2017年慶應義塾大学総合政策|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

(1)
文字が３つと多いため，典型的な一文字固定法で考えていくのが妥当．

(2)
前問の結果から， $x=y=z$ のときが答えだと当たりをつけて考えていく． $x=y=z$ のときに使える多変数の公式といえば，相加相乗平均の関係式であるから，試しに使ってみると，解法を得る．

解答例

(21)(22)(23)(24)(25)(26)…… $\frac{001}{162}$
(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)…… $\frac{-7+05\sqrt{02}}{27}$

解説

(1)
AB $=x$ ,AD $=y$ ,AE $=z$ とおく．すると，
条件式： $x+2y+3z=1$ となる．
$0<x,0<y,0<z$ より， $0<z<\frac{1}{3}$ である．
体積は，
$xyz=\left(1-2y-3z\right)yz=z\left\{-2y^2+\left(1-3z\right)y\right\}=z\left\{-2\left(y-\frac{1-3z}{4}\right)^2+\frac{\left(1-3z\right)^2}{8}\right\}\leqq\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}$
不等号の等号成立条件は $y=\frac{1-3z}{4}$ である．
ここで， $f\left(z\right)=\frac{{z\left(1-3z\right)}^2}{8}=\frac{1}{8}\left(9z^3-6z^2+z\right)$ とおくと， $f^\prime\left(z\right)=\frac{1}{8}\left(27z^2-12z+1\right)=\frac{\left(9z-1\right)\left(3z-1\right)}{8}$
増減表を描くと，

$z$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{9}$	$\cdots$	$\frac{1}{3}$
$f^\prime\left(z\right)$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f\left(z\right)$	$0$	$\nearrow$	$\frac{1}{162}$	$\searrow$	$0$

よって， $f\left(z\right)\leqq f\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{162}$
ここで，
$\begin{cases} y=\frac{1-3z}{4} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=\frac{1}{6} \\ z=\frac{1}{9} \end{cases}$
となる．このとき， $x=\frac{1}{3}$ となり，これらは全て適当である．
よって，
$V=\frac{1}{162}$ ……(答)

(2)
AB $=x$ ,AD $=y$ ,AE $=z$ とおく．すると，
条件式： $x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=1$ となる．
ここで，相加相乗平均の関係式
$x+y+z\geqq3\sqrt[3]{xyz}$ (等号成立は $x=y=z$ のとき)
であり，
$\sqrt{x^2+y^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{x^2y^2}}=\sqrt{2xy}$ (等号成立は $x=y$ のとき)
$\sqrt{y^2+z^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{y^2z^2}}=\sqrt{2yz}$ (等号成立は $y=z$ のとき)
$\sqrt{z^2+x^2}\geqq\sqrt{2\sqrt{z^2x^2}}=\sqrt{2zx}$ (等号成立は $z=x$ のとき)
であり，
$\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{\sqrt{2xy}\cdot\sqrt{2yz}\cdot\sqrt{2zx}}=3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz}$ (等号成立は $\sqrt{2xy}=\sqrt{2yz}=\sqrt{2zx}$ のとき)
であることを用いると，
$1=x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+\sqrt{2xy}+\sqrt{2yz}+\sqrt{2zx}\geqq3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt2\cdot\sqrt[3]{xyz}$
が成り立つ．等号成立は $x=y=z$ のときであり，最左辺と最右辺に着目すると，
$\sqrt[3]{xyz}\leqq\frac{1}{3+3\sqrt2}$
$\therefore xyz\leqq\frac{1}{\left(3+3\sqrt2\right)^3}=\frac{-7+5\sqrt2}{27}$
となる． $xyz$ は考えている直方体の体積であることに注意されたい．
さて， $x=y=z$ のとき，条件式より， $x+x+x+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}+\sqrt{x^2+x^2}=1\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt2-1}{3}$ となり， $x=y=z=\frac{\sqrt2-1}{3}$ となる．これは適当である．よって，
$V=\frac{-7+5\sqrt2}{27}$ ……(答)