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2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問4

2019.10.01

方針の立て方どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる．然程複雑な操作・計算ではないため，ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる．最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので，それを利用することを考える．これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると，最終的に袋Bには

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方針の立て方
どれも実際に玉の移動を考えることで解答を得られる．然程複雑な操作・計算ではないため，ケアレスミスにだけ気を付けて書き出せば確実に得点できる．
最後の(ⅴ)は前問までで散々2回の操作を考察したので，それを利用することを考える．これも実際に題意を満たす取り出し方を考えると，最終的に袋Bには玉2,4,6しか許されないことが分かる．よって，2回目の袋Bの中の玉の内訳で3回目に取り出さねばならない玉の番号が決まる．逆に言えば，3回目にどの番号の玉を取り出すかを決めると，2回目の操作終了後の袋Bに入っている玉が一意的に決まることになる．これより，3回目の操作で袋Bに入れる玉の番号で場合分けして考えるという解法が立つ．

解答例
(ⅰ)
(43)(44)(45) $\frac{1}{10}$

(ⅱ)
(46)(47)(48) $\frac{1}{70}$

(ⅲ)
(49) $1$
(50) $1$
(51) $3$
(52)(53)(54) $\frac{3}{55}$
(55)(56)(57) $\frac{4}{77}$
(58)(59)(60) $\frac{1}{35}$
(61)(62)(63) $\frac{2}{35}$

(ⅳ)
(64) $2$
(65) $8$
(66) $1$
(67) $4$
(68) $6$

(ⅴ)
(69)(70)(71) $\frac{2}{35}$

解説
(ⅰ)
1回目の操作が終わった後，袋Aには玉1,1,2,2,3,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている．
よって，求める確率は， $\frac{1}{10}$ ……(答)

(ⅱ)
1回目の操作で玉2が袋Bに入れられる確率は， $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$ ．
1回目の操作が終わった後，袋Aには玉1,3,4,4,5,5,6,6,7,7の計10個の玉が入っている．
よって，２回目の操作で玉１が袋Bに入れられる確率は $\frac{1}{10}$ ．
これら二つの事象は独立であるので，積の法則より，求める確率は，
$\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{70}$ ……(答)

(ⅲ)
事象 $B_{1,2}$ に該当するのは，「1回目の操作で玉1，2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象と「1回目の操作で玉2，2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象．
前問と同様に考えれば，「1回目の操作で玉1，2回目の操作で玉2を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は $\frac{2}{14}\times\frac{1}{11}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11}$ ，「1回目の操作で玉2，2回目の操作で玉1を袋Bに入れる」という事象が起こる確率は $\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}$ ．
$\therefore P\left(B_{1,2}\right)=\frac{1}{7}\times\frac{1}{11}+\frac{1}{7}\times\frac{1}{10}=\frac{3}{110}$ ……(答)
同様に考えると，
$P\left(B_{1,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{3}{55}$ ……(答)
$P\left(B_{1,7}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{11}=\frac{4}{77}$ ……(答)
$P\left(B_{2,3}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{35}$ ……(答)
$P\left(B_{2,4}\right)=\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}+\frac{2}{14}\times\frac{2}{10}=\frac{2}{35}$ ……(答)

(ⅳ)
起こる確率が $P\left(B_{1,2}\right)$ であるものは， $B_{1,2}$ と $B_{6,7}$ の2個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{1,3}\right)$ であるものは， $B_{1,3}$ と $B_{1,4}$ と $B_{1,5}$ と $B_{1,6}$ と $B_{2,7}$ と $B_{3,7}$ と $B_{4,7}$ と $B_{5,7}$ の8個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{1,7}\right)$ であるものは， $B_{1,7}$ の1個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{2,3}\right)$ であるものは， $B_{2,3}$ と $B_{3,4}$ と $B_{4,5}$ と $B_{5,6}$ の4個……(答)
起こる確率が $P\left(B_{2,4}\right)$ であるものは， $B_{2,4}$ と $B_{2,5}$ と $B_{2,6}$ と $B_{3,5}$ と $B_{3,6}$ と $B_{4,6}$ の6個……(答)

(ⅴ)
題意を満たす取り出し方をした場合，最終的に袋Bには玉2,4,6が入っている．
3回目の操作で玉6を袋Bに入れて題意を満たす場合，2回目の操作終了後に袋に玉2,4が入っていて(このとき袋Aには玉1,5,6,6,7,7の計6個が入っている)，そこに玉3を入れれば良いため，その確率は，
$P\left(B_{2,4}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}$
同様に，3回目の操作で玉4を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は，
$P\left(B_{2,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}$
であり，3回目の操作で玉2を袋Bに入れて題意を満たす場合の確率は，
$P\left(B_{4,6}\right)\times\frac{2}{6}=\frac{2}{35}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{105}$
である．これらは排反であるため，求める確率は，和の法則より，
$\frac{2}{105}+\frac{2}{105}+\frac{2}{105}=\frac{2}{35}$ ……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.10.01

方針の立て方殆ど基本問題であるため，特筆事項なし．を求めるときは，座標は角度の問題に弱いため，内積に持ち込むことを考える．点が次々と定義されていくため，簡単に図にまとめると題意をつかみやすい．解答例 (24) (25) (26) (27) (28) (29)(30) (31) (32) (33

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方針の立て方
殆ど基本問題であるため，特筆事項なし．
$\angle\mathrm{ACP}$ を求めるときは，座標は角度の問題に弱いため，内積に持ち込むことを考える．点が次々と定義されていくため，簡単に図にまとめると題意をつかみやすい．

解答例
(24) $4$
(25) $2$
(26) $0$
(27) $4$
(28) $0$
(29)(30) $-3$
(31) $5$
(32) $4$
(33) $8$
(34) $4$
(35) $3$
(36) $9$
(37) $6$
(38) $3$
(39)(40) $\frac{1}{6}$
(41)(42) $\frac{1}{2}$

解説
〇点 $\mathrm{A}$ と中心 $\mathrm{B}$ および半径((24)～(31)について)
$x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9$
よって，球面 $S$ は点 $\left(4,2,-3\right)$ を中心とする半径3の球面である．よって $xy$ 平面( $z=0$ )との接点 $\mathrm{A}$ の座標は $\left(4,2,0\right)$ ……(答)
また， $zx$ 平面( $y=0$ )との交わりは，
$\left(x-4\right)^2+\left(0-2\right)^2+\left(z+3\right)^2=9\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+\left(z+3\right)^2=5$
であり，これは中心 $\mathrm{B}\left(4,0,-3\right)$ ，半径 $\sqrt5$ の円を表す．……(答)
〇点 $\mathrm{P}$ ((32)～(38)について)
$\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\vec{\mathrm{OB}}$
である． $\vec{\mathrm{OA}}=\left(4,2,0\right),\vec{\mathrm{OB}}=\left(4,0,-3\right)$ より，
$\vec{\mathrm{OP}}=\frac{2}{2-\sqrt3}\left(4,2,0\right)+\frac{-\sqrt3}{2-\sqrt3}\left(4,0,-3\right)=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)$
よって，点 $\mathrm{P}$ の座標は $\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)$ ……(答)

