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慶應環境情報2018

2018年慶応義塾大学環境情報|過去問徹底研究 大問6

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

実際に題意を満たす円の中心を考えてみる.すると,題意を満たす条件を見抜くことができる.また,四角形\mathrm{AMGN}に含まれているという条件も忘れずに考慮すること.本問で問われているのは「Sに含まれ,かつ,四角形\mathrm{AMGN}に含まれる点」である.最後の答えの表式に沿うように,被っている条件は消すこと.
面積の方は領域の図示ができれば問題ない.計算を簡単にするためにy軸での対称性を見抜きたい.

解答例

(111)(112)(113)(114)……\frac{\sqrt{03}}{06}
(115)……2
(116)(117)……03
(118)(119)……03
(120)(121)……01
(122)(123)……03
(124)(125)……-1
(126)(127)……16
(128)(129)……-9
(130)(131)……03
(132)(133)……03

解説

(1)
四角形\mathrm{AMGN}の辺および内部の点を\mathrm{P}\left(x,y\right)とおく.

左図のように,点\mathrm{P}から,辺\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}へ垂線(図では実線)を引き,順番にl_1,l_2,l_3とする.また,点\mathrm{P}と,点\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}を結び,その線分(図では破線)を順番にL_1,L_2,L_3とする.
すると,求める領域は,
max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}\geqq min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}
を満たす点\mathrm{P}の集合である.
四角形\mathrm{AMGN}では,max\left\{l_1,l_2,l_3\right\}=l_2=y,min\left\{L_1,L_2,L_3\right\}=L_1=\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}となるから,上記の条件は
y\geqq\sqrt{x^2+\left(y-\sqrt3\right)^2}\Leftrightarrow y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)
となる.また,点\mathrm{P}が四角形\mathrm{AMGN}内にある条件は,
\begin{cases} y\leqq\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\leqq-\sqrt3x+\sqrt3 \\ y\geqq\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \\ y\geqq-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3} \end{cases}
である.この内,下2つはy\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)に内包される(\because\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right)\geqq\pm\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}\Leftrightarrow\left(x\mp1\right)^2\geqq0)ので,結局,求める条件は,
\begin{cases} y\geqq\frac{\sqrt3}{6}\left(x^2+3\right) \\ y\leqq\sqrt3\left(x+1\right) \\ y\leqq-\sqrt3\left(x-1\right) \end{cases}

求める面積は,y軸での対称性を考えれば,
2\int_{3-2\sqrt3}^{0}\left\{\left(\sqrt3x+\sqrt3\right)-\left(\frac{\sqrt3}{6}x^2+\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}dx=\left[-\frac{\sqrt3}{9}x^3+\sqrt3x^2+\sqrt3x\right]_{3-2\sqrt3}^0=16-9\sqrt3……(答)
また、領域Sの面積は、対称性を考えると3倍と分かる……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。