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理工学部

【慶應義塾大学理工学部】数学の傾向と対策|参考書,勉強法, 入試頻出分野を紹介

このブログでは、慶應大学理工学部の数学に関する入試対策（出題傾向と勉強法、参考書）をご紹介していきます。
基礎知識0の状態から合格するためには何をどのようにしたら良いのかを参考書の使い方まで徹底解説！

慶應理工の数学の全体概観

理工学部の数学は基本事項の使い方が大切になってきます。

教科書に載っている基本事項を十分に活用できるようになる必要があります。

それに合わせて、いろいろな問題演習を通じて、

柔軟な思考力を養う必要もあります。

出題される大問は5題です。大部分はマークシートで、一部記述式です。

記述式の設問では、証明問題が毎年出題されます。

全て解き切るのは時間的に厳しいので、

問題を解くのに必要な処理量や計算力、難易度を見極める力も重要です。

難しい問題も多いですが、7割程度は取れる学力が必要です。

慶應の理工といえど基礎基本ができていない限りはできるようになりません！まずはどのような分野が頻出で出るのかをみていきましょう！
ブタトン
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Keio
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慶應理工の数学の出題範囲・頻出分野

理工学部の数学は、数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学Ⅲ・数学A・数学B・数学Cからの出題で、
数学Aからは「場合の数と確率」・「整数の性質」・「図形の性質」、
数学Bからは「数列」
数学Cからは「ベクトル」「平面上の曲線と複素数平面」が出題範囲となっています。

頻出分野は当然ですが、、微積分です。
例年2題以上出題されており、計算量が多いのが特徴です。

また、微積分以外では、数列・確率・ベクトル・三角関数など
数Ⅰ・数A・数Bなどからもまんべんなく出題され、
いくつかの単元にわたる融合問題の出題も見られます。

全体的に数学Ⅲの分野が頻出であり、
また空間図形・確率漸化式など試験範囲が出せれているので、
全分野の学習について念入りな学習が必要です。

慶應理工の数学の頻出分野の対策方法

早速頻出分野の対策についてみていきましょう!
ブタトン
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微積

微積は占める比重も大きいので、真っ先に固めたい分野です。

小問集合ないでも大問でも出題され、難易度はバラバラですが、

手がつけられないような難問は出題されないので確実に解きたい分野です。

最初の敷居は高いですが、

パターンが決まっているので一度得意にしてしまえば得点源にしやすいです。

また2014年度の大問５のように知っていれば、すぐに解くことができる問題も出題されます。

「ｘ軸、ｙ軸で切り取られる線分の長さが常に１」といわれたら…「アステロイドじゃないか？！」とひらめけるようになれるとよいでしょう。

このように微積には色々と背景があったり、有名な問題が多いので一通り当たって知識を蓄えておくと有利に働くことが多いです。

普段問題を解きっぱなしにするのではなく、
深く考察したり、
背景を調べてみたりすると数学の勉強が楽しくなると思います。

場合の数・確率

慶應では理工、薬、医において、場合の数・確率の出題が盛んです。

特にｎ絡み、漸化式の出題が毎年のようになされています。

高校ではしっかりと扱わないからか苦手意識を持っている人も多いのですが、

一度コツを掴んでしまえばスラスラできるようになります。

具体的にどう考えればいいのかはここでは扱いませんが、
理工の場合は医の問題の難易度に慣れておくと本番完答できるでしょう。

また東大の過去問を解くのもおすすめです。

空間

2014〜2017と4年連続で空間、立体の問題が大問で出ています。
ほとんどが四面体絡みで難易度はそこまで高くないものの
計算が大変な年もあり、試験場で思ったとおり進まない人も少なくありません。