〇 $\angle\mathrm{ACP}$ ((39)と(40)について)
$\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,-3\right)$ より，
$\vec{\mathrm{CA}}=\vec{\mathrm{OA}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,2,0\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,0,3\right)$
$\vec{\mathrm{CP}}=\vec{\mathrm{OP}}-\vec{\mathrm{OC}}=\left(4,8+4\sqrt3,9+6\sqrt3\right)-\left(4,2,-3\right)=\left(0,6+4\sqrt3,12+6\sqrt3\right)$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|=3,\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|=\sqrt{0^2+\left(6+4\sqrt3\right)^2+\left(12+6\sqrt3\right)^2}=4\sqrt{21+12\sqrt3},\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=0\cdot0+0\cdot\left(6+4\sqrt3\right)+3\cdot\left(12+6\sqrt3\right)=18\left(2+\sqrt3\right)$
一方で，
$\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CP}}=\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|\left|\vec{\mathrm{CP}}\right|\cos{\angle\mathrm{ACP}}=12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}$
とも表せるため，
$12\sqrt{21+12\sqrt3}\cos{\angle\mathrm{ACP}}=18\left(2+\sqrt3\right)\Leftrightarrow\cos{\angle\mathrm{ACP}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)}{2\sqrt{21+12\sqrt3}}=\frac{3\left(2+\sqrt3\right)\sqrt{21-12\sqrt3}}{2\sqrt{\left(21+12\sqrt3\right)\left(21-12\sqrt3\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2\left(21-12\sqrt3\right)}=\frac{\sqrt3}{2} \therefore\angle\mathrm{ACP}=\frac{1}{6}\pi$ ……(答)

〇円弧((41)と(42)について)
球面 $S$ ，点 $\mathrm{B}$ ，点 $\mathrm{C}$ ，点 $\mathrm{P}$ の位置関係を図示すると，下図のようになる．

これより，三角形 $\mathrm{BPC}$ の辺および内部が球面 $S$ と交わってできる図形は，長さ $3\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\pi$ の円弧である．……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.10.01

方針の立て方殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし．最後の面積は，円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である．円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため，解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう．解答例 (ⅰ) (ウ) (ⅱ) (4) (5) (6) (7)(8) (9) (1

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方針の立て方
殆ど全てが基本問題であり特筆事項なし．
最後の面積は，円形の部分の面積を求めるのに工夫が必要である．円の積分は(文系数学の範囲では)出来ないため，解析的にではなく幾何学的に求めることになると判断しよう．

解答例
(ⅰ)
(ウ) $4a\left(c-a\right)$

(ⅱ)
(4) $1$
(5) $2$
(6) $2$
(7)(8) $-1$
(9) $2$
(10)(11) $-2$

(ⅲ)
(エ) $8a^2+2$

(ⅳ)
(12)(13) $\frac{1}{2}$
(14)(15) $-2$
(16)(17) $\frac{5}{2}$
(18) $1$
(19) $1$
(20)(21) $\frac{7}{3}$
(22)(23) $\frac{1}{2}$

解説
(ⅰ)(ⅱ)
$f^\prime\left(x\right)=2ax+b$
放物線 $y=f\left(x\right)$ と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の接点を $\left(t,at^2+bt+c\right)$ とすると，接線は $y=\left(2at+b\right)x-at^2+c$ と表せる．これが $y=f^\prime\left(x\right)$ と一致するので，係数比較すると，
$\begin{cases} 2at+b=2a \\ -at^2+c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=1-\frac{b}{2a} \\ b^2=4a\left(c-a\right) \end{cases}$
よって， $b^2=4a\left(c-a\right)$ ……(答)
また， $t=1-\frac{b}{2a},b^2=4a\left(c-a\right)\Leftrightarrow c=a+\frac{b^2}{4a}$ より接点の座標は，
$\left(1-\frac{b}{2a},a\left(1-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(1-\frac{b}{2a}\right)+a+\frac{b^2}{4a}\right)=\left(1-\frac{b}{2a},2a\right)$ ……(答)
放物線 $y=-f\left(x\right)$ と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の接点についても，同様に考える．接点を $\left(t,-at^2-bt-c\right)$ とおくと， $y^\prime=-f^\prime\left(x\right)=-2ax-b$ より，接線は $y=-\left(2at+b\right)x+at^2-c$ と表せる．これが $y=f^\prime\left(x\right)$ と一致するので，係数比較すると，
$\begin{cases} -\left(2at+b\right)=2a \\ at^2-c=b \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} t=-1-\frac{b}{2a} \\ c=a+\frac{b^2}{4a} \end{cases}$
よって，接点 $\mathrm{P}$ の座標は，
$\left(-1-\frac{b}{2a},-a\left(-1-\frac{b}{2a}\right)^2-b\left(-1-\frac{b}{2a}\right)-\left(a+\frac{b^2}{4a}\right)\right)=\left(-1-\frac{b}{2a},-2a\right)$ ……(答)

(ⅲ)
原点と直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ の距離は，点と直線の距離の公式より $\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}$ ．よって，直線 $y=f^\prime\left(x\right)$ が原点を中心とする半径 $\sqrt2$ の円 $\mathrm{O}$ と接するための必要十分条件は，
$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{4a^2+1}}=\sqrt2\Leftrightarrow b^2=8a^2+2$ ……(答)

(ⅳ)
接点 $\mathrm{Q}$ の座標は，円 $\mathrm{O}$ の式が $x^2+y^2=2$ であることより，
$\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=2ax+b \end{cases}$
$b^2=8a^2+2$ を用いてこれを解くと，
$\left(x,y\right)=\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)$ 　(重解)
となる．よって，接点 $\mathrm{Q}$ の座標は $\left(-\frac{4a}{b},\frac{2}{b}\right)$ ．
これが点 $\mathrm{P}$ と一致するのは，
$\begin{cases} -1-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{b} \\ -2a=\frac{2}{b} \end{cases}$
$\Leftrightarrow\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)\left(-\frac{1}{2},2\right)$
$a$ は正の実数のため， $\left(a,b\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)$ が適当．これを条件(A)の式： $c=a+\frac{b^2}{4a}$ に代入すると， $c=\frac{5}{2}$ ．
$\therefore a=\frac{1}{2},b=-2,c=\frac{5}{2}$ ……(答)
このとき，円 $\mathrm{O}$ と放物線 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$ の共有点は，
$\begin{cases} x^2+y^2=2 \\ y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2} \end{cases}\Leftrightarrow\left(x,y\right)=\left(1,1\right)$
より， $\left(1,1\right)$ ……(答)
放物線 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$ ，直線 $y=f^\prime\left(x\right)=x-2$ ，円 $\mathrm{O}$ ： $x^2+y^2=2$ を図示すると，

上図．点 $\left(0,0\right),\left(1,-1\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)$ の4点を頂点とする正方形内について考えると，題意を満たす領域の面積は，正方形から四分円を引いた面積と等しくなるため，
$\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2$
と書ける．
よって，求める面積は，
$\left(\sqrt2\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\pi\left(\sqrt2\right)^2+\int_{1}^{2}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(-x+2\right)\right\}dx+\int_{2}^{3}\left\{\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}-\left(x-2\right)\right\}dx=2-\frac{1}{2}\pi+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x\right]_1^2+\left[\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x\right]_2^3=\frac{7}{3}-\frac{1}{2}\pi$ ……(答)

