過去問研究 | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.20

方針の立て方 (1) どれも典型問題であるため特筆事項なし． (2) (マ)については，曲線の長さを公式を使って表した後に，極座標に置換すればよい． (ミ)についても，素直に計算をし，素直に等式を立てれば解答が得られる． (ム)について．対称性があるため，上半分だけを求めればよいことに気付くと計算が

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方針の立て方

(1)
どれも典型問題であるため特筆事項なし．

(2)
(マ)については，曲線の長さを公式 $\int\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$ を使って表した後に，極座標に置換すればよい．
(ミ)についても，素直に計算をし，素直に等式を立てれば解答が得られる．
(ム)について．対称性があるため，上半分だけを求めればよいことに気付くと計算が楽になる．この問題に限らず，対称性に気付くことは重要である．そして，曲線の分かれ目となる点 $\mathrm{B}$ の左側と右側で分けて面積を求めると考える．第1象限側は円弧であるため，面積の導出については特筆事項なし．左側については，最初は素直に $xy$ 座標で面積を定積分で表し，それを極座標変換する．極座標の問題で分からないときには一先ず $xy$ 座標で表し，それを極座標変換するという順序で解くと，何をやっているのかが分かりやすい．

解答例

(1)
フ： $\frac{v}{v^2-1}$
ヘ： $0$
ホ： $\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}$
(2)
マ： $\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}$
ミ： $\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}$
ム： $\frac{1}{2}\left(\pi+e^\pi-3\right)$

解説

(1)
〇半径(フについて)
$\mathrm{Q} \left(X,Y\right)$ とおくと， $\mathrm{OQ}=\sqrt{X^2+Y^2},\mathrm{AQ}=\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}$ と書ける．
$\therefore\mathrm{OQ}\colon\mathrm{AQ}=\sqrt{X^2+Y^2}\colon\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}=1\colon v$
$\therefore\sqrt{\left(X-1\right)^2+Y^2}=v\sqrt{X^2+Y^2}$
両辺正のため，2乗しても同値性は崩れず，
$\left(X-1\right)^2+Y^2=v^2\left(X^2+Y^2\right)\Longleftrightarrow\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)^2+Y^2=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2$
よって，求める半径は $\frac{v}{v^2-1}$ ……(答)

〇点 $\mathrm{B}$ の座標(ヘとホについて)
点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標を $x=t$ と置くと，接点の座標は $\left(t,\sqrt{-t^2-\frac{2}{v^2-1}t+\frac{1}{v^2-1}}\right)$ となる．
よって，接線は，
$\left(t+\frac{1}{v^2-1}\right)\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)+Y\sqrt{-t^2-\frac{2}{v^2-1}t+\frac{1}{v^2-1}}=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2$
これが点 $\left(1,0\right)$ を通るので，
$\left(t+\frac{1}{v^2-1}\right)\left(1+\frac{1}{v^2-1}\right)=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2\Leftrightarrow t=0$
よって，点 $\mathrm{B}$ の座標は，
$\left(0,\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}\right)$ ……(答)