立体は「適切な断面で切って、平面で考える」というのが定石なのですが、
本学は誘導が丁寧に与えられているため、そこの思考過程は問題ではありません。

なので基本的に誘導に乗るだけですが、
ベクトルと空間座標の基礎は理解しておく必要があります。

そして計算が大変でも焦らず、
地道に計算するクセを普段からつけておくと本番自身を持って解けます。

空間と書いてあるだけで飛ばす空間アレルギーの方がたまにいますが、
本学のレベルなら落とせないので、まずは図を書き、丁寧に考えてみましょう。

まだ基本的な数学の勉強の方法が確立してないバイアはこちらの数学の勉強法を見てくださいね。
ブタトン
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早慶への理系数学勉強法|最速最強数学理解|早慶圧勝レベルまで効率的に
早慶への理系数学勉強法|最速最強数学理解|早慶圧勝レベルまで効率的に

慶應理工の数学を攻略するための日頃の勉強法

具体的にどのような形で勉強をすることで慶應レベルの数学ができるようになるのかをみていきましょう！
ブタトン
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慶應の理工学部に圧勝で合格するためにどのように日頃勉強をしていったら良いのかを勉強をする際のポイントを記載していきます。

基礎学力の徹底的な強化

数学力を身につけることが大事となりますが、そのためには基本的な問題が解けるようになることが重要です。
1つ1つの分野、特に頻出範囲である微分・積分は重点的に学習しましょう。

また、理工学部の数学の問題は計算量が多く、早く正確に解くことが求められます。
マークシート方式では考え方が正しくても、計算ミスなどで正しい結果が出ない場合は得点ができないので、要領よくミスがないように正解を出せるように日ごろから計算するときも意識する必要があります。

自身の計算ミスの癖を理解する

慶應義塾大学理工学部の数学は、
計算量が多いため、計算ミスをする可能性があります。

上記したとおり、日頃から計算ミスをしない工夫をすることは当然ですが、
自身がどういう部分で計算ミスが起こるのかを
確認しておく必要があるでしょう。

答えの方針が立ってもミスだらけだと合格はできませんからね。。過去問演習の中でどのようなミスをしやすいのかをまとめて毎日見返していきましょう！
ブタトン
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実際の問題に慣れる

問題演習に慣れてきたら、実際に過去問に取り組みましょう。
この際、本番通りの時間で解くことが大切です。

数学ではどの分野が何問目に出るかが分からないので、
時間を測って問題演習をし、
自分が解きやすいと思った問題から解き始めることが重要です。

大問前半の比較的易しい問題を確実に解答することで、得点を伸ばしていきましょう。

ただし、時間内に解けなかった問題もその後に問題演習として解くことも大事です。

時間内に解けなかった問題は必然的に苦手な問題であるため、

苦手をつぶす意味でも解けなかった問題の復習をしましょう。

また理工学部の問題は空所補充の問題が多いので

過去問や模擬試験を通じて形式になれることも大切です。

数学の場合は多くの問題に触れて、自身の回答パターンを増やしていくのが必要です。また復習も忘れずに。下記で慶應理工の数学の過去問の解説をしているので見てみてくださいね。
ブタトン
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bannaer

慶應理工で合格するためのおすすめ参考書

ある程度の基礎学力はついた前提(偏差値55~60程度)で、

そこから成績を上げるための教材をお伝えしていきます。

入試演習段階でおすすめの参考書は？

理系数学マスト160題か 1対1対応の数学がおすすめです。

どちらを使うかは状況によりますが、

1対1対応は、数学が得意でないなら独学では使いづらいです。
また冊数も多くなってしまうので大変です。

そのような場合は、理系数学マスト160題がわかりやすくて良いです。

数学が苦手でも理解しやすい解説となっています。

苦手な問題傾向がわかってきたら、

上記問題集以外でもチャートを使って苦手分野を無くすようにしてください。

大学入試 森本将英の 理系数学 マスト160題
KADOKAWA
1対1対応の演習/数学3 微積分編 (大学への数学 1対1シリーズ)

Z会の理系数学入試の核心　標準編も復習がしやすいのでおすすめです。
森本先生の教材とみてみてどちらか自分が使いやすい方をやってみると良いでしょう。

理系数学 入試の核心 標準編 改訂版 (数学入試の核心)