2016年慶應大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.10.01

方針の立て方 (ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため，特筆事項なし．解答例 (ⅰ) (1) (2) (3) (ⅱ) (ア) (イ) 解説 (ⅰ) は初項，公比の等比数列であるから，である．〇を満たす((1)について) の場合，であるから，を満たすには，であれば必要十分．のとき，この不等式は満た

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方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)ともに典型問題であるため，特筆事項なし．

解答例
(ⅰ)
(1) $9$
(2) $3$
(3) $\begin{cases} 2 \left(k=1\right) \\ 3 \left(k=5,10\right) \end{cases}$
(ⅱ)
(ア) $\alpha=0,\pi$
(イ) $\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi$

解説
(ⅰ)
$\left\{S_n\right\}$ は初項 $k$ ，公比 $k$ の等比数列であるから，
$S_n=k\cdot k^{n-1}=k^n$
である．
$\therefore a_1=S_1=k,a_n=S_n-S_{n-1}=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)$
〇 $a_n\geqq5000$ を満たす $n$ ((1)について)
$k=3$ の場合， $a_1=3,a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であるから， $a_n\geqq5000$ を満たすには，
$2\cdot3^{n-1}\geqq5000$
であれば必要十分． $n\geqq9$ のとき，この不等式は満たされる．
$\therefore n\geqq9$ ……(答)
〇 $a_n$ が100の倍数となる $n$ が存在する場合((2)と(3)について)
10以下の自然数 $k$ で $a_1\left(=k\right)$ が100の倍数となることはない．
10以下の自然数 $k$ の内， $a_n=\left(k-1\right)k^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ が $100\left(=2^2\cdot5^2\right)$ の倍数となる $n$ が存在するものを考える．
$k=1$ のとき， $a_n=0\left(n\geqq2\right)$ であり，これは任意の $n$ で100の倍数となる．
$k=2$ のとき， $a_n=2^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=3$ のとき， $a_n=2\cdot3^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=4$ のとき， $a_n=3\cdot4^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=5$ のとき， $a_n=2^2\cdot5^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，これは $n-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3$ のとき100の倍数となる．
$k=6$ のとき， $a_n=5\cdot6^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を1つしか含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=7$ のとき， $a_n=6\cdot7^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=8$ のとき， $a_n=7\cdot8^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=9$ のとき， $a_n=8\cdot9^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，素因数5を含まないため全ての $n$ で100の倍数とはならない．
$k=10$ のとき， $a_n=9\cdot{10}^{n-1}\left(n\geqq2\right)$ であり，これは $n-1\geqq2\Leftrightarrow n\geqq3$ のとき100の倍数となる．
以上より， $a_n$ が100の倍数となる $n$ が存在するような10以下の自然数 $k$ は $k=1,5,10$ の3つ……(答)
また，このとき， $a_n$ が100の倍数となるのは， $\begin{cases} n\geqq2 \left(k=1\right) \\ n\geqq3 \left(k=5,10\right) \end{cases}$ のとき……(答)

(ⅱ)
$\begin{cases} X=\sin{t} \\ Y=\sin{\left(t+\alpha\right)} \end{cases}$
とおくと，加法定理より，
$Y=\sin{\left(t+\alpha\right)}=\sin{t}\cos{\alpha}+\cos{t}\sin{\alpha}$
であるから，
$Y=\begin{cases} \cos{\alpha}\cdot X+\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(0\leqq t\leqq\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\leqq t\leqq2\pi\right) \\ \cos{\alpha}\cdot X-\sin{\alpha}\sqrt{1-X^2}\left(\frac{\pi}{2}\leqq t\leqq\frac{3}{2}\pi\right) \end{cases}$
となる．
〇 $T$ が線分となるような $\alpha$ の値((ア)について)
$T$ が線分となるのは $\sqrt{1-X^2}$ の係数 $\sin{\alpha}$ が0となるとき．
$\therefore\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=0,\pi$ ……(答)
〇 $T$ が原点を中心とする円となるような $\alpha$ の値((イ)について)
$T$ が原点を中心とする円となるのは $X$ の係数 $\cos{\alpha}$ が0となるとき(そのとき $\sin{\alpha}=\pm1$ となり $T$ の式は $x^2+y^2=1$ となる)．
$\therefore\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi$ ……(答)

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.09.30

方針の立て方簡単にでも作図をすることで題意とつかめ，方針も得られる． (1) 基本問題であるため，特筆事項はない．角度に関する情報が何も問題文で与えられていないため，余弦定理を用いて角度の情報を得ることを考える． (2) 実際に作図することで，全ての三角形が合同であることが分かる．これを利用すると

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方針の立て方
簡単にでも作図をすることで題意とつかめ，方針も得られる．
(1)
基本問題であるため，特筆事項はない．角度に関する情報が何も問題文で与えられていないため，余弦定理を用いて角度の情報を得ることを考える．
(2)
実際に作図することで，全ての三角形が合同であることが分かる．これを利用すると， $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ に着目するのが有効だと分かる．後は余弦定理を用いればよいので，余弦定理に必要な $\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}$ の情報を求める問題に帰着できる．(※ $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ は二等辺三角形であるから，頂角の二等分線を引くことで求める解法も使える．)
(3)
これも試しに $\mathrm{A}_\mathrm{3}$ まで作図してみると，本解答の図のように，ジグザグになっていることが分かる．

解答例
(1)

左図のように，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と直線 $\mathrm{C}_0\mathrm{B}_0$ の交点を $\mathrm{A}_\mathrm{H}と$ する．すると，
$\mathrm{A}_0\mathrm{A}_\mathrm{H}=\mathrm{A}_0\mathrm{C}_0\sin{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}$
である． $\mathrm{\triangle}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$ に余弦定理を用いると，
${\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}^2={{\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A} }_\mathrm{0}}^2+{\mathrm{B}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}}^2-2\cdot{\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A} }_\mathrm{0}\cdot{\mathrm{B}_\mathrm{0}\mathrm{C} }_\mathrm{0}\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}\bigm\Leftrightarrow5^2=8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}\Leftrightarrow\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=\frac{11}{14}$
であるから， $\sin{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=\frac{5\sqrt3}{14}$
$\therefore\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{H}=8\cdot\frac{5\sqrt3}{14}=\frac{20\sqrt3}{7}$
$\therefore\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}=2\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{H}=2\cdot\frac{20\sqrt3}{7}=\frac{40\sqrt3}{7}$ ……(答)

(2)