(2)
〇最短経路の長さ(マについて)
曲線 $C_1$ の方程式を $y=g\left(x\right)$ とすると，最短経路の長さは，
$\mathrm{AB}+\int_{x_{\theta_1}}^{x_{\theta_0}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$
となる．ただし， $x_{\theta_1}$ は点 $\mathrm{R}$ の $x$ 座標であり， $x_{\theta_0}$ は点 $\mathrm{B}$ の $x$ 座標である．
ここで，直角座標から極座標へ変換すると，
$\begin{cases} x=r\cos{\theta}=f\left(\theta\right)\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta}=f\left(\theta\right)\sin{\theta} \end{cases}$
となり，
$\begin{cases} \frac{dx}{d\theta}=f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta} \\ \frac{dy}{d\theta}=f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta} \end{cases}$
$\therefore\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dx}=\frac{f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}}{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}}$
よって，最短経路の長さは， $\frac{dx}{d\theta}<0$ より，積分区間が入れ替わることに注意すれば，
$\mathrm{AB}+\int_{x_{\theta_1}}^{x_{\theta_0}}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=\mathrm{AB}+\int_{\theta_1}^{\theta_0}\sqrt{1+\left(\frac{f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}}{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}}\right)^2}\left\{f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}-f\left(\theta\right)\sin{\theta}\right\}d\theta=\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left(f\left(\theta\right)\sin{\theta}-f^\prime\left(\theta\right)\cos{\theta}\right)^2+\left(f^\prime\left(\theta\right)\sin{\theta}+f\left(\theta\right)\cos{\theta}\right)^2}d\theta=\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}d\theta$
〇 $\alpha$ (ミについて)
(1)の結果を考えれば， $\theta_0=\frac{\pi}{2}$ であり， $\mathrm{AB}=\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{\sqrt{v^2-1}}\right)^2}=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}$ である．
$f\left(\theta\right)=\beta e^{\alpha\left(\theta-\theta_0\right)}=\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}$ より， $vf\left(\theta_1\right)=v\beta e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}$ である．
更に $f^\prime\left(\theta\right)=\alpha\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}$
$\mathrm{AB}+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{\left\{f^\prime\left(\theta\right)\right\}^2+\left\{f\left(\theta\right)\right\}^2}d\theta=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}\sqrt{\left\{\alpha\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right\}^2+\left\{\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right\}^2}d\theta\bigm=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}{\sqrt{1+\alpha^2}\beta e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}}d\theta=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}+\sqrt{1+\alpha^2}\beta\left[\frac{1}{\alpha}e^{\alpha\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\theta_1}\bigm=\frac{v}{\sqrt{v^2-1}}-\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}+\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}$
これと $vf\left(\theta_1\right)=v\beta e^{\alpha\left(\theta_1-\frac{\pi}{2}\right)}$ が等しくなるので，
$\begin{cases} \frac{v}{\sqrt{v^2-1}}-\frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}=0 \\ \frac{\beta}{\alpha}\sqrt{1+\alpha^2}=v\beta \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=\frac{1}{\sqrt{v^2-1}} \\ \beta=\frac{1}{\sqrt{v^2-1}} \end{cases}$ ……(答)
〇領域の面積(ムについて)
$v=\sqrt2$ のとき， $\alpha=\beta=1$ となる．
以下では，領域の上半分の面積を考える．最終的な答えはその2倍となる．
まず第1象限の図形について．これは(1)の議論から $\left(X+\frac{1}{v^2-1}\right)^2+Y^2=\left(\frac{v}{v^2-1}\right)^2\Leftrightarrow\left(X+1\right)^2+Y^2=2$ を満たす図形，つまり，中心 $\left(-1,0\right)$ ，半径 $\sqrt2$ の円の内部．中心を点 $\mathrm{D}$ とすると， $\angle\mathrm{ADB}=\frac{\pi}{4}$ となる．よって，第1象限の図形の面積は，
$\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt2\right)^2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cos{\frac{\pi}{4}}\cdot\sqrt2\sin{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$
次に第2象限の図形について．
$x=f\left(\theta\right)\cos{\theta}=e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}$ であるから， $\theta=\pi$ のとき， $x=-e^\frac{\pi}{2}$
よって，第2象限の図形の面積は，
$\int_{-e^\frac{\pi}{2}}^{0}ydx=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{f\left(\theta\right)\sin{\theta}}\frac{dx}{d\theta}d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}}\cdot e^{\theta-\frac{\pi}{2}}\left(\cos{\theta}-\sin{\theta}\right)d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}\left(\sin{\theta}\cos{\theta}-{\mathrm{sin}}^2\theta\right)d\theta\bigm=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}\left(\frac{\sin{2\theta}}{2}-\frac{1-\cos{2\theta}}{2}\right)d\theta=-\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}d\theta+\frac{1}{2}\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)}d\theta$
ここで， $\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}e^{2\theta-\pi}d\theta=\left[\frac{1}{2}e^{2\theta-\pi}\right]_\pi^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left(1-e^\pi\right)$ であり，
$\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime=2e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}+2e^{2\theta-\pi}\cos{2\theta}\Leftrightarrow e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime$
であるから，
$\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{e^{2\theta-\pi}\left(\sin{2\theta}+\cos{2\theta}\right)}d\theta=\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}\left(e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right)^\prime}d\theta=\left[\frac{1}{2}e^{2\theta-\pi}\sin{2\theta}\right]_\pi^{\frac{\pi}{2}}=0$
$\therefore\int_{-e^\frac{\pi}{2}}^{0}ydx=-\frac{1}{4}\left(1-e^\pi\right)$
よって，上半分の面積は，
$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\left(1-e^\pi\right)=\frac{1}{4}\left(\pi+e^\pi-3\right)$
よって，求める面積は，
$2\cdot\frac{1}{4}\left(\pi+e^\pi-3\right)=\frac{1}{2}\left(\pi+e^\pi-3\right)$ ……(答)

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方 (1) (ソ)について．角の情報を引き出す必要があるため，内積で攻める必要があると判断する． (タ)と(チ)について．答えの形式から，との係数を文字で置くことから始める．すると，求める文字は2つのため，点に関する情報が2つ必要になるから，問題文から点に関する情報を2つ集める． (ツ)に

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方針の立て方

(1)
(ソ)について．角の情報を引き出す必要があるため，内積で攻める必要があると判断する．
(タ)と(チ)について．答えの形式から， $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{OB}}$ の係数を文字で置くことから始める．すると，求める文字は2つのため，点 $\mathrm{C}$ に関する情報が2つ必要になるから，問題文から点 $\mathrm{C}$ に関する情報を2つ集める．
(ツ)について． $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}$ のままでは埒が明かないため，一先ず変形を試みる．前問の結果を用いれば変形の仕方も容易に思いつく．

(2)
$s,t,u$ の3文字から $s,t$ の等式を導くため，一先ず $u$ を消去することを考える．その後は， $s,t$ の等式を立てるため， $\vec{\mathrm{OA}}$ と $\vec{\mathrm{OB}}$ と $\vec{\mathrm{OC}}$ を消去する必要があるが，これにはベクトルの大きさで考えれば良いから，その方針で解く．

(3)
(ネ)～(ハ)について．前問で $s,t$ を導入したこともあり， $s,t$ 中心で考えていくと上手くいくと考える．すると， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|$ が $s,t$ で書き表せるため， $s,t$ を動かしたときの最大値を考えればいいことが分かる．前問の結果を加味すれば線形計画法の考え方であると見抜ける．
(ヒ)について．典型的な四面体の体積問題である．「垂線と面が直交する」と，「垂線と面を構成する2ベクトル(基底ベクトルという)が垂直」が同値であることを利用する．

