偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田商学2016

2016年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
実際に図形を描いて試してみると題意をつかみやすい.問題文の通りに考えると,「\alpha,\betaを決めると線分\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2が決まり,aを変数(baによって定まる)としてS\left(a,b\right)を考えることができる」ということである.S\left(a,b\right)を考えるときには,\alpha,\betaは定数扱いする.
(1)
baによって定まるので,S\left(a,b\right)は実質aの一変数関数(2次関数)となる.後は2次関数の最大値問題を解く解法を取ればよい.
M\left(\alpha,\beta\right)は,引数からも分かるように\alpha,\betaの関数である.よって,M\left(\alpha,\beta\right)について考えるときには,変数は\alpha,\betaである.
(2)
まずは指定されている条件を\alpha,\betaの式で書き直すこと.そうすれば,以下では\alpha,\betaを変数で扱うと都合がいいことが分かる(書き直した条件:\beta=\alpha+1より,実質変数は\alphaのみとなる).後は,存在範囲を考えれば良い.典型的な一文字固定法の考え方で解こうとすると,-1\leqq k\leqq00\leqq k\leqq1のときで場合分けが必要になることが分かる.後は,それぞれで場合分けをして考えていく.図形で考えたときにS\left(a,b\right)がどういう意味を持つのかを考えよう.

解答例
(1)
線分\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2:y=\left(\alpha+\beta\right)x-\alpha\beta (\alpha\leqq x\leqq\beta)
\mathrm{P}\left(a,b\right)を代入して,
b=\left(\alpha+\beta\right)a-\alpha\beta (\alpha\leqq a\leqq\beta)
\therefore S\left(a,b\right)=b-a^2=\left(\alpha+\beta\right)a-\alpha\beta-a^2=-\left(a-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}\leqq\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}
等号成立はa=\frac{\alpha+\beta}{2}のときであり,これは\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2の中点であり,適当である.
\therefore M\left(\alpha,\beta\right)=\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}……(答)

(2)
ⅰ)を満たすには,
\frac{\left(\beta-\alpha\right)^2}{4}=\frac{1}{4}
であれば必要十分.\beta-\alpha>0に注意して解くと,
\beta-\alpha=1\Leftrightarrow\beta=\alpha+1
ⅱ)を満たすには,
\left|\alpha+\beta\right|\leqq1
これらを図示すると,

つまり,
\begin{cases} \beta=\alpha+1 \\ -1\leqq\alpha\leqq0 \end{cases}
さて,考えている存在範囲のx座標の範囲は-1\leqq\alpha\leqq x\leqq\beta=\alpha+1\leqq1より,-1\leqq x\leqq1である.そこで,考えている存在範囲のx=k\left(-1\leqq k\leqq1\right)でのy座標の最大値と最小値の差を求める.これを求めるには,\alpha,\betaを変数として,S\left(k,b\right)の最大値と最小値を考えれば良い.ここで,
S\left(k,b\right)=\left(\alpha+\beta\right)k-\alpha\beta-k^2=\left(2\alpha+1\right)k-\alpha\left(\alpha+1\right)-k^2=-\left(\alpha-\frac{2k-1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}
である.
-1\leqq k\leqq0のとき
-1\leqq\alpha\leqq kの範囲を考えれば必要十分.

\frac{2k-1}{2}<kはいつでも成り立つ.
①の場合\left(\frac{2k-1}{2}\leqq-1\Leftrightarrow k\leqq-\frac{1}{2}\right)
0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=-1}=-k^2-k
②の場合\left(-1\leqq\frac{2k-1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\leqq k\right)
0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=\frac{2k-1}{2}}=\frac{1}{4}
0\leqq k\leqq1のとき,
k\leqq\beta\leqq1\Leftrightarrow k-1\leqq\alpha\leqq0の範囲を考えれば必要十分.

k-1<\frac{2k-1}{2}はいつでも成り立つ.
①の場合\left(0\leqq\frac{2k-1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\leqq k\right)
0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k-1}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=0}=-k^2+k
②の場合\left(\frac{2k-1}{2}\leqq0\Leftrightarrow k\leqq\frac{1}{2}\right)
0=\left.S\left(k,b\right)\right|_{\alpha=k-1}\leqq S\left(k,b\right)\leqq\left.S\left(a,b\right)\right|_{\alpha=\frac{2k-1}{2}}=\frac{1}{4}
以上より,求める面積は,
\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}\left(-k^2-k\right)dk+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{1}{4}dk+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}dk+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(-k^2+k\right)dk=\left[-\frac{1}{3}k^3-\frac{1}{2}k^2\right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}+\left[\frac{1}{4}k\right]_{-\frac{1}{2}}^0+\left[\frac{1}{4}k\right]_0^{\frac{1}{2}}+\left[-\frac{1}{3}k^3+\frac{1}{2}k^2\right]_{\frac{1}{2}}^1=\frac{5}{12}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。