左図で全ての三角形は合同である．
よって， $\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}=\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}=\frac{40\sqrt3}{7}$ である．
また， $\angle\mathrm{B}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}=\angle\mathrm{B}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}$ より，
$\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}=\angle\mathrm{B}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{B}_\mathrm{0}=2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{B}_\mathrm{0}=2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$
である．よって，
$\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}=\cos{2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=1-2{\mathrm{sin}}^2\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$
ここで， $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}$ に正弦定理を用いると，
$\frac{\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}{\sin{\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}}=\frac{\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}{\sin{\angle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}}\Longleftrightarrow\frac{7}{\sin{\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}}=\frac{5}{\frac{5\sqrt3}{14}}\Leftrightarrow\sin{\angle\mathrm{C}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{B}_\mathrm{0}}=\frac{\sqrt3}{2}$
$\therefore\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}=1-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac{1}{2}$
よって， $\triangle\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{2}$ に余弦定理を用いると，
${\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2={\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2+{\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2-2\cdot\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cdot\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}\cos{\angle\mathrm{A}_\mathrm{2}\mathrm{A}_\mathrm{1}\mathrm{A}_\mathrm{0}}\bigm\Leftrightarrow{\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}}^2=\left(\frac{40\sqrt3}{7}\right)^2+\left(\frac{40\sqrt3}{7}\right)^2-2\cdot\frac{40\sqrt3}{7}\cdot\frac{40\sqrt3}{7}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\Leftrightarrow\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}=\frac{120}{7}$ ……(答)

(3)
前問と同様に考えると，

上図のようになる．
$\therefore\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_{\mathrm{2016}}=\frac{2016}{2}\cdot\mathrm{A}_\mathrm{0}\mathrm{A}_\mathrm{2}=17280$ ……(答)

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.30

方針の立て方実際に図形を描いて試してみると題意をつかみやすい．問題文の通りに考えると，「を決めると線分が決まり，を変数(はによって定まる)としてを考えることができる」ということである．を考えるときには，は定数扱いする． (1) はによって定まるので，は実質の一変数関数(2次関数)となる．後は2次関

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方針の立て方
実際に図形を描いて試してみると題意をつかみやすい．問題文の通りに考えると，「 $\alpha,\beta$ を決めると線分 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$ が決まり， $a$ を変数( $b$ は $a$ によって定まる)として $S\left(a,b\right)$ を考えることができる」ということである． $S\left(a,b\right)$ を考えるときには， $\alpha,\beta$ は定数扱いする．
(1)
$b$ は $a$ によって定まるので， $S\left(a,b\right)$ は実質 $a$ の一変数関数(2次関数)となる．後は2次関数の最大値問題を解く解法を取ればよい．
※ $M\left(\alpha,\beta\right)$ は，引数からも分かるように $\alpha,\beta$ の関数である．よって， $M\left(\alpha,\beta\right)$ について考えるときには，変数は $\alpha,\beta$ である．
(2)
まずは指定されている条件を $\alpha,\beta$ の式で書き直すこと．そうすれば，以下では $\alpha,\beta$ を変数で扱うと都合がいいことが分かる(書き直した条件： $\beta=\alpha+1$ より，実質変数は $\alpha$ のみとなる)．後は，存在範囲を考えれば良い．典型的な一文字固定法の考え方で解こうとすると， $-1\leqq k\leqq0$ と $0\leqq k\leqq1$ のときで場合分けが必要になることが分かる．後は，それぞれで場合分けをして考えていく．図形で考えたときに $S\left(a,b\right)$ がどういう意味を持つのかを考えよう．

解答例
(1)
線分 $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2:y=\left(\alpha+\beta\right)x-\alpha\beta$ ( $\alpha\leqq x\leqq\beta$ )
点 $\mathrm{P}\left(a,b\right)$ を代入して，
$b=\left(\alpha+\beta\right)a-\alpha\beta$ ( $\alpha\leqq a\leqq\beta$ )
$\therefore S\left(a,b\right)=b-a^2=\left(\alpha+\beta\right)a-\alpha\beta-a^2=-\left(a-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}\leqq\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}$
等号成立は $a=\frac{\alpha+\beta}{2}$ のときであり，これは $\mathrm{P}_1$ と $\mathrm{P}_2$ の中点であり，適当である．
$\therefore M\left(\alpha,\beta\right)=\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}$ ……(答)

(2)
ⅰ)を満たすには，
$\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}=\frac{1}{4}$
であれば必要十分． $\beta-\alpha>0$ に注意して解くと，
$\beta-\alpha=1\Leftrightarrow\beta=\alpha+1$
ⅱ)を満たすには，
$\left|\alpha+\beta\right|\leqq1$
これらを図示すると，

つまり，
$\begin{cases} \beta=\alpha+1 \\ -1\leqq\alpha\leqq0 \end{cases}$
さて，考えている存在範囲の $x$ 座標の範囲は $-1\leqq\alpha\leqq x\leqq\beta=\alpha+1\leqq1$ より， $-1\leqq x\leqq1$ である．そこで，考えている存在範囲の $x=k\left(-1\leqq k\leqq1\right)$ での $y$ 座標の最大値と最小値の差を求める．これを求めるには， $\alpha,\beta$ を変数として， $S\left(k,b\right)$ の最大値と最小値を考えれば良い．ここで，
$S\left(k,b\right)=\left(\alpha+\beta\right)k-\alpha\beta-k^2=\left(2\alpha+1\right)k-\alpha\left(\alpha+1\right)-k^2=-\left(\alpha-\frac{2k-1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$
である．
・ $-1\leqq k\leqq0$ のとき
$-1\leqq\alpha\leqq k$ の範囲を考えれば必要十分．

※ $\frac{2k-1}{2}<k$ はいつでも成り立つ．
①の場合 $\left(\frac{2k-1}{2}\leqq-1\Leftrightarrow k\leqq-\frac{1}{2}\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=-1}=-k^2-k$
②の場合 $\left(-1\leqq\frac{2k-1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leqq k\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=\frac{2k-1}{2}}=\frac{1}{4}$
・ $0\leqq k\leqq1$ のとき，
$k\leqq\beta\leqq1\Leftrightarrow k-1\leqq\alpha\leqq0$ の範囲を考えれば必要十分．

※ $k-1<\frac{2k-1}{2}$ はいつでも成り立つ．
①の場合 $\left(0\leqq\frac{2k-1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\leqq k\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k-1}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=0}=-k^2+k$
②の場合 $\left(\frac{2k-1}{2}\leqq0\Leftrightarrow k\leqq\frac{1}{2}\right)$
$0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k-1}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=\frac{2k-1}{2}}=\frac{1}{4}$
以上より，求める面積は，
$\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\left(-k^2-k\right)dk+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{1}{4}dk+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dk+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(-k^2+k\right)dk=\left[-\frac{1}{3}k^3-\frac{1}{2}k^2\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}+\left[\frac{1}{4}k\right]_{-\frac{1}{2}}^0+\left[\frac{1}{4}k\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[-\frac{1}{3}k^3+\frac{1}{2}k^2\right]_{\frac{1}{2}}^1=\frac{5}{12}$ ……(答)

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.09.30

方針の立て方 (1) 典型問題であり，特筆事項なし． (2) 代数方程式の有理数解に着目していることから解法を得る． (3) 実際に考えてみることで解法を得る．ただし，を正2016角形で考えるのは難しいため，正4角形や，正5角形，正6角形などで考えてみる．そうすると，約数の問題であることに気付ける．

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方針の立て方
(1)
典型問題であり，特筆事項なし．

(2)
代数方程式の有理数解に着目していることから解法を得る．

(3)
実際に考えてみることで解法を得る．ただし， $P$ を正2016角形で考えるのは難しいため，正4角形や，正5角形，正6角形などで考えてみる．そうすると，約数の問題であることに気付ける．