解答例

(1)
ソ： $\frac{\pi}{3}$
タ： $\frac{3}{2}$
チ： $-\frac{1}{2}$
ツ： $9$
(2)
テ： $3$
ト： $0$
ナ： $-3$
ニ： $-3$
ヌ： $0$
(3)
ネ： $\frac{3+\sqrt3}{2}$
ノ： $\frac{1+\sqrt3}{2}$
ハ： $-1-\sqrt3$
ヒ： $\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}$

解説

(1)
〇 $\angle\mathrm{AOB}$ (ソについて)
点 $\mathrm{B}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|\cos{\angle\mathrm{AOB}}\Longleftrightarrow\cos{\angle\mathrm{AOB}}=\frac{1}{\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|}=\frac{1}{2}$
$\therefore\angle\mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OC}}$ (タとチについて)
$\vec{\mathrm{OC}}$ は $\mathrm{AB}$ 上の点のため， $\vec{\mathrm{OC}}=t\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OB}}$ ( $t$ は実数)と表せる．
点 $\mathrm{C}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OC}}=t\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=4t+6\left(1-t\right)=-2t+6$
$\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2=t^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+\left(1-t\right)^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+2t\left(1-t\right)\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}=28t^2-60t+36$
$\therefore28t^2-60t+36=\left(-2t+6\right)^2\Leftrightarrow t=0,\frac{3}{2}$
$t=0$ では $\vec{\mathrm{OC}}=\vec{\mathrm{OB}}$ となるため不適．よって， $t=\frac{3}{2}$ ．
$\therefore\vec{\mathrm{OC}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\left(1-\frac{3}{2}\right)\vec{\mathrm{OB}}=\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}$ ……(答)
〇 $\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}$ (ツについて)
前問の結果を変形すると，
$\vec{\mathrm{OB}}=3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}$
$\therefore\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=\left(3\vec{\mathrm{OA}}-2\vec{\mathrm{OC}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-2\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}=3\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=3\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|$ ( $\because$ 点 $\mathrm{D}$ は図形 $S$ 上の点) $=3\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3\left(-2t+6\right)=9$ ……(答)

(2)
$s+t+u=1$ である．
点 $\mathrm{Q}$ は図形 $S$ 上の点のため， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OQ}}\right)^2=\left(s\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\right)^2\bigm=\left(4s+t\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+u\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|\right)^2=\left(4s+6t+3u\right)^2\bigm=\left(3+s+3t\right)^2\left(\because s+t+u=1\right)\bigm=s^2+9t^2+6st+6s+18t+9$
一方，
$\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|^2=\left(s\vec{\mathrm{OA}}+t\vec{\mathrm{OB}}+u\vec{\mathrm{OD}}\right)^2=s^2\left|\vec{\mathrm{OA}}\right|^2+t^2\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+2tu\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+2us\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=4s^2+36t^2+u^2\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2+2st\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|+18tu+2us\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|=4s^2+36t^2+9u^2+12st+18tu+6us\bigm=7s^2+27t^2+6st-12s+9\left(\because s+t+u=1\right)$
$\therefore s^2+9t^2+6st+6s+18t+9=7s^2+27t^2+6st-12s+9\Leftrightarrow s^2+3t^2-3s-3t=0$ ……(答)

(3)
〇 $\vec{\mathrm{OE}}$ (ネ～ハについて)

前問で求めた $s,t$ の条件より，
$s^2+3t^2-3s-3t=0\Leftrightarrow\left(s-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=3$ ……①
また，(2)での議論より， $\left|\vec{\mathrm{OQ}}\right|=3+s+3t$
ここで， $s+3t=k$ とおくと， $t=-\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}k$ であり，①の下で $k$ が最大となるときを考えれば良い．
左図のように，線形計画法の要領で解くと， $k$ の最大値は $3+2\sqrt3$ と分かり，このとき， $s=\frac{3+\sqrt3}{2},t=1+32$ となる．
$s+t+u=1$ より， $u=1-\frac{3+\sqrt3}{2}-\frac{1+\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3$ となる．
$\therefore\vec{\mathrm{OE}}=\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}$ ……(答)

