}$ ．
$\therefore\vec{\mathrm{OC}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-\frac{3}{2}\right)\vec{\mathrm{OB}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}$ (ツについて)
前問の結果を変形すると，
$\vec{\mathrm{OB}}=3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}$
$\therefore\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=\left(3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-2\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=3\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|$ ( $\because$ 点 $\mathrm{D}$ は図形 $S$ 上の点) $=3\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3\left(-2t+6\right)=9$ ……(答)

(2)
$s+t+u=1$ である．
点 $\mathrm{Q}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}\right)^2=\left(s\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\right)^2\bigm=\left(4s+t\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+u\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|\right)^2=\left(4s+6t+3u\right)^2\bigm=\left(3+s+3t\right)^2\left(\because s+t+u=1\right)\bigm=s^2+9t^2+6st+6s+18t+9$
一方，
$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(s\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OD}}\right)^2=s^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+2tu\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+2us\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=4s^2+36t^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+18tu+2us\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|=4s^2+36t^2+9u^2+12st+18tu+6us\bigm=7s^2+27t^2+6st-12s+9\left(\because s+t+u=1\right)$
$\therefore s^2+9t^2+6st+6s+18t+9=7s^2+27t^2+6st-12s+9\Leftrightarrow s^2+3t^2-3s-3t=0$ ……(答)

(3)
〇 $\vec{\mathrm{OE}}$ (ネ～ハについて)

前問で求めた $s,t$ の条件より，
$s^2+3t^2-3s-3t=0\Leftrightarrow\left(s-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=3$ ……①
また，(2)での議論より， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=3+s+3t$
ここで， $s+3t=k$ とおくと， $t=-\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}k$ であり，①の下で $k$ が最大となるときを考えれば良い．
左図のように，線形計画法の要領で解くと， $k$ の最大値は $3+2\sqrt3$ と分かり，このとき， $s=\frac{3+\sqrt3}{2},t=1+32$ となる．
$s+t+u=1$ より， $u=1-\frac{3+\sqrt3}{2}-\frac{1+\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3$ となる．
$\therefore\vec{\mathrm{OE}}=\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}$ ……(答)

〇四面体 $\mathrm{OCDE}$ (ヒについて)
$\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ より， $\triangle\mathrm{OCD}=\frac{1}{2}\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OD}=\frac{9}{2}$
点 $\mathrm{E}$ から $\triangle\mathrm{OCD}$ への垂線の足を点 $\mathrm{H}$ とする．すると， $\vec{\mathrm{EH}}\bot\triangle\mathrm{OCD}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}$
ここで， $\alpha,\beta$ を実数として $\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OH}}-\vec{\mathrm{OE}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}$ (つまり $\vec{\mathrm{OH}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}$ )とすると，(1)の結果より， $\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3$ であることに注意して，
$\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\alpha\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2+\beta\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\alpha-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+\left(1+\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OB}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|-\frac{1}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2\right)\bigm=9\alpha+3\sqrt3$
$\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\beta\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\beta-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot9+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2=9\beta+3\sqrt3$
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 9\alpha+3\sqrt3=0 \\ 9\beta+3\sqrt3=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=-\frac{\sqrt3}{3} \\ \beta=-\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
$\therefore\vec{\mathrm{EH}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{EH}}\right|=\sqrt{\left(-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}\right)^2}=\sqrt{2\left(3+2\sqrt3\right)^2}=3\sqrt2+2\sqrt6$
よって，四面体 $\mathrm{OCDE}$ の体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}\cdot\left(3\sqrt2+2\sqrt6\right)=\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.20

方針の立て方 (1) 実際に題意を満たすサイコロを目の出し方を考えることで方針を得る．複数のサイコロの問題ではサイコロは区別したほうが処理しやすい． (2) 「少なくとも」の問題であるため，基本解法である余事象で解くと考える．後は全問と同様に題意を満たすサイコロの目の出し方を考えれば，解答を得られる