さらにやり込みたい！という人の参考書は・・

やさしい理系数学や毎年出る! センバツ40題 理系数学上位レベル[数学I・A・II・B・III] をやってみると良いでしょう。

両者とも慶應理工数学を考えるとやややり込みすぎですが、

数学を得意科目にしたい！という人はやってみた方が良いでしょう。

ただし、他の科目との兼ね合いを考えるのが重要です。

特に逆転合格を考えている人は難しい参考書をやるよりも
これまでの教材の復習を何度も何度もやりこむ方が効果は高いので
注意してください。

やさしい理系数学 三訂版 (河合塾シリーズ)
毎年出る! センバツ40題 理系数学上位レベル[数学I・A・II・B・III] (大学入試)

慶應理工学部の数学で圧勝する人はこう考える！

過去問を具体的にみて数学ができる人がどのように考えるのかをみていきましょう！
ブタトン
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実際に問題を見て、問題を解くことができる人はどのように考えているのかを確認してください。できない人は上記の法則を利用することができていません。

実際に過去問を用意して考えてみましょう。

まず、初級編の２０１４年度の大問４に取り掛かってみましょう。

空間で大事な知識をまずチェックして起きましょう！

■直線のパラメーター（媒介変数）表示

\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} は一次独立のベクトルとする。

※一次独立：簡単に言うと\overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} が全く違う方向に向いているということです。

平面上の点（ｘ）は任意の実数ｓ，ｔを持ってくると

\overrightarrow{OX}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}・・・（＊）

と表せます。

図１

（＊）をｓ＝１としたときにXは

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}

=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{b}・・・（☆）

でこれは図２のようにAを通りベクトル\overrightarrow{b} に平行な直線となります。

図２

逆にｔがすべての実数を取るときに=s \overrightarrow{OX}の集合は直線l全体になります。

（☆）には図２のAを原点として、OBの長さ（ \mid \overrightarrow{b} \mid）を１とする数直線を設定したときの目盛りを表すというイメージがわきます。

さて、

としても当てはまりますから（☆）を空間に拡張すると


図３

と表せます。（図３）すごく当たり前なのですが、
(a,b,c),(p,q,r)が分かっていてどれかの座標成分に決定的な情報があればｔを求めることで、直線上の点が分かります。

平面から空間へ次元が上がると難しく思うかもしれませんが、おこなうことはほとんど変わりません。

本問はこれさえしっかりおさえておけば解けます。

空間では図を書くことが肝心なので図をかきながら解いていくことにします。
ブタトン
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解答編になります！

◯0 < t ≦ １のとき

なので、線分OA上にｚ＝ｔを満たす点A’が存在する。\overrightarrow{OB} 上の点Xは実数ｐを用いてでｚ＝３ｐ＝ｔより、\overrightarrow{OB} 上でｚ座標がｔの点B’はと表せる。
以上を踏まえると、f(t)は図５のようにかけるので、f(t)=\frac{1}{3}t^{2}・・・（ソ）

図４

図５

◯１＜ｔ＜３のとき

で線分OA上にｚ＝ｔを満たす点が存在しなく、線分AB、AC、OCを共通にもつ。

直線AB、AC上に点Y、Zは実数q,rを用いて

・・・（タ）

1+2q=t、1+2r=tを満たすときq=r=\frac{t-1}{2}なのでこれを代入して

①、②を踏まえるとf(t)は図３のようにかけるので

f(t)=(t-1+\frac{2}{3}t)\frac{3-t}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{12}(5t-3)(3-t)・・・（チ）