〇四面体 $\mathrm{OCDE}$ (ヒについて)
$\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}$ より， $\triangle\mathrm{OCD}=\frac{1}{2}\mathrm{OC}\cdot\mathrm{OD}=\frac{9}{2}$
点 $\mathrm{E}$ から $\triangle\mathrm{OCD}$ への垂線の足を点 $\mathrm{H}$ とする．すると， $\vec{\mathrm{EH}}\bot\triangle\mathrm{OCD}\Leftrightarrow\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}$
ここで， $\alpha,\beta$ を実数として $\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OH}}-\vec{\mathrm{OE}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}$ (つまり $\vec{\mathrm{OH}}=\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}$ )とすると，(1)の結果より， $\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|=3$ であることに注意して，
$\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\alpha\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|^2+\beta\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\alpha-\vec{\mathrm{OC}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\left(\because\vec{\mathrm{OC}}\bot\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OB}}+\left(1+\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{1}{2}\vec{\mathrm{OB}}\right)\cdot\vec{\mathrm{OB}}\bigm=9\alpha-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OC}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\left(\frac{3}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|-\frac{1}{2}\left|\vec{\mathrm{OB}}\right|^2\right)\bigm=9\alpha+3\sqrt3$
$\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\alpha\vec{\mathrm{OC}}+\beta\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}\right)=\beta\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{OE}}\bigm=9\beta-\vec{\mathrm{OD}}\cdot\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}-\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}\cdot\vec{\mathrm{OD}}+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2\bigm=9\beta-\frac{3+\sqrt3}{2}\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|-\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot9+\left(1+\sqrt3\right)\left|\vec{\mathrm{OD}}\right|^2=9\beta+3\sqrt3$
$\begin{cases} \vec{\mathrm{OC}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \\ \vec{\mathrm{OD}}\cdot\vec{\mathrm{EH}}=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 9\alpha+3\sqrt3=0 \\ 9\beta+3\sqrt3=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \alpha=-\frac{\sqrt3}{3} \\ \beta=-\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
$\therefore\vec{\mathrm{EH}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\vec{\mathrm{OE}}=-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OC}}-\frac{\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}-\left(\frac{3+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}+\frac{1+\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OB}}+\left(-1-\sqrt3\right)\vec{\mathrm{OD}}\right)\bigm=-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}$
$\therefore\left|\vec{\mathrm{EH}}\right|=\sqrt{\left(-\frac{3+2\sqrt3}{2}\vec{\mathrm{OA}}-\frac{3+2\sqrt3}{6}\vec{\mathrm{OB}}+\frac{3+2\sqrt3}{3}\vec{\mathrm{OD}}\right)^2}=\sqrt{2\left(3+2\sqrt3\right)^2}=3\sqrt2+2\sqrt6$
よって，四面体 $\mathrm{OCDE}$ の体積は，
$\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}\cdot\left(3\sqrt2+2\sqrt6\right)=\frac{3\sqrt6\left(2+\sqrt3\right)}{2}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.20

方針の立て方 (1) 実際に題意を満たすサイコロを目の出し方を考えることで方針を得る．複数のサイコロの問題ではサイコロは区別したほうが処理しやすい． (2) 「少なくとも」の問題であるため，基本解法である余事象で解くと考える．後は全問と同様に題意を満たすサイコロの目の出し方を考えれば，解答を得られる

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方針の立て方

(1)
実際に題意を満たすサイコロを目の出し方を考えることで方針を得る．複数のサイコロの問題ではサイコロは区別したほうが処理しやすい．

(2)
「少なくとも」の問題であるため，基本解法である余事象で解くと考える．後は全問と同様に題意を満たすサイコロの目の出し方を考えれば，解答を得られる．

(3)
これも題意を満たすパターンを考えることで方針を得られる．

解答例

(1)(2)(3)(4)…… $\frac{02}{09}$
(5)(6)(7)(8)…… $\frac{03}{04}$
(9)(10)(11)(12)(13)(14)…… $\frac{025}{162}$

解説

サイコロを区別して考え，一つ目のサイコロの目が $x$ ，二つ目のサイコロの目が $y$ であったとき，この目の出方を $\left(x,y\right)$ と表す．
(1)
題意を満たすサイコロの目の出し方は， $\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right)$ とこれらを入れ替えた計8通り．全ての目の出し方は $6^2=36$ 通りのため，求める確率は，
$\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$ ……(答)

(2)
余事象で考える．36通りの目の出し方の中で，差が1か2となる出し方は， $\left(1,2\right),\left(2,3\right),\left(3,4\right),\left(4,5\right),\left(5,6\right),\left(1,3\right),\left(2,4\right),\left(3,5\right),\left(4,6\right)$ とこれらを入れ替えた計18通りであり，これらを除いた18通りの目の出し方を2回すれば余事象の条件が満たされる．よって，余事象の確率は，
$\left(\frac{18}{36}\right)^2=\frac{1}{4}$
である．よって，求める確率は，
$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ ……(答)

(3)
箱1の玉を取り出す事象を①，箱2の玉を取り出す事象を②，それ以外の箱を確認する事象を③と表すことにする．1回の操作で，①が起こる確率は $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ ，②が起こる確率は $\frac{2}{9}$ ，③が起こる確率は $1-\frac{5}{18}-\frac{2}{9}=\frac{1}{2}$ である．
題意を満たすパターンは，「○１２」，「○２１」，「１○２」，「２○１」，「１１２」，「２２１」の6通りであり，前4つが起こる確率はそれぞれ $\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}$ であり，「１１２」が起こる確率は $\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}$ ，「２２１」が起こる確率は $\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18}$ である．よって，求める確率は，
$4\times\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}+\frac{5}{18}\cdot\frac{5}{18}\cdot\frac{2}{9}+\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{5}{18}=\frac{25}{162}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究大問6

2019.09.20

方針の立て方実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「に含まれ，かつ，四角形に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．面積の方は領域

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方針の立て方

実際に題意を満たす円の中心を考えてみる．すると，題意を満たす条件を見抜くことができる．また，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれているという条件も忘れずに考慮すること．本問で問われているのは「 $S$ に含まれ，かつ，四角形 $\mathrm{AMGN}$ に含まれる点」である．最後の答えの表式に沿うように，被っている条件は消すこと．
面積の方は領域の図示ができれば問題ない．計算を簡単にするために $y$ 軸での対称性を見抜きたい．

解答例

(111)(112)(113)(114)…… $\frac{\sqrt{03}}{06}$
(115)…… $2$
(116)(117)…… $03$
(118)(119)…… $03$
(120)(121)…… $01$
(122)(123)…… $03$
(124)(125)…… $-1$
(126)(127)…… $16$
(128)(129)…… $-9$
(130)(131)…… $03$
(132)(133)…… $03$