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方針の立て方

(1)
実際に題意を満たすサイコロを目の出し方を考えることで方針を得る．複数のサイコロの問題ではサイコロは区別したほうが処理しやすい．

(2)
「少なくとも」の問題であるため，基本解法である余事象で解くと考える．後は全問と同様に題意を満たすサイコロの目の出し方を考えれば，解答を得られる．

(3)
これも題意を満たすパターンを考えることで方針を得られる．

解答例

(1)(2)(3)(4)…… $\frac{02}{09}$
(5)(6)(7)(8)…… $\frac{03}{04}$
(9)(10)(11)(12)(13)(14)…… $\frac{025}{162}$

解説

サイコロを区別して考え，一つ目のサイコロの目が $x$ ，二つ目のサイコロの目が $y$ であったとき，この目の出方を $\left(x,y\right)$ と表す．
(1)
題意を満たすサイコロの目の出し方は， $\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right)$ とこれらを入れ替えた計8通り．全ての目の出し方は $6^2=36$ 通りのため，求める確率は，
$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$ ……(答)

(2)
余事象で考える．36通りの目の出し方の中で，差が1か2となる出し方は， $\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(3,4\right),\left(4,5\right),\left(5,6\right),\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right)$ とこれらを入れ替えた計18通りであり，これらを除いた18通りの目の出し方を2回すれば余事象の条件が満たされる．よって，余事象の確率は，
$\left(\frac{18}{36}\right)^2=\frac{1}{4}$
である．よって，求める確率は，
$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ ……(答)

(3)
箱1の玉を取り出す事象を①，箱2の玉を取り出す事象を②，それ以外の箱を確認する事象を③と表すことにする．1回の操作で，①が起こる確率は $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ ，②が起こる確率は $\frac{2}{9}$ ，③が起こる確率は $1-\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\frac{1}{2}$ である．
題意を満たすパターンは，「○１２」，「○２１」，「１○２」，「２○１」，「１１２」，「２２１」の6通りであり，前4つが起こる確率はそれぞれ $\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}$ であり，「１１２」が起こる確率は $\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}$ ，「２２１」が起こる確率は $\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18}$ である．よって，求める確率は，
$4\times\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}+\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18}=\frac{25}{162}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問6

2019.09.20

方針の立て方実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「に含まれ，かつ，四角形に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．面積の方は領域

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方針の立て方

実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「 $S$ に含まれ，かつ，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．
面積の方は領域の図示ができれば問題ない．計算を簡単にするために $y$ 軸での対称性を見抜きたい．

解答例

(111)(112)(113)(114)…… $\frac{\sqrt{03}}{06}$
(115)…… $2$
(116)(117)…… $03$
(118)(119)…… $03$
(120)(121)…… $01$
(122)(123)…… $03$
(124)(125)…… $-1$
(126)(127)…… $16$
(128)(129)…… $-9$
(130)(131)…… $03$
(132)(133)…… $03$

解説

(1)
四角形 $\mathrm{AMGN}$ の辺および内部の点を $\mathrm{P}\left(x,y\right)$ とおく．

左図のように，点 $\mathrm{P}$ から，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ へ垂線(図では実線)を引き，順番に $l_1,l_2,l_3$ とする．また，点 $\mathrm{P}$ と，点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を結び，その線分(図では破線)を順番に $L_1,L_2,L_3$ とする．
すると，求める領域は，
$max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}\geqq min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}$
を満たす点 $\mathrm{P}$ の集合である．
四角形 $\mathrm{AMGN}$ では， $max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=l_2=y,min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}=L_1=\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}$ となるから，上記の条件は
$y\geqq\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}\Leftrightarrow y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$
となる．また，点 $\mathrm{P}$ が四角形 $\mathrm{AMGN}$ 内にある条件は，
$\begin{cases} y\leqq\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\leqq-\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\geqq\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \\ y\geqq-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
である．この内，下2つは $y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$ に内包される( $\because\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)\geqq\pm\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}\Leftrightarrow\left(x\mp1\right)^2\geqq0$ )ので，結局，求める条件は，
$\begin{cases} y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right) \\ y\leqq\sqrt3\left(x+1\right) \\ y\leqq-\sqrt3\left(x-1\right) \end{cases}$

求める面積は， $y$ 軸での対称性を考えれば，
$2\int_{3-2\sqrt3}^{0}\left\{\left(\sqrt3x+\sqrt3\right)-\left(\frac{\sqrt3}{6}x^2+\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}dx=\left[-\frac{\sqrt3}{9}x^3+\sqrt3x^2+\sqrt3x\right]_{3-2\sqrt3}^0=16-9\sqrt3$ ……(答)
また、領域 $S$ の面積は、対称性を考えると3倍と分かる……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.20