 図６

以上から

g(t)=\int_t^1 \frac{1}{3}z^{2} dz +\int_1^t+2 \frac{1}{12}(5z-3)(3-z)dz・・・③

■ここで各々積分を実行したくなりますが、それは得策ではありません。
問題は、あとはｇ’（ｘ）についてしかきいてませんから、③をそのまま微分すればよいです。

g(t)=\int_t^1 \frac{1}{3}z^{2} dz +\int_1^t+2 \frac{1}{12}(5z-3)(3-z)dz・・・③

g^{'}(t)=\frac{1}{3}t^{2}+\frac{1}{12}(5t+7)(1-t)

=g^{'}(t)=-\frac{1}{12}(9t^{2}+2t-7)・・・（ツ）

=g^{'}(t)=-\frac{1}{12}(t+1)(9t-7)

なのでg(t)はt=\frac{7}{9}で最大値をとります。（図７）

図７

基本的なことを応用していくだけで慶應理工の問題も解くことができましたね！
ブタトン
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ブタトン
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【応用編】２０１５年の大問４

ブタトン
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さっきよりも少し難しめの問題に今度は取り組んでみましょう！

２０分を目安に取り組んでみてください。

（解）

(i)六面体OP１P２P３-P４P５P６P７は立方体（図８）

(ii)Pｋのｚ座標が正

(iii)

(iv)P３がｚｘ平面にある（⇆P3のｙ座標は０）

(iv)より　とおける。（i）より|\overrightarrow{OP_{3}} |=|\overrightarrow{OP_{1}} |かつ\overrightarrow{OP_{1}}\bullet\overrightarrow{OP_{2}}=0

⇆a^{2}+b^{2}=45かつ2a+4b=0・・・①

でaを消去するとb2=9で(ii)よりb=3

①に代入してaを求めると・・・（ソ）

図８

◯P４について

とおくと、

\overrightarrow{OP_{4}}\cdot \overrightarrow{OP_{1}}=0かつ \overrightarrow{OP_{4}}\cdot \overrightarrow{OP_{3}}=0かつ \overrightarrow{OP_{4}}=45

⇔2p + 5q + 4r = 0かつ-6p + 3r = 0かつp2 + q2 + r2 = 45

⇔q = -2pかつr = 2pかつp2 + q2 + r2 = 45

q,rを消去してpについて解くとp= \pm \sqrt{5} だがr= \pm \sqrt{5} pなのでp= \sqrt{5}

である。よって

・・・（タ）

◯P６について

・・・（チ）

◯四角形OQ１Q２Q３と六角形Q1Q2Q3Q7Q4Q5について図示すると図９のようになります。

（正方形をある面に投射すると平行四辺形になる。正方形は平行四辺形の中の１つ）

図９

平行四辺形OQ1Q2Q3=5・6=30・・・（ツ）

平行四辺形OQ3Q7Q4=2\sqrt{5}\cdot6=12\sqrt{5}

平行四辺形OQ1Q5Q4=5\sqrt{5}+2\cdot2\sqrt{5}=9\sqrt{5}より

六角形Q1Q2Q3Q7Q4Q5=30+21\sqrt{5}・・・（テ）

◯立方体とｚ軸の交わりの線分の長さについて

いまｚ軸は原点を通るxy平面に垂直な直線であり図９から平行四辺形Q6Q5Q4Q7が原点Oを含むから平面P４P５P６P７がｚ軸と交点を持つ。

平面P４P５P６P７上の点Xは

\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP_{4}}+t\overrightarrow{P_{4}P_{7}}+s\overrightarrow{P_{4}P_{5}}（ｔ，ｓは任意の実数）

=\overrightarrow{OP_{4}}+t\overrightarrow{OP_{3}}+s\overrightarrow{0P_{1}}

ｚ軸はx=0,y=0なのでs=\frac{2\sqrt{5}}{5},t=\frac{3\sqrt{5}}{5}で交点の座標はで線分の長さは\frac{9\sqrt{5}}{2}・・・（ト）

少し難しめだけどちゃんとできましたね！
ブタトン
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慶應理工学部の数学過去問解説

下記に何年度かの慶應理工学部の過去問を解説していますのでご覧下さい。

2018年
2017年
2016年

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。