解説

(1)
四角形 $\mathrm{AMGN}$ の辺および内部の点を $\mathrm{P}\left(x,y\right)$ とおく．

左図のように，点 $\mathrm{P}$ から，辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ へ垂線(図では実線)を引き，順番に $l_1,l_2,l_3$ とする．また，点 $\mathrm{P}$ と，点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ を結び，その線分(図では破線)を順番に $L_1,L_2,L_3$ とする．
すると，求める領域は，
$max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}\geqq min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}$
を満たす点 $\mathrm{P}$ の集合である．
四角形 $\mathrm{AMGN}$ では， $max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=l_2=y,min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}=L_1=\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}$ となるから，上記の条件は
$y\geqq\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}\Leftrightarrow y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$
となる．また，点 $\mathrm{P}$ が四角形 $\mathrm{AMGN}$ 内にある条件は，
$\begin{cases} y\leqq\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\leqq-\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\geqq\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \\ y\geqq-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}$
である．この内，下2つは $y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)$ に内包される( $\because\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)\geqq\pm\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}\Leftrightarrow\left(x\mp1\right)^2\geqq0$ )ので，結局，求める条件は，
$\begin{cases} y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right) \\ y\leqq\sqrt3\left(x+1\right) \\ y\leqq-\sqrt3\left(x-1\right) \end{cases}$

求める面積は， $y$ 軸での対称性を考えれば，
$2\int_{3-2\sqrt3}^{0}\left\{\left(\sqrt3x+\sqrt3\right)-\left(\frac{\sqrt3}{6}x^2+\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}dx=\left[-\frac{\sqrt3}{9}x^3+\sqrt3x^2+\sqrt3x\right]_{3-2\sqrt3}^0=16-9\sqrt3$ ……(答)
また、領域 $S$ の面積は、対称性を考えると3倍と分かる……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問5

2019.09.20

方針の立て方 (1) まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい． (2) 前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．解答

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方針の立て方

(1)
まずは三角形を作図する．その後は内接円の半径を求める問題であるため，面積についての等式を立てる方針で考える．そのため，三角形の面積を求めることになるが，その過程で直角三角形であることに気付くと，中心の座標を求めやすい．

(2)
前問とほとんど同じ解法であり，特筆事項なし．

解答例

(85)(86)…… $03$
(87)(88)…… $-1$
(89)(90)…… $05$
(91)(92)…… $10$
(93)(94)…… $-1$
(95)(96)…… $02$
(97)(98)…… $-1$
(99)(100)…… $02$
(101)(102)…… $02$
(103)(104)…… $05$
(105)(106)…… $25$
(107)(108)(109)(110)…… $\frac{03}{05}$

解説

(1)
三角形の頂点は， $\left(0,-1\right),\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right),\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)$ である．よって，長さは， $2,2,2\sqrt5$ となり， $4^2+2^2=\left(2\sqrt5\right)^2$ が成り立つため，この三角形は長さ $2\sqrt5$ の辺を斜辺とする直角三角形である．

求める内接円の半径を $r$ とすると，三角形の面積について等式が立てられて，
$\frac{1}{2}r\left(4+2+2\sqrt5\right)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2\Leftrightarrow r=3-\sqrt5$ ……(答)
次に中心を求める．ベクトルを利用する．
$\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)$
$\left|\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)\right|=2$
$\left(0,-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)$
$\left|\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)\right|=4$
より，
$\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)}{2}+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)}{4}=\left(\sqrt{10}-\sqrt2,2\sqrt2-1\right)$ ……(答)

(2)
$\triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$ より，体積は， $\frac{1}{3}\cdot3\cdot5=5$ ……(答)
次に表面積を求める．
$\triangle\mathrm{OAB}=3$ ， $\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5，\triangle\mathrm{OBC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}，\triangle\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{CB}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CB}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29\cdot34-{25}^2}=\frac{19}{2}$ より，
$3+5+\frac{15}{2}+\frac{19}{2}=25$ ……(答)
求める内接球の半径を $r$ とすると，四面体の体積についての等式が立てられて，
$\frac{1}{3}\cdot r\cdot25=5\Leftrightarrow r=\frac{3}{5}$ ……(答)

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問4

2019.09.20

方針の立て方どれも10進法に直して処理し，その後，元の進数に直せばよい．解答例 (72)(73)(74)……642 (75)(76)……14 (77)(78)……10 (79)(80)……12 (81)(82)……07 (83)(84)……15 解説 (1) ……(答) (2) よって，……(答

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方針の立て方

どれも10進法に直して処理し，その後，元の進数に直せばよい．

解答例

(72)(73)(74)……642
(75)(76)……14
(77)(78)……10
(79)(80)……12
(81)(82)……07
(83)(84)……15

解説

(1)
${2018}_{\left(10\right)}={642}_{\left(18\right)}$ ……(答)

(2)
${516}_{\left(n\right)}={5n^2+n+6}_{\left(10\right)}={2018}_{\left(10\right)}$
$\therefore5n^2+n+6=2018\Longleftrightarrow\left(n-14\right)\left(5n+71\right)=0\Leftrightarrow n=14,-\frac{71}{5}$
よって， $n=14$ ……(答)