方針の立て方 (1) まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい． (2) 前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．解答

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方針の立て方

(1)
まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい．

(2)
前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．

解答例

(85)(86)…… $03$
(87)(88)…… $-1$
(89)(90)…… $05$
(91)(92)…… $10$
(93)(94)…… $-1$
(95)(96)…… $02$
(97)(98)…… $-1$
(99)(100)…… $02$
(101)(102)…… $02$
(103)(104)…… $05$
(105)(106)…… $25$
(107)(108)(109)(110)…… $\frac{03}{05}$

解説

(1)
三角形の頂点は， $\left(0,-1\right),\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right),\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)$ である．よって，長さは， $2,2,2\sqrt5$ となり， $4^2+2^2=\left(2\sqrt5\right)^2$ が成り立つため，この三角形は長さ $2\sqrt5$ の辺を斜辺とする直角三角形である．

求める内接円の半径を $r$ とすると，三角形の面積について等式が立てられて，
$\frac{1}{2}r\left(4+2+2\sqrt5\right)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2\Leftrightarrow r=3-\sqrt5$ ……(答)
次に中心を求める．ベクトルを利用する．
$\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)$
$\left|\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)\right|=2$
$\left(0,-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)$
$\left|\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)\right|=4$
より，
$\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)}{2}+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)}{4}=\left(\sqrt{10}-\sqrt2,2\sqrt2-1\right)$ ……(答)

(2)
$\triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ より，体積は， $\frac{1}{3}\cdot3\cdot5=5$ ……(答)
次に表面積を求める．
$\triangle\mathrm{OAB}=3$ ， $\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5，\triangle\mathrm{OBC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}，\triangle\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{CB}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CB}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29\cdot34-{25}^2}=\frac{19}{2}$ より，
$3+5+\frac{15}{2}+\frac{19}{2}=25$ ……(答)
求める内接球の半径を $r$ とすると，四面体の体積についての等式が立てられて，
$\frac{1}{3}\cdot r\cdot25=5\Leftrightarrow r=\frac{3}{5}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方どれも10進法に直して処理し，その後，元の進数に直せばよい．解答例 (72)(73)(74)……642 (75)(76)……14 (77)(78)……10 (79)(80)……12 (81)(82)……07 (83)(84)……15 解説 (1) ……(答) (2) よって，……(答

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方針の立て方

どれも10進法に直して処理し，その後，元の進数に直せばよい．

解答例

(72)(73)(74)……642
(75)(76)……14
(77)(78)……10
(79)(80)……12
(81)(82)……07
(83)(84)……15

解説

(1)
${2018}_{\left(10\right)}={642}_{\left(18\right)}$ ……(答)

(2)
${516}_{\left(n\right)}={5n^2+n+6}_{\left(10\right)}={2018}_{\left(10\right)}$
$\therefore5n^2+n+6=2018\Longleftrightarrow\left(n-14\right)\left(5n+71\right)=0\Leftrightarrow n=14,-\frac{71}{5}$
よって， $n=14$ ……(答)

(3)
$x^2-{22}_{\left(8\right)}x+{120}_{\left(8\right)}=0\Leftrightarrow x^2-{18}_{\left(10\right)}x+{80}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(x-8_{\left(10\right)}\right)\left(x-{10}_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow x=8_{\left(10\right)},{10}_{\left(10\right)}\Leftrightarrow x={10}_{\left(8\right)},{12}_{\left(8\right)}$ ……(答)

