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慶應総合政策2016

2016年慶応義塾大学総合政策|過去問徹底研究 大問2

2016年慶應大学総合政策数学|過去問徹底研究大問2

方針の立て方

一文字固定法の典型的な問題である.
題意を満たす点の座標を求める問題のため,座標を文字でおくのが定石である.後は,2乗和を実際に計算し,一文字固定法の解法を取れば良い.(2)では,本当に「”三角形の各辺”からの距離」という題意を満たしているか(”直線との距離”と”三角形の各辺からの距離”は必ずしもイコールになるとは限らない)を確認せねばならないことに注意.

解答例
(19)(20)(21)(22)……\frac{11}{05}
(23)(24)(25)(26)……\frac{27}{05}
(27)(28)(29)(30)……\frac{01}{04}
(31)(32)(33)(34)……\frac{51}{20}

解説

(1)
\begin{cases} x+2y-4=0 \\ 2x-y-2=0 \\ x-y+5=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x-2 \\ y=x+5 \end{cases}
交点を考えると,
y=-\frac{1}{2}x+2y=2x-2の交点は,\left(\frac{8}{5},\frac{6}{5}\right)
y=2x-2y=x+5の交点は,\left(7,12\right)
y=x+5y=-\frac{1}{2}x+2の交点は,\left(-2,3\right)
図示すると,

xy平面上の点を\left(x,y\right)とおく.この点と三角形の各頂点との距離の2乗和は,
\left\{\left(\frac{8}{5}-x\right)^2+\left(\frac{6}{5}-y\right)^2\right\}+\left\{\left(-2-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\right\}+\left\{\left(7-x\right)^2+\left(12-y\right)^2\right\}=3x^2+3y^2-\frac{66}{5}x-\frac{162}{5}y+210=3\left(x-\frac{11}{5}\right)^2+3\left(y-\frac{27}{5}\right)^2+108
よって,2乗和が最小となるのは,\left(x,y\right)=\left(\frac{11}{5},\frac{27}{5}\right)のとき……(答)

(2)
xy平面上の点を\left(x,y\right)とおく.この点と三角形の各辺との距離の2乗和は,点と直線の距離の公式より,
\frac{\left(x+2y-4\right)^2}{5}+\frac{\left(2x-y-2\right)^2}{5}+\frac{\left(x-y+5\right)^2}{2}=\frac{3}{2}x^2+\frac{3}{2}y^2-xy+\frac{9}{5}x-\frac{37}{5}y+\frac{33}{2}=\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{5}\right)^2+\frac{4}{3}\left(y-\frac{51}{20}\right)^2+\frac{729}{100}
よって,2乗和が最小となるのは,
\begin{cases} x=\frac{1}{3}y-\frac{3}{5} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{51}{20} \end{cases}
のときである.これは三角形の内部の点であるから,この点から各直線に下した垂線の足は,三角形の辺上にあり,題意から外れない.
よって,\left(\frac{1}{4},\frac{51}{20}\right)……(答)

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大問1

大問2

大問3

大問4

大問5

 

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