(3)
$x^2-{22}_{\left(8\right)}x+{120}_{\left(8\right)}=0\Leftrightarrow x^2-{18}_{\left(10\right)}x+{80}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(x-8_{\left(10\right)}\right)\left(x-{10}_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow x=8_{\left(10\right)},{10}_{\left(10\right)}\Leftrightarrow x={10}_{\left(8\right)},{12}_{\left(8\right)}$ ……(答)

(4)
${23}_{\left(m\right)}={2m+3}_{\left(10\right)}$
${114}_{\left(m\right)}={m^2+m+4}_{\left(10\right)}$
$\therefore x^2-{23}_{\left(m\right)}x+{114}_{\left(m\right)}=0\Longleftrightarrow x^2-\left(2m+3\right)_{\left(10\right)}x+\left(m^2+m+4\right)_{\left(10\right)}=0$
$5_{\left(m\right)}=5_{\left(10\right)}$ より，
${25}_{\left(10\right)}-\left(2m+3\right)_{\left(10\right)}\cdot5_{\left(10\right)}+\left(m^2+m+4\right)_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow m^2-9_{\left(10\right)}+{14}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(m-2_{\left(10\right)}\right)\left(m-7_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow m=2_{\left(10\right)},7_{\left(10\right)}$
$5_{\left(m\right)}$ の表記が可能なのは， $m=7_{\left(10\right)}$ ……(答)
$\therefore x^2-\left(2\cdot7+3\right)_{\left(10\right)}x+\left(7^2+7+4\right)_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow x^2-{17}_{\left(10\right)}x+{60}_{\left(10\right)}=0\Leftrightarrow\left(x-5_{\left(10\right)}\right)\left(x-{12}_{\left(10\right)}\right)=0\Leftrightarrow x=5_{\left(10\right)},{12}_{\left(10\right)}=5_{\left(7\right)},{15}_{\left(7\right)}$
よって，求めるもう1つの解は， ${15}_{\left(7\right)}$ ……(答)

2018年慶應義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問3

2019.09.20

方針の立て方ガウス記号のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は，の値が同じをまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする． (1) 実際に書き出すことで解答を得る． (2) 前問で得られた規則性を使う．の値が1つ上がるのはが平方数となるときであることに気付ければ

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方針の立て方

ガウス記号 $\left[\quad\right]$ のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は， $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が同じ $n$ をまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする．
(1)
実際に書き出すことで解答を得る．

(2)
前問で得られた規則性を使う． $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が1つ上がるのは $n+1$ が平方数となるときであることに気付ければ，後はケアレスミスに注意して考えるのみ．平方数の差を取ると奇数となることは知識として押さえておくとよい．今回も「 $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は” $2m+1$ ”個」というところで，奇数が出てきている．

(3)
$a_n$ との違いに気づければ，解法を得る． $n$ が奇数のとき $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は負の値となる．整数や数列の問題では，前問や本問のように偶奇に着目して規則性を見つけることがよくある．

(4)
問題文中ではっきりと言われていないため題意がつかみにくいが，答えの表式が「 $a_n=$ 」となっていることから，一般項を求める問題であるということにまず気付くこと．後は(2)(3)とで群数列として扱ってきたことを踏まえ，群数列の解法を取ればよい．

解答例

(53)(54)…… $19$
(55)(56)…… $-1$
(57)(58)…… $30$
(59)(60)…… $81$
(61)(62)…… $06$
(63)(64)…… $-2$
(65)…… $3$
(66)(67)…… $-3$
(68)(69)…… $05$
(70)(71)…… $06$

解説

(1)
順番に書き出してみると，
$a_2=2$
$a_3=3$
$a_4=5$
$a_5=7$
$a_6=9$
$a_7=11$
$a_8=13$
$a_9=16$
$a_{10}=19$ ……(答)
$b_1=1$
$b_2=0$
$b_3=1$
$b_4=-1$
$b_5=1$
$b_6=-1$
$b_7=1$
$b_8=-1$
$b_9=2$
$b_{10}=-1$ ……(答)
(2)
$n$ と $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$4$	$\cdots$

ここから， $\left[\sqrt{n+1}\right]=1$ となる $n$ は( $n=0$ を含めて)3個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=2$ となる $n$ は5個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=3$ となる $n$ は7個あり，……， $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は $2m+1$ 個あると分かる．
$\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列である．よって，
$a_{30}=a_1+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot7+4\cdot9+5\cdot6=100$ となる．
数列 $\left\{a_n\right\}$ は明らかに単調増加列であるので，求める $n$ の範囲は， $n\geqq30$ ……(答)

(3)
$n$ と $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$-1$	$1$	$-2$	$2$	$-2$	$2$	$-2$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-4$	$\cdots$

よって，
$\sum_{n=0}^{2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1$
$\sum_{n=3}^{7}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=-2$
$\sum_{n=8}^{14}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=3$
$\vdots$
$\sum_{n=m^2-1}^{\left(m+1\right)^2-2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=\left(-1\right)^{m+1}m$
が成り立つと分かる．
$1+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)+9=5$
である．ここで，

$n$	$\cdots$	$77$	$78$	$79$	$80$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\cdots$	$-8$	$8$	$-8$	$9$	$\cdots$

であるから， $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列であることに注意して，
$b_{80}=b_1+\sum_{n=1}^{79}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1+0+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)=-4$
$b_{81}=b_{80}+\left(-1\right)^{80}\left[\sqrt{80+1}\right]=-4+9=5$
よって求める $n$ は， $n=81$ ……(答)