(4)
${23}_{\left(m\right)}={2m+3}_{\left(10\right)}$
${114}_{\left(m\right)}={m^2+m+4}_{\left(10\right)}$
$\therefore x^2-{23}_{\left(m\right)}x+{114}_{\left(m\right)}=0\Longleftrightarrow x^2-\left(2m+3\right)_{\left(10\right)}x+\left(m^2+m+4\right)_{\left(10\right)}=0$
$5_{\left(m\right)}=5_{\left(10\right)}$ より，
${25}_{\left(10\right)}-\left(2m+3\right)_{\left(10\right)}\cdot5_{\left(10\right)}+\left(m^2+m+4\right)_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow m^2-9_{\left(10\right)}+{14}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(m-2_{\left(10\right)}\right)\left(m-7_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow m=2_{\left(10\right)},7_{\left(10\right)}$
$5_{\left(m\right)}$ の表記が可能なのは， $m=7_{\left(10\right)}$ ……(答)
$\therefore x^2-\left(2\cdot7+3\right)_{\left(10\right)}x+\left(7^2+7+4\right)_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow x^2-{17}_{\left(10\right)}x+{60}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(x-5_{\left(10\right)}\right)\left(x-{12}_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow x=5_{\left(10\right)},{12}_{\left(10\right)}=5_{\left(7\right)},{15}_{\left(7\right)}$
よって，求めるもう1つの解は， ${15}_{\left(7\right)}$ ……(答)

2018年慶應義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問3

2019.09.20

方針の立て方ガウス記号のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は，の値が同じをまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする． (1) 実際に書き出すことで解答を得る． (2) 前問で得られた規則性を使う．の値が1つ上がるのはが平方数となるときであることに気付ければ

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方針の立て方

ガウス記号 $\left[\quad\right]$ のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は， $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が同じ $n$ をまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする．
(1)
実際に書き出すことで解答を得る．

(2)
前問で得られた規則性を使う． $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が1つ上がるのは $n+1$ が平方数となるときであることに気付ければ，後はケアレスミスに注意して考えるのみ．平方数の差を取ると奇数となることは知識として押さえておくとよい．今回も「 $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は” $2m+1$ ”個」というところで，奇数が出てきている．

(3)
$a_n$ との違いに気づければ，解法を得る． $n$ が奇数のとき $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は負の値となる．整数や数列の問題では，前問や本問のように偶奇に着目して規則性を見つけることがよくある．

(4)
問題文中ではっきりと言われていないため題意がつかみにくいが，答えの表式が「 $a_n=$ 」となっていることから，一般項を求める問題であるということにまず気付くこと．後は(2)(3)とで群数列として扱ってきたことを踏まえ，群数列の解法を取ればよい．

解答例

(53)(54)…… $19$
(55)(56)…… $-1$
(57)(58)…… $30$
(59)(60)…… $81$
(61)(62)…… $06$
(63)(64)…… $-2$
(65)…… $3$
(66)(67)…… $-3$
(68)(69)…… $05$
(70)(71)…… $06$

解説

(1)
順番に書き出してみると，
$a_2=2$
$a_3=3$
$a_4=5$
$a_5=7$
$a_6=9$
$a_7=11$
$a_8=13$
$a_9=16$
$a_{10}=19$ ……(答)
$b_1=1$
$b_2=0$
$b_3=1$
$b_4=-1$
$b_5=1$
$b_6=-1$
$b_7=1$
$b_8=-1$
$b_9=2$
$b_{10}=-1$ ……(答)
(2)
$n$ と $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$4$	$\cdots$

ここから， $\left[\sqrt{n+1}\right]=1$ となる $n$ は( $n=0$ を含めて)3個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=2$ となる $n$ は5個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=3$ となる $n$ は7個あり，……， $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は $2m+1$ 個あると分かる．
$\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列である．よって，
$a_{30}=a_1+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot7+4\cdot9+5\cdot6=100$ となる．
数列 $\left\{a_n\right\}$ は明らかに単調増加列であるので，求める $n$ の範囲は， $n\geqq30$ ……(答)

(3)
$n$ と $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$-1$	$1$	$-2$	$2$	$-2$	$2$	$-2$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-4$	$\cdots$

よって，
$\sum_{n=0}^{2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1$
$\sum_{n=3}^{7}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=-2$
$\sum_{n=8}^{14}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=3$
$\vdots$
$\sum_{n=m^2-1}^{\left(m+1\right)^2-2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=\left(-1\right)^{m+1}m$
が成り立つと分かる．
$1+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)+9=5$
である．ここで，

$n$	$\cdots$	$77$	$78$	$79$	$80$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\cdots$	$-8$	$8$	$-8$	$9$	$\cdots$

であるから， $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列であることに注意して，
$b_{80}=b_1+\sum_{n=1}^{79}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1+0+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)=-4$
$b_{81}=b_{80}+\left(-1\right)^{80}\left[\sqrt{80+1}\right]=-4+9=5$
よって求める $n$ は， $n=81$ ……(答)