(4)
最初の式のままでは考えづらいため，変形を試みる．そこで，積和の公式を使って，三角関数の積の形を和の形に直す．
本問に限らず，数学では，和から積への変形，積から和への変形をすることで解法が見えることが多いため，困ったときにはこのような変形をとりあえず試みることを心がけよう．

解答例
(1)ア： $1024$
(2)イ： $5$
(3)ウ： $3528$
(4)エ： $-1008$

解説
(1)
合同式の法は全部2016とする．
$2^{11}=2048\equiv32=2^5$
である．
$\therefore2^{100}=2\cdot\left(2^{11}\right)^9\equiv2\cdot\left(2^5\right)^9=2^2\cdot\left(2^{11}\right)^4≡22⋅254=2112≡252=1024$ ……(答)

(2)
有理数解は全て

の形で表せる．よって，1以上の有理数解の候補は， $1,\frac{3}{2},3$ である．
(ⅰ) $x=1$ が解になると仮定して，方程式に代入すると
$2\cdot1^3-a\cdot1^2+b\cdot1+3=0\Leftrightarrow a=5+b\geqq5+1=6$
(ⅱ) $x=\frac{3}{2}$ が解になると仮定して，方程式に代入すると
$2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3-a\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2+b\cdot\frac{3}{2}+3=0\Leftrightarrow a=\frac{2b+13}{3}\geqq\frac{2\cdot1+13}{3}=5$
(ⅱ) $x=3$ が解になると仮定して，方程式に代入すると
$2\cdot3^3-a\cdot3^2+b\cdot3+3=0\Leftrightarrow a=\frac{b+19}{3}\geqq\frac{1+19}{3}=\frac{20}{3}$
以上(ⅰ)～(ⅲ)より，求める $a$ の最小値は，5……(答)

(3)
2016の任意の約数を $a$ とする．
$P$ の頂点を結ぶことで作ることができる正多角形は，正 $a$ 角形( $a=1,2$ を除く)のみである．
正 $a$ 角形の作り方は $\frac{2016}{a}$ 通りあるが， $\frac{2016}{a}$ も2016の約数となる．
よって，求める個数は，2016の約数の和から， $a=1,2$ のときの分 $\frac{2016}{a}=2016,1008$ を除いた個数となる． $2016=2^5\cdot3^2\cdot7$ より，2016の約数の和は，
$\sum_{z=0}^{1}\sum_{y=0}^{2}\sum_{x=0}^{5}{2^x\cdot3^y\cdot7^z}=\left(7^0+7^1\right)\left(3^0+3^1+3^2\right)\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5\right)=8\cdot13\cdot63=6552$
よって，求める個数は，
$6552-2016-1008=3528$ 個……(答)

(4)
$\left(\sum_{k=1}^{2016}{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}}\right)\sin{\frac{\pi}{2016}}=\sum_{k=1}^{2016}\left\{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}\right\}$
ここで，積和の公式より，
$\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}=\frac{1}{2}\left\{\cos{\frac{\left(k-1\right)\pi}{1008}}-\cos{\frac{k\pi}{1008}}\right\}$
であるから，
$\sum_{k=1}^{2016}\left\{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}\right\}=\sum_{k=1}^{2016}\left\{\frac{k}{2}\cos{\frac{\left(k-1\right)\pi}{1008}}-\frac{k}{2}\cos{\frac{k\pi}{1008}}\right\}=\left(\frac{1}{2}\cos{\frac{0}{1008}}-\frac{1}{2}\cos{\frac{\pi}{1008}}\right)+\left(\frac{2}{2}\cos{\frac{\pi}{1008}}-\frac{2}{2}\cos{\frac{2\pi}{1008}}\right)+\left(\frac{3}{2}\cos{\frac{2\pi}{1008}}-\frac{3}{2}\cos{\frac{3\pi}{1008}}\right)+\cdots\cdots+\left(\frac{2016}{2}\cos{\frac{2015\pi}{1008}}-\frac{2016}{2}\cos{\frac{2016\pi}{1008}}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos{\frac{0}{1008}}+\cos{\frac{\pi}{1008}}+\cos{\frac{2\pi}{1008}}+\cdots\cdots+\cos{\frac{2015\pi}{1008}}\right)-1008\cos{2\pi}$
$S=\cos{\frac{0}{1008}}+\cos{\frac{\pi}{1008}}+\cos{\frac{2\pi}{1008}}+\cdots\cdots+\cos{\frac{2015\pi}{1008}}$ とおくと，

上図のように，単位円上では左右対称であるため，項が全て相殺し，0となる．
$\therefore S=0$
よって，
$\sum_{k=1}^{2016}\left\{k\sin{\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}}\sin{\frac{\pi}{2016}}\right\}=-1008\cos{2\pi}=-1008$ ……(答)

2017年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.27

方針の立て方 (1) ガウス記号に関する重要な性質：を使うだけ．ガウス記号は文系数学頻出のテーマのため，この重要な性質とともに覚えておこう． (2) 前問を一般化したもの(前問は本問ののパターンである)であることに気付きたい．入試数学では，まず具体的なパターンでやらせ，その次の問題で一般化するという

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方針の立て方

(1)
ガウス記号に関する重要な性質： $\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1$ を使うだけ．ガウス記号は文系数学頻出のテーマのため，この重要な性質とともに覚えておこう．

(2)
前問を一般化したもの(前問は本問の $p_n=2$ のパターンである)であることに気付きたい．入試数学では，まず具体的なパターンでやらせ，その次の問題で一般化するという出題形式が多い．一般化されると途端に難しくなったと感じがちだが，前問と同じように処理していけばよい．つまり， $\left[x\right]=n\Leftrightarrow n\leqq x<n+1$ を使って変形し，その範囲で ${p_n}^2$ の倍数である $n$ を拾い上げていけばよい．ただし，前問では $n$ に制限がないが，本問では制限がついてしまっていることに注意．

(3)
前問の議論で， $p_n=1$ と $p_n=2,3$ と $4\leqq p_n\leqq99$ と $p_n=100$ で場合分けしたので，本問でもこれと同様に場合分けして考えればよい．

解答例

(1)
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=2\Leftrightarrow2\leqq\sqrt[3]{n}<3\Leftrightarrow2^3\leqq n<3^3\Leftrightarrow8\leqq n<27$
である．この範囲で4の倍数となるものが答えである．
$\therefore n=8,12,16,20,24$ ……(答)