(4)
(2)の議論を応用すれば， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる自然数 $k$ は $2m+1$ 個あると分かる．よって， $\left[\sqrt k\right]=1,2,3,\cdots,m-1$ となる自然数 $k$ の個数の総数は， $\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k+1\right)=m^2-1$ 個と分かる．
よって， $1\leqq k\leqq n$ までの $n$ 個の自然数 $k$ のうち， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる $k$ の個数は， $n-\left(m^2-1\right)$ 個あると分かる．
$\therefore a_n=\sum_{k=1}^{m-1}k\left(2k+1\right)+m\left\{n-\left(m^2-1\right)\right\}=\frac{6mn-2m^3-3m^2+5m}{6}$ ……(答)

2018年慶應義塾環境情報数学|過去問徹底研究大問2

2019.09.20

方針の立て方 (1) 平易な問題のため特筆事項なし． (2) 前問の問題を利用するために，変数変換をして，の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．解答例 (15)(16)…… (

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方針の立て方

(1)
平易な問題のため特筆事項なし．

(2)
前問の問題を利用するために，変数変換をして， $\left|p-1\right|+\left|q-1\right|$ の形に近づけることを考える．変数変換をした際には変換後の文字の範囲に気を付けよう．
また，本問には別解として絶対値の中身の正負で場合分けして考察する解法もある．

解答例

(15)(16)…… $01$
(17)(18)(19)(20)…… $\frac{01}{04}$
(21)(22)(23)(24)…… $\frac{03}{04}$
(25)(26)…… $\frac{9}{4}$
(27)(28)…… $\frac{1}{4}$
(29)(30)…… $\frac{1}{2}$
(31)(32)…… $01$
(33)(34)(35)(36)…… $\frac{-1}{04}$
(37)(38)…… $\frac{3}{4}$
(39)(40)…… $\frac{3}{2}$
(41)(42)…… $02$
(43)(44)(45)(46)…… $\frac{01}{02}$
(47)(48)…… $01$
(49)(50)…… $02$
(51)(52)…… $-1$

解説

(1)
線形計画法の考え方で考えれば， $\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ か $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ のどちらかで最小値となる．
$\left(p,q\right)=\left(1,\frac{1}{4}\right)$ を代入すると， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-1\right|=\frac{3}{4}$ であり， $\left(p,q\right)=\left(2,1\right)$ を代入すると， $\left|2-1\right|+\left|1-1\right|=1$ であるから，答えは，
$p=1,q=\frac{1}{4},m=\frac{3}{4}$ ……(答)

(2)
$2x+y=p,2xy=q$ とおく． $x,y$ が実数のため， $2x\left(p-2x\right)=q\Leftrightarrow-4x^2+2px-q=0$ の判別式は非負である．
$\therefore p^2-4q\geqq0\Leftrightarrow q\leqq\frac{p^2}{4}$
よって，前問で $\left|q-1\right|$ の箇所を $\left|q-a\right|$ としたものとして考えられる．線形計画法で考えれば， $a$ が小さいときには，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ でとり，値を大きくするとある $a$ で，最小値は $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方でとり，それより $a$ の値が大きくなると，最小値は $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ でとる．
$\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ と $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ の両方で最小値となるのは， $\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|$ が成立するときであり，これを解くと， $a>\frac{1}{4}$ より， $a=\frac{9}{4}$ である．
よって，
(ⅰ) $\frac{1}{4}<a<\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-a\right|=a-\frac{1}{4}$ ……(答)
(ⅱ) $a=\frac{9}{4}$ の場合， $\begin{cases} p=1 \\ q=\frac{1}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$ または， $\begin{cases} p=2\sqrt a=3 \\ q=a=\frac{9}{4} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{3}{2} \end{cases}$ のとき， $m=\left|1-1\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right|=2$ ……(答)
(ⅲ) $\frac{9}{4}<a$ の場合， $\begin{cases} p=2\sqrt a \\ q=a \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{\sqrt a}{2} \\ y=\sqrt a \end{cases}$ のとき， $m=\left|2\sqrt a-1\right|+\left|a-a\right|=2\sqrt a-1$ ……(答)

2018年慶応義塾大学総合政策　数学|過去問徹底研究大問6

2019.09.08

2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6 方針の立て方 (1) 解答欄の形式から，を用いてはいけないため，とについての等式を立てれば良いと分かる．この内，についての等式は，立てるまでもなく(座標)であるため，本解では省略した． (2) 特筆事項なし． (3) 実際にぐらいまで考えて

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2018年慶應義塾大学総合政策|数学過去問徹底研究大問6

方針の立て方

(1)
解答欄の形式から， $p_i$ を用いてはいけないため， $s_i$ と $r_i$ についての等式を立てれば良いと分かる．この内， $r_i$ についての等式は，立てるまでもなく( $y$ 座標) $=r_i$ であるため，本解では省略した．

(2)
特筆事項なし．

(3)
実際に $\left(r_4,s_4,p_4\right)$ ぐらいまで考えてみれば，解答が予測できる上に，何故そうなるのかの理由も分かる．

(4)
前問同様，最初の数回を具体的に考えれば解法を得られる．前問の試行で得られた知見を用いれば，比較的簡単に，期待値の評価ができる．

解答例
(63)(64)……01
(65)(66)……02
(67)(68)……01
(69)(70)……00
(71)(72)……06
(73)(74)……02
(75)(76)……06
(77)(78)……06
(79)(80)……12