(4)
(2)の議論を応用すれば， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる自然数 $k$ は $2m+1$ 個あると分かる．よって， $\left[\sqrt k\right]=1,2,3,\cdots,m-1$ となる自然数 $k$ の個数の総数は， $\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k+1\right)=m^2-1$ 個と分かる．
よって， $1\leqq k\leqq n$ までの $n$ 個の自然数 $k$ のうち， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる $k$ の個数は， $n-\left(m^2-1\right)$ 個あると分かる．
$\therefore a_n=\sum_{k=1}^{m-1}k\left(2k+1\right)+m\left\{n-\left(m^2-1\right)\right\}=\frac{6mn-2m^3-3m^2+5m}{6}$ ……(答)

2018年慶應義塾環境情報数学|過去問徹底研究大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1) 平易な問題のため特筆事項なし． (2) 前問の問題を利用するために，変数変換をして，の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．解答例 (15)(16)…… (

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方針の立て方

(1)
平易な問題のため特筆事項なし．

(2)
前問の問題を利用するために，変数変換をして， $\left|p-1\right|+\left|q-1\right|$ の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．
また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．

解答例

(15)(16)…… $01$
(17)(18)(19)(20)…… $\frac{01}{04}$
(21)(22)(23)(24)…… $\frac{03}{04}$
(25)(26)…… $\frac{9}{4}$
(27)(28)…… $\frac{1}{4}$
(29)(30)…… $\frac{1}{2}$
(31)(32)…… $01$
(33)(34)(35)(36)…… $\frac{-1}{04}$
(37)(38)…… $\frac{3}{4}$
(39)(40)…… $\frac{3}{2}$
(41)(42)…… $02$
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{01}{02}$
(47)(48)…… $01$
(49)(50)…… $02$
(51)(52)…… $-1$

解説

(1)
線形計画法の考え方で考えれば， $\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ か $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ のどちらかで最小値となる．
$\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ を代入すると， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-1\right|=\frac{3}{4}$ であり， $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ を代入すると， $\left|2-1\right|+\left|1-1\right|=1$ であるから，答えは，
$p=1,q=\frac{1}{4},m=\frac{3}{4}$ ……(答)

(2)
$2x+y=p,2xy=q$ とおく． $x,y$ が実数のため， $2x\left(p-2x\right)=q\Leftrightarrow-4x^2+2px-q=0$ の判別式は非負である．
$\therefore p^2-4q\geqq0\Leftrightarrow q\leqq\frac{p^2}{4}$
よって，前問で $\left|q-1\right|$ の箇所を $\left|q-a\right|$ としたものとして考えられる．線形計画法で考えれば， $a$ が小さいときには，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ でとり，値を大きくするとある $a$ で，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方でとり，それより $a$ の値が大きくなると，最小値は $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ でとる．
$\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方で最小値となるのは， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|$ が成立するときであり，これを解くと， $a>\frac{1}{4}$ より， $a=\frac{9}{4}$ である．
よって，
(ⅰ) $\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=a-\frac{1}{4}$ ……(答)
(ⅱ) $a=\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ または， $\begin{cases} p=2\sqrt a=3 \\ q=a=\frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right|=2$ ……(答)
(ⅲ) $\frac{9}{4}<a$ の場合， $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ のとき， $m=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|=2\sqrt a-1$ ……(答)

HIRO ACADEMIAの評判、口コミ、ネットでの情報の付き合い方

2019.09.17

ネットを探すと色々な情報が出てきますね。結論から言いますといい評判も悪い評判も全部ひっくるめて、総合的に判断する必要があります。ここでは悪い口コミ、いい口コミ色々ある中でどのように付き合っていくべきかを考えていきます。悪い口コミに対しての考え方どれだけ注意をしたとしても・・どこの塾であって

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ネットを探すと色々な情報が出てきますね。
結論から言いますといい評判も悪い評判も全部ひっくるめて、