(2)
$n$ の値に制限がない場合，
$\left[\sqrt[3]{n}\right]=p_n\Leftrightarrow p_n\leqq\sqrt[3]{n}<p_n+1\Leftrightarrow{p_n}^3\leqq n<\left(p_n+1\right)^3\Leftrightarrow{p_n}^3\leqq n<{p_n}^3+3{p_n}^2+3p_n+1$
となる．この範囲に， ${p_n}^2$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+k{p_n}^2$
の $k+1$ 個ある．ここで， $k$ は， ${p_n}^3+k{p_n}^2\leqq{p_n}^3+3{p_n}^2+3p_n\Leftrightarrow k\leqq3+\frac{3}{p_n}$ を満たす最大の自然数である．つまり， $p_n=1$ ならば $k=6,p_n=2,3$ ならば $k=4,p_n\geqq4$ ならば $k=3$ である．
今は $n\leqq{10}^6$ という制限があるが， ${p_n}^3+3{p_n}^2+3p_n+1\leqq{10}^6\Leftrightarrow\left(p_n+1\right)^3\leqq{10}^6\Leftrightarrow p_n\leqq99$ までは上記の議論が使える．
さて， $n\leqq{10}^6$ より $p_n\leqq\left[\sqrt[3]{{10}^6}\right]=\left[100\right]=100$ であるから， $p_n=100$ のときを別個で考えれば必要十分．
$p_n=100$ となる $n$ は $n={10}^6$ のみであるから， ${p_n}^2={100}^2$ の倍数である $n$ は $n={10}^6$ の1個のみ．
よって，求める個数は，
$\left(6+1\right)+\left(4+1\right)+\left(4+1\right)+\left(3+1\right)\cdot96+1=402$ 個……(答)

(3)
前問の議論より，
(Ⅰ) $p_n=1$ のとき
${p_n}^2=1$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+6{p_n}^2=1,2,3,4,5,6,7$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)=2$ で割った余りは，順番に $1,0,1,0,1,0,1$ である．
(Ⅱ) $p_n=2$ のとき
${p_n}^2=4$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+4{p_n}^2=8,12,16,20,24$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)=6$ で割った余りは，順番に $2,0,4,2,0$ である．
(Ⅲ) $p_n=3$ のとき
${p_n}^2=9$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,\cdots\cdots,{p_n}^3+4{p_n}^2=27,36,45,54,63$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)=12$ で割った余りは，順番に $3,0,9,6,3$ である．
(Ⅳ) $4\leqq p_n\leqq99$ のとき
${p_n}^2$ の倍数である $n$ は，
$n={p_n}^3,{p_n}^3+{p_n}^2,{p_n}^3+2{p_n}^2,{p_n}^3+3{p_n}^2$
である．これらを $p_n\left(p_n+1\right)$ で割った余りは，順番に $p_n,0,{p_n}^2,{p_n}^2-p_n$ である．
(Ⅴ) $p_n=100$ のとき
${p_n}^2={100}^2$ の倍数である $n$ は，
$n={10}^6$
である．これを $p_n\left(p_n+1\right)=10100$ で割った余りは，100である．
以上，(Ⅰ)～(Ⅴ)より，
$S=\left(1+0+1+0+1+0+1\right)+\left(2+0+4+2+0\right)+\left(3+0+9+6+3\right)+\sum_{p_n=4}^{99}\left\{p_n+0+{p_n}^2+\left({p_n}^2-p_n\right)\right\}+100=656805$ ……(答)

2017年早稲田大学商学部|数学過去問徹底研究大問3

2019.09.27

方針の立て方これはチェビシェフ多項式を元に作られた問題である．チェビシェフ多項式は難関大学での三角関数の問題としてよく出される(高等的な数学の知識を必要とせず考察できる)題材であるため，各自調べて，典型問題化しておくと良いだろう． (1) の定義の仕方はでなされているため，をとを用いて表すことを

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方針の立て方

これはチェビシェフ多項式を元に作られた問題である．
チェビシェフ多項式は難関大学での三角関数の問題としてよく出される(高等的な数学の知識を必要とせず考察できる)題材であるため，各自調べて，典型問題化しておくと良いだろう．

(1)
$P_n\left(x\right)$ の定義の仕方は $P_n\left(\cos{\theta}\right)$ でなされているため， $P_{n+1}\left(\cos{\theta}\right)$ を $P_n\left(\cos{\theta}\right)$ と $P_{n-1}\left(\cos{\theta}\right)$ を用いて表すことを考える．すると， $\cos{\left(n+1\right)\theta}$ を $\cos{n\theta}$ と $\cos{\left(n-1\right)\theta}$ を用いて表すという問題に帰着する．ただし，最終的には $x$ に戻さねばならないため，他に使えるのは $\cos{\theta}$ のみである．そのため，途中で出てくる $\sin{n\theta}\sin{\theta}$ を $\cos{\theta}$ のみの式となるように変形する．

(2)
試しに小さい $n$ をいくつか考えてみるとよい．すると答えの予想がつく．後は前問で漸化式を求めさせていることと，自然数に関する議論であることから，数学的帰納法を用いて，予想が正しいことを示せばよい．

(3)
前問では $P_n\left(x\right)$ の $x^n$ のみを特別視して考えていたため，本問も $x^n$ のみを特別視して考えればよいのではと考える． $x^n$ 以外の項の解析は難しいが，問題で求められているのが一の位の数字のみであるため，十の位以降に押しやられるのでは直観し，それを示していけばよい．

解答例

(1)
加法定理より， $\cos{\left(n+1\right)\theta}=\cos{n\theta}\cos{\theta}-\sin{n\theta}\sin{\theta}$
和積の公式より，
$\sin{n\theta}\sin{\theta}=\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n-1\right)\theta}-\cos{\left(n+1\right)\theta}\right\}$
$\therefore\cos{\left(n+1\right)\theta}=\cos{\theta}\cos{n\theta}-\frac{1}{2}\left\{\cos{\left(n-1\right)\theta}-\cos{\left(n+1\right)\theta}\right\}$
整理すると，
$\cos{\left(n+1\right)\theta}=2\cos{\theta}\cos{n\theta}-\cos{\left(n-1\right)\theta}$
$\cos{\left(n+1\right)\theta}=P_{n+1}\left(\cos{\theta}\right),\cos{n\theta}=P_n\left(\cos{\theta}\right),\cos{\left(n-1\right)\theta}=P_{n-1}\left(\cos{\theta}\right)$ であるから， $\cos{\theta}=x$ とすることで，
$P_{n+1}\left(x\right)=2xP_n\left(x\right)-P_{n-1}\left(x\right)$ ……(答)

(2)
$P_n\left(x\right)$ の $x^n$ の係数が $2^{n-1}$ である(以下ではこの命題を(＊)と表す)ことを数学的帰納法で示す．
$n=1$ のとき， $P_1\left(\cos{\theta}\right)=\cos{\theta}$ より $P_n\left(x\right)=x$ であるから，(＊)は成り立っている．
$n=2$ のとき， $P_2\left(\cos{\theta}\right)=\cos{2\theta}=2\cos^2{\theta}-1$ より $P_2\left(x\right)=2x^2-1$ であるから，(＊)は成り立っている．
ここで， $n=k,k+1$ のときの(＊)の成立を仮定する．つまり，適当な $k-1$ 次以下の多項式 $Q\left(x\right)$ と， $k$ 次以下の多項式 $R\left(x\right)$ とを用いて，
$P_k\left(x\right)=2^{k-1}x^k+Q\left(x\right)$
$P_{k+1}\left(x\right)=2^kx^{k+1}+R\left(x\right)$
と書けると仮定する．
すると，
$P_{k+2}\left(x\right)=2xP_{k+1}\left(x\right)-P_k\left(x\right)=2x\left\{2^kx^{k+1}+R\left(x\right)\right\}-\left\{2^{k-1}x^k+Q\left(x\right)\right\}=2^{k+1}x^{k+2}+\left\{2xR\left(x\right)-2^{k-1}x^k-Q\left(x\right)\right\}$
となる(第一のイコールで(1)で求めた漸化式を，第二のイコールで帰納法の仮定をそれぞれ用いた)．
$2xR\left(x\right)-2^{k-1}x^k-Q\left(x\right)$ は， $Q\left(x\right)$ が高々 $k-1$ 次， $R\left(x\right)$ が高々 $k$ 次であるから，高々 $k+1$ 次である．
よって， $P_{k+2}\left(x\right)$ の $x^{k+2}$ の係数は $2^{\left(k+2\right)-1}$ であると言える．これは，(＊)の $n=k+2$ での成立に他ならない．
以上，数学的帰納法により(＊)が示された．　証明終了．
以上より，求める係数は $2^{n-1}$ ……(答)