解説

(1)
$y$ 座標は $r_i$ である． $x$ 座標を $X$ とする．点と直線の距離の公式より，直線PR( $y=\sqrt3x$ )と点 $J_i$ との距離について，
$s_i=\frac{\left|r_i-\sqrt3X\right|}{2}$
となる．点 $J_i$ は，直線PRよりも下側にあるため， $r_i-\sqrt3X\leqq0$ である．
$\therefore s_i=\frac{\sqrt3X-r_i}{2}\Leftrightarrow X=\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3}$
$\therefore\left(\frac{r_i+2s_i}{\sqrt3},r_i\right)$ ……(答)

(2)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ となる．
$\therefore\left(\frac{6}{\sqrt3},2\right)$ ……(答)

(3)
$\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ となる．
第３ラウンド以降は $\left(r_i,s_i,p_i\right)$ は $\left(4,2,0\right)$ か $\left(6,0,0\right)$ のどちらかとなる．
$\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(4,2,0\right)$ となる確率について考えると，第３ラウンド以降の14回の対戦全てが「R対Rが２組，S対Sが１組」という当たり方をせねばならない．これが起こる確率は， $\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ である．よって， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率は $1-\left(\frac{1}{5}\right)^{14}$ となり，明らかに， $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ となる確率の方が大きい．
よって，求める座標は $\left(r_{16},s_{16},p_{16}\right)=\left(6,0,0\right)$ から求められる点で， $\left(\frac{6}{\sqrt3},6\right)$ ……(答)

(4)
第１ラウンドが，
(ⅰ)R対P，R対S，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,0,2\right)$ → $E\left(P\right)>E\left(R\right)>E\left(S\right)$ となる．
(ⅱ)R対P，R対R，S対Sの場合(場合の数は3通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(2,2,2\right)$ → $E\left(P\right)=E\left(R\right)=E\left(S\right)$ となる．
(ⅲ)S対P，R対R，R対Sの場合(場合の数は6通り)
→ $\left(r_2,s_2,p_2\right)=\left(4,2,0\right)$ → $E\left(R\right)>E\left(S\right)>E\left(P\right)$ となる．
よって， $E\left(R\right)>E\left(P\right)>E\left(S\right)$ となる．
$\therefore$ (12)……(答)

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2018年早稲田大学理工数学|過去問徹底研究大問1

2019.09.06

早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年　大問1 方針の立て方 (1) 実際にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる．「３点を結ぶと三角形をなす」ことと，「３点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと． (2) 前問と同様にP，A，Bの位置関係を図に描いてみる

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早稲田大学理工過去問徹底研究　2018年　大問1

方針の立て方

(1)
実際にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると解法を得られる．「３点を結ぶと三角形をなす」ことと，「３点が一直線上にない」ことが同値であることは頻出のためおさえておくこと．

(2)
前問と同様にP，A，Bの位置関係を図に描いてみると，ABを底辺と見ると都合がいいことが分かる．複素共役な２つの複素数は，複素数平面上では実軸対称となることは，複素数と図形の融合問題では頻出の考え方のためおさえておくこと．

(3)
外心の定義と外心の作図の仕方を考えれば解法を得られる．

解答例

(1)
３次方程式 $\left(x-p\right)\left(x^2+qx+r\right)=0$ の解は， $x=p,\alpha,\beta$ の３つ．
３点P，A，Bが三角形をなすには，３点P，A，Bが一直線上になければ必要十分．そのためには， $\alpha,\beta$ が虚数解であり( $\alpha,\beta$ が実数解ならば， $p$ が実数であるため，３点P，A，Bが一直線上に並んでしまう)，かつ $\alpha,\beta$ の実部が $p$ でなければ必要十分．
$x^2+qx+r=0$ を解くと， $x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4r}}{2}$ であるから，求める条件は，
$\begin{cases} q^2-4r<0 \\ \frac{-q}{2}\neq p \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} q^2-4r<0 \\ q\neq-2p \end{cases}$ ……(答)

(2)

３点P，A，Bの位置関係は上図の通り．
$q^2-4r0$ ( $\because$ (1))より， $\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r$
$\therefore R=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}$ ……(答)

(3)
三角形の外接円の中心は，各辺の垂直二等分線の交点である．
辺ABの垂直二等分線は，実軸である．よって，求める中心Qは $x$ ( $x$ は実数)とおける．QとP，QとAの距離が等しいことより，
$\left|p-x\right|=\sqrt{\left(x+\frac{q}{2}\right)^2\left(-\frac{\sqrt{4r-q^2}}{2}\right)^2}$
が成り立ち，これを解くと， $x=\frac{p^2-r}{2p+q}$ ……(答)
また，半径 $R$ は，
$R=\left|p-x\right|=\left|p-\frac{p^2-r}{2p+q}\right|=\left|\frac{p^2+pq+r}{2p+q}\right|=\frac{\left|p^2+pq+r\right|}{\left|2p+q\right|}$
$p^2+pq+r=\left(p+\frac{q}{2}\right)^2+\frac{4r-q^2}{4}\geqq\frac{4r-q^2}{4}>0$ ( $\because$ (1))より， $\left|p^2+pq+r\right|=p^2+pq+r$
$\thereforeR=\frac{p^2+pq+r}{\left|2p+q\right|}$ ……(答)

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