総合的に判断する必要があります。

ここでは悪い口コミ、いい口コミ色々ある中でどのように付き合っていくべきかを考えていきます。

悪い口コミに対しての考え方

どれだけ注意をしたとしても・・どこの塾であっても、長く経営していれば、

何かしらの問題は起こりえます。

その中で塾生徒の齟齬が起こり、悪い口コミを書いていくという場合があります。

この場合は、必ずしもどちらに非があるとは言えません。

当塾も一部のネットの方には酷く言われています。

また他には、競合他社が悪い口コミを書いて、自分の塾に呼び込むということを行っているケースもあるようです。

どの塾も良い点悪い点もあると思うのですが、わるい点を誇張して、
自身に呼び込むというものです。

それ以外にもイタズラで口コミを記載されることもあります。

特に私たちのような中学生高校生相手の塾ですと、イタズラで口コミされてしまうことがあるんです。。

このようにネットの口コミは誰がかいているかわからない・・・ということを考慮した方が良いでしょう。

見るべきは悪い口コミ発生率ではないかな・・・と思います。

悪い口コミもあればよい口コミもあるのが当然です。

まとめ
悪い口コミも誰が書いたかわからないし、状況がわからないので、必ずしも信頼できるとはかぎらない。
いい口コミに対してどれだけわるい口コミがあるのかをみてみるのがよいでしょう。

良い口コミに対しての考え方

あからさまに良い口コミだけの場合は逆に要注意です。

良い口コミだらけだと、

『素晴らしい塾だ！』と思って飛びこむことがあるのですが、、

そういうわけではないこともしばしば。。

そういえば、以前このような話がありました。

以前、広告会社から電話が来まして、

『自社でランキングサイトを作って自社を一位にしたらどうか？』

ということを提案いただきました。

もちろん、丁重にお断りしましたが・・

上記のような提案がウチまで来るということは、そのようなランキングサイトは、

かなりの塾さんがやっているのではないか？と推察できます。

そのため良い口コミだけを信頼するのも良くないのです。

まとめ
よい口コミも100%信じてよいものではないこともある。
自分にとって何がよいのかを冷静に考てみましょう。色々と審議するのも考えるトレーニングになりますよ！

まとめ

ネットにはよい評判、悪い評判いろいろありますよね。どの塾にもよい点、悪い点色々あると思いますので、自分にあった塾を見つけてみてくださいね。

以前、塾の選び方というブログ記事を書いたので、参考にしていただければ幸です。

こちらから確認できます。

早慶への日本史勉強法マップ|早慶の日本史を0から学ぶ方法

2019.09.12

このページでは、当塾で指導している早稲田慶應に合格するための最速で効率的に日本史の成績をあげる勉強方法をお伝えします。ページ目次インプット|流れの把握と語彙を覚えるインプット|細かな歴史語彙を覚えていくアウトプット|問題集を解くリーズニングができる早慶に合格するオススメの参考書プランが知りたい!

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このページでは、当塾で指導している早稲田慶應に合格するための最速で効率的に日本史の成績をあげる勉強方法をお伝えします。 [toc]
インプット|流れの把握と語彙を覚える

日本史ができるためには、まずはでてきた歴史語彙を覚えていく必要があります。

ですが、最初の段階では細かな語彙を覚える必要はありません。
それよりも全体の流れを掴むことに専念しましょう。流れを掴むというのは、教材をざっくり読むのと各世紀においてどこで何が起こったかの把握と簡単な因果関係の把握となります。

また、覚える語彙はとにかく頻度の高いもののみに絞ってください。いきなりたくさん覚えようとしても覚えられませんし忘れます。ですので、よく出る部分のみで抑えるようにしてください。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/nihonshi-benkyo/"]
インプット|細かな歴史語彙を覚えていく

インプットを進めるにしたがって、知識の詳細度を高めてください。全体像を最初に把握して、そのあとに細かな部分を暗記するようにしてください。この段階では、時間がない場合は問題集を解く必要はなく、一問一答などで確認するだけで良いでしょう。覚えるべきことを覚えてない限りは、問題集をやってもできるようになりません。

一問一答の使い方についてはこちらをご覧ください。

アウトプット|問題集を解く

もちろんこのくらいの偏差値にとどくよりも前に行っても問題ありません。分野によっては得意不得意があるため、できる部分もあるでしょう。
ただ偏差値60というのが基礎が身についたかどうかの一つの基準になるためこのレベルよりも明らかに下の場合はまずはインプットに集中しましょう。
[nlink url="https://hiroacademia.jpn.com/blog/program/nihonshi-benkyo-output/"]
リーズニングができる