(3)
前問の結果より，
$P_{500}\left(\mathrm{cos}{\theta}\right)=\cos{500\theta}$ の $\cos^{500}{\theta}$ の係数は $2^{499}$ ．
よって， $\cos{\theta}$ の499次以下の多項式 $S\left(\cos{\theta}\right)$ を用いて， $\cos{500\theta}=2^{499}\cos^{500}{\theta}+S\left(\cos{\theta}\right)$ と表せる．
よって， $\cos{\theta}$ の999次以下の多項式 $T\left(\cos{\theta}\right)$ を用いれば， $\cos^2{\left(500\theta\right)}=2^{998}\cos^{1000}{\theta}+T\left(\cos{\theta}\right)$ と表せる．
$\therefore{10}^{1000}\cos^2{\left(500\theta\right)}={10}^{1000}\cdot2^{998}\cos^{1000}{\theta}+{10}^{1000}T\left(\cos{\theta}\right)$
ここで， ${10}^{1000}\cos^{999}{\theta}={10}^{1000}\left(\frac{1}{10}\right)^{999}=10$ であるから， $\cos{\theta}$ の高々999次の多項式である $T\left(\cos{\theta}\right)$ に ${10}^{1000}$ をかけた ${10}^{1000}T\left(\cos{\theta}\right)$ は一の位の数に寄与しない．
よって， ${10}^{1000}\cos^2{\left(500\theta\right)}$ の一の位の数は ${10}^{1000}\cdot2^{998}\cos^{1000}{\theta}={10}^{1000}\cdot2^{998}\left(\frac{1}{10}\right)^{1000}=2^{998}$ と等しくなる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$\cdots$
$2^n$ の一の位の数	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$	$\cdots$

上表のように， $2^n$ の一の位の数は $2,4,8,6$ が繰り返される．これを用いると $2^{998}$ の一の位の数は4と分かる．
よって，求める数は4……(答)

最速文系数学勉強法|早慶圧勝レベルまで効率的に成績を上げる方法|応用編

2019.09.26

文系数学勉強法応用編(アウトプット) 上記で数学で各分野の概念を正しく理解して、高速化ができたのであれば入試レベルの問題集や過去問をやっていきましょう。1対1対応までをしっかり理解できているのであれば、早慶や医学部の問題であっても合格点を取ることができます。そのため、現役生などで時間に余裕がなく理

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文系数学勉強法応用編(アウトプット)
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom1.gif" name=""]どういう公式があるかわかったからあとはアウトプットすればいいだけですよ。[/speech_bubble]
上記で数学で各分野の概念を正しく理解して、高速化ができたのであれば入試レベルの問題集や過去問をやっていきましょう。1対1対応までをしっかり理解できているのであれば、早慶や医学部の問題であっても合格点を取ることができます。
そのため、現役生などで時間に余裕がなく理科科目や英語がまだ完成していないようであれば、問題集はしないで過去問と『1対1対応の数学』を繰り返しましょう。

1対１対応の数学に出題される問題は基本的に理解できていて他に教材を必要とする場合は『やさしい理系数学』をやってみると良いでしょう。
▶『やさしい理系数学』の詳しい使い方はこちらから
下記、こうしたアウトプット教材を行う上で気をつける点をご紹介していきます。

「難しい・・わからない！」と感じたら・・・

難しすぎてわからない場合は、上記で紹介した『元気が出る数学』や、『1対１対応の数学』に戻って考えてみましょう。できない問題を考え抜くというのは確かに数学的な思考力をつける上では大事です。ですが、独学で勉強していて、上述のインプット用の参考書は理解していないけど、、すべての問題の答えを覚えてしまったというレベルまで行ってしまったという場合、本人はできているつもりで次の教材に進んでしまいます。ですが、本質的な部分を理解していない！という場合も往々にあります。難しい問題にあたった場合にそういった大事なことが理解できてないということが顕著にわかるでしょう。
基礎的な参考書と応用の参考書を行ったり来たりすることで、「何だこの問題はこういうことをいいたかったのか！」と理解できるようになってきます。

もちろん、何が原因でできてないのか？当塾のようなプロの力を借りて高速で勉強するのもありでしょう。カウンセリングはこちらから行っています。

何をしているのか？を意識する
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom1.gif" name=""]よくわからないけど適当に公式を入れて、展開したら、答えがいつもでます。[/speech_bubble] [speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]そんな方法で勉強しても一生成績は上がりませんよ！[/speech_bubble]
独学をしている人にありがちですが、よくわからないけど式の展開をした、わからないけど因数分解をしたという無意識で計算をしてしまう人がよくいます。
こういった生徒に対して、「なぜこの計算をしたのか？」と聞いても、「学校で習ったから〜、」「参考書に書いてあったから〜」と自分ではなぜなぜこの展開をしなければいけないのか理解できていません。
このような場合では数学はできるようになりません。常に式の最終形がどのような形になるのか？、目標に到達するためには何をしたら良いのか？、目的意識を式の展開をしていってください。
公式を何でもかんでも使ってみるという思考の人はいつまでたっても数学はできるようになりません。

センター試験数学

センター試験数学についてですが、センター試験の受ける目的や2次試験でも数学を使用するかどうかによって重要度が変わってきます。ここでは早慶志望の学生(文系、理系)、医学部再受験生がどのように対処したらよいのかということを確認していきます。

■早慶志望の学生でセンター試験を受ける場合

早慶志望の学生にも文系と理系と2パターン考えられますが、基本的に戦略は同じです。早慶を受ける学生ならば文理関係なく入試レベルの問題であれば、センター試験レベルの問題であれば問題なく解けるはずです。ただ、センター試験の問題形式、制限時間は特殊なので解いておく必要があるでしょう。理系の場合は過去問だけを行っていると、数学1A2Bだけの問題を解く頻度が減ってくる可能性があります。過去問を何年か分は行って慣れておくと良いでしょう。ただ、早慶志望の場合はセンター試験はそこまで大事ではないので、対策をしている時間がないという生徒は行わなくても問題ありません。

■医学部再受験生で9割以上センター試験の点数が欲しい場合

センター試験問題特有の誘導形式、短い時間内に問題を解いていくことはいくら普段演習している問題よりも簡単だとはいえ、また違った対策をしていく必要があるでしょう。計算が煩雑になるので、数学が得意！という人であっても満点を取るのは、対策をしなければ容易では無いでしょう。当塾ではセンター試験で圧勝する数学対策も行っていますので、ご連絡ください。

