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慶應環境情報2018

2018年慶応義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究 大問5

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
まずは三角形を作図する.その後は内接円の半径を求める問題であるため,面積についての等式を立てる方針で考える.そのため,三角形の面積を求めることになるが,その過程で直角三角形であることに気付くと,中心の座標を求めやすい.

(2)
前問とほとんど同じ解法であり,特筆事項なし.

解答例

(85)(86)……03
(87)(88)……-1
(89)(90)……05
(91)(92)……10
(93)(94)……-1
(95)(96)……02
(97)(98)……-1
(99)(100)……02
(101)(102)……02
(103)(104)……05
(105)(106)……25
(107)(108)(109)(110)……\frac{03}{05}

解説

(1)
三角形の頂点は,\left(0,-1\right),\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right),\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)である.よって,長さは,2,2,2\sqrt5となり,4^2+2^2=\left(2\sqrt5\right)^2が成り立つため,この三角形は長さ2\sqrt5の辺を斜辺とする直角三角形である.

求める内接円の半径をrとすると,三角形の面積について等式が立てられて,
\frac{1}{2}r\left(4+2+2\sqrt5\right)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2\Leftrightarrow r=3-\sqrt5……(答)
次に中心を求める.ベクトルを利用する.
\left(\sqrt2,3\sqrt2-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)
\left|\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)\right|=2
\left(0,-1\right)-\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)=\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)
\left|\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)\right|=4
より,
\left(2\sqrt2,2\sqrt2-1\right)+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-\sqrt2,\sqrt2\right)}{2}+\left(3-\sqrt5\right)\cdot\frac{\left(-2\sqrt2,-2\sqrt2\right)}{4}=\left(\sqrt{10}-\sqrt2,2\sqrt2-1\right)……(答)

(2)
\triangle\mathrm{OAB}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3より,体積は,\frac{1}{3}\cdot3\cdot5=5……(答)
次に表面積を求める.
\triangle\mathrm{OAB}=3\triangle\mathrm{OAC}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5,\triangle\mathrm{OBC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2},\triangle\mathrm{CAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{\mathrm{CA}}\right|^2\left|\vec{\mathrm{CB}}\right|^2-\left(\vec{\mathrm{CA}}\cdot\vec{\mathrm{CB}}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{29\cdot34-{25}^2}=\frac{19}{2}より,
3+5+\frac{15}{2}+\frac{19}{2}=25……(答)
求める内接球の半径をrとすると,四面体の体積についての等式が立てられて,
\frac{1}{3}\cdot r\cdot25=5\Leftrightarrow r=\frac{3}{5}……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。