早慶などの私大の場合は、選択肢から選ぶ形式となっているため文章を読むことができなくても、「なんとなくわかれば答えがでる！」と思い込んでいる人が多いようです。

もちろん、このレベルの受験生が論外で受かるわけがないのは当然でしょう。

なぜその答えを選ぶのか？どうして答えになるのか？という部分を徹底的に行っていきましょう。
問題を見ただけで自身で選択肢を見ないで、答えを出せるレベルまで行った上で選択肢を吟味してなぜその選択肢が間違っているのか？、なぜその選択肢があっているのか？という点を言葉で人に説明できるレベルまで持っていけると良いでしょう。
赤本のや青本の解説を見てわかったと勘違いしていても早慶には程遠いです。

自身で解説ができるくらい全ての選択肢の正誤の理由を考えていきましょう。当塾では全ての選択肢について正誤の理由を書いていくのを必須としています。

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2018年慶応義塾大学総合政策　数学|過去問徹底研究大問6

2019.09.08

2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6 方針の立て方 (1) 解答欄の形式から，を用いてはいけないため，とについての等式を立てれば良いと分かる．この内，についての等式は，立てるまでもなく(座標)であるため，本解では省略した． (2) 特筆事項なし． (3) 実際にぐらいまで考えて

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2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
解答欄の形式から， $p_i$ を用いてはいけないため， $s_i$ と $r_i$ についての等式を立てれば良いと分かる．この内， $r_i$ についての等式は，立てるまでもなく( $y$ 座標) $=r_i$ であるため，本解では省略した．

(2)
特筆事項なし．

(3)
実際に $\left(r_4,s_4,p_4\right)$ ぐらいまで考えてみれば，解答が予測できる上に，何故そうなるのかの理由も分かる．

(4)
前問同様，最初の数回を具体的に考えれば解法を得られる．前問の試行で得られた知見を用いれば，比較的簡単に，期待値の評価ができる．

解答例
(63)(64)……01
(65)(66)……02
(67)(68)……01
(69)(70)……00
(71)(72)……06
(73)(74)……02
(75)(76)……06
(77)(78)……06
(79)(80)……12

解説

(1)
$y$ 座標は $r_i$ である． $x$ 座標を $X$ とする．点と直線の距離の公式より，直線PR( $y=\sqrt3x$ )と点 $J_i$ との距離について，
$s_i=\frac{\left|r_i-\sqrt3X\right|}{2}$
となる．点 $J_i$ は，直線PRよりも下側にあるため， $r_i-\sqrt3X\leqq0$ である．
$\therefore s_i=\frac{\sqrt3X-r_i}{2}\Leftrightarrow X=\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3}$
$\therefore\left(\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3},r_i\right)$ ……(答)

(2)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ となる．
$\therefore\left(\frac{6}{\sqrt3},2\right)$ ……(答)

(3)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ となる．
第３ラウンド以降は $\left(r_i,s_i,p_i\right)$ は $\left(4,2,0\right)$ か $\left(6,0,0\right)$ のどちらかとなる．
$\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(4,2,0\right)$ となる確率について考えると，第３ラウンド以降の14回の対戦全てが「R対Rが２組，S対Sが１組」という当たり方をせねばならない．これが起こる確率は， $\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ である．よって， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率は $1-\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ となり，明らかに， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率の方が大きい．
よって，求める座標は $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ から求められる点で， $\left(\frac{6}{\sqrt3},6\right)$ ……(答)

(4)
第１ラウンドが，
(ⅰ)R対P，R対S，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,0,2\right)$ → $E\left(P\right)>E\left(R\right)>E\left(S\right)$ となる．
(ⅱ)R対P，R対R，S対Sの場合(場合の数は3通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ → $E\left(P\right)=E\left(R\right)=E\left(S\right)$ となる．
(ⅲ)S対P，R対R，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ → $E\left(R\right)>E\left(S\right)>E\left(P\right)$ となる．
よって， $E\left(R\right)>E\left(P\right)>E\left(S\right)$ となる．
$\therefore$ (12)……(答)

続きはこちらから

大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

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