早慶の過去問について

早慶の過去問についてですが、過去問を行う際には点数に一喜一憂するのではなく、できないことを発見しながら課題意識を持ってっていきましょう。問題ができた際には、何故できたのか？、自身が考えた解法ではどうして問題にたどり着くことができないのか？という点を考えていく必要があります。具体的な早慶の過去問対策は以下から御覧ください。
また当塾ではどのようにしたら、早慶の過去問を解いたらよいのか？という点も徹底的に指導しています。こちらまでご連絡ください。

Q＆Ａ

ここでは入試レベルの数学の問題について当塾に寄せられる質問をQ＆A形式でお答えします。
解答はプラトン先生にお答えいただきます。

[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitow3.gif" name="質問1"]数学の過去問を見てみた時に全く解くことができませんでした。やはり、問題を解くにはセンスが必要なのでしょうか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]数学の問題を解くのにセンスは必要ありません。問題を解くことができなかったのは何が原因でしょうか？まずはそれを考えてみましょう。問題文を理解することができない場合は、問題を解く上でのそもそもの前提知識が足りてない可能性があります。この場合はまずは、該当分野の概念の定義の確認、公式の証明を行ってみましょう。[/speech_bubble]

[speech_bubble type="ln-flat" subtype="L1" icon="seitom2.gif" name="質問2"]高2の段階で過去問を見てみました。正直できるようになる気がしないのですが、、これは1年でなんとかなるものなのでしょうか？[/speech_bubble]
[speech_bubble type="ln-flat" subtype="R1" icon="platon1.jpg" name="プラトン先生"]なんとかなります。2年生の段階で完璧に理解できていたらその時点で、受験勉強は完了でしょう。心配しなくても大丈夫です。問題演習をしていくうちに自身の何が足りないのか？できるようにしたらよいのか？という点には気づくことができます。頑張っていきましょう。[/speech_bubble]

合格までのスケジュール例を見てみよう！

現状と入試までの期間を踏まえてスケジュールを立ててみましょう。当塾のこれまでの相談を元に2パターンのスケジュール例をご紹介いたします。
＊あくまで一例です。

【超理想的！】高２春から始めるパターン

■<高2>4月上旬　〜　7月上旬(夏休み)　
中学数学の復習
■<高2>8月上旬　〜　8月下旬
坂田アキラの看護医療数学1Aが面白いほどわかる本
合格る計算1A2B
数学1Aの概念を徹底的に学び直して高速化を行う。
■<高2>9月上旬　〜　10月下旬
坂田アキラの看護医療数学1Aが面白いほどわかる本の復習
『数学2Bが面白いほどわかる本』を始める
合格る計算
■<高2>11月上旬　〜　12月下旬　
坂田アキラの看護医療数学1Aが面白いほどわかる本の復習
『数学2Bが面白いほどわかる本』を始める
合格る計算
■<高2>１月上旬　〜　３月下旬
数学1A標準問題精講を行う
マセマ合格2Bを行う
■<高3>4月上旬〜5月下旬
数学1A標準問題精講復習
マセマ合格2Bの復習
坂田アキラの数学3の微分積分が面白いほどわかる本
合格る計算Ⅲを行う
■<高3>6月上旬〜7月下旬
1対1対応の数学を始める
合格る計算Ⅲ復習
■<高3>夏休み中
過去問を開始する
1対1対応の数学を復習
■<高3>８月後半以降
過去問を解きながら、それぞれの学部の対策を行っていく

【理想的！】高２夏から始めるパターン

■<高2>7月後半　〜　8月上旬
元気が出る数学を始める
合格る計算を始める
■<高2>8月上旬　〜　8月下旬
元気が出る数学の復習
合格る計算の復習
■<高2>9月上旬　〜　10月下旬
『坂田アキラの数学3の微分積分が面白いほどわかる本』を読み始める
合格る計算Ⅲを始める
■<高2>11月上旬　〜　12月下旬
『文系の数学を』始める
『坂田アキラの数学3の微分積分が面白いほどわかる本』を復習
合格る計算Ⅲ
■<高2>１月上旬　〜　３月下旬
『数学1A　標準問題精講』を始める
『マセマ合格シリーズ』を始める
合格る計算1A2BⅢ
センター試験を解いてみる　目標　140~160点
■<高3>4月上旬〜5月下旬
『数学1A　標準問題精講』を復習
『マセマ合格シリーズ』を復習
合格る計算1A2BⅢ
■<高3>6月上旬〜7月下旬
『1対1対応の数学』を始める
■<高3>夏休み中
『1対1対応の数学』の復習
早稲田、慶應大学の過去問を解いてみる　この段階で5,6割が目安
■<高3>８月半以降
『1対1対応の数学』の復習
過去問を解きながら、それぞれの学部の対策を行っていく

高３から始めたい

受験期間までに1年もない場合は個別にカリキュラムを作成して対応いたします。
カウンセリングはこちらから行っております。

大雑把にスケジュールをあげてみました。特に高２からはじめるスケジュールは簡単そうに見えて実はとても大変です。それまで持っている力によっても違いますし、他の科目とのバランスも考えながら進めなければなりません。
当塾では、それぞれの生徒さんの実情に合わせてスケジュールを組んでまいります。ぜひ、ご利用ください。

必要参考書一覧

当塾で使用する参考書の一覧です。生徒の学力に応じてピックアップしていきます。
＊もちろん、すべての参考書を使用するわけではありません。
クリックすると参考書の詳細ページに飛ぶことができます。

■中学数学レベル　(偏差値測定不能)

『0からやりなおす中学数学の計算問題』

『中学数学の解き方をひとつひとつわかりやすく』

■高校数学初級レベル　(偏差値 30~40レベル)

『合格る計算1A/2B 合格る計算3』

『坂田アキラの医療看護系入試数学I・Aが面白いほどわかる本』

『数学II・Bの点数が面白いほどとれる本』

『坂田アキラの数Ⅲの微分積分が面白いほど分かる本』

『スバラシク強くなると評判の元気が出る数学1A2B』

■MARCHレベル　(偏差値 50~60レベル)

『文系の数学重要事項完全習得編』

『数学I・A 標準問題精講』

『スバラシクよくわかると評判の合格!数学2・B』

■早慶レベル　(偏差値 60~65レベル)

『1対1対応の演習1』『1対1対応の演習A』『1対1対応の演習2』『1対1対応の演習B』

■早慶合格レベル　(偏差値 65〜レベル)

『文系数学の良問プラチカ数学1・A・2・B』

■分野別参考書

『合格る確率』

『整数問題が面白いほどとける本』

『解法の探求・確率』

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方針の立て方

解答例

方針の立て方

解答例

文系数学勉強法応用編(アウトプット)

「難しい・・わからない！」と感じたら・・・

何をしているのか？を意識する

センター試験数学

早慶の過去問について

Q＆Ａ

合格までのスケジュール例を見てみよう！

【超理想的！】高２春から始めるパターン

【理想的！】高２夏から始めるパターン

高３から始めたい

必要参考書一覧