2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

方針の立て方
(1)
試しに $a_1\left(\frac{i}{12}\right),a_2\left(\frac{i}{12}\right),a_3\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdots$ を書き下すと解答が得られる．このときに分母を2で割った値が大事になることや，分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう．

(2)
前問の議論を一般化して考える．前問の議論で，分母が偶数であるときには，その分母の数字を2で割った値が大事になり，分母が奇数になったときに議論が終了することから， $x$ に素因数2が何個含まれているかがカギになると見抜きたい．後は前問のように場合分けして考えていくことを考えれば，解答が得られる．

解答例
(1)
$i=1,2,\cdots\cdots,11$ として，
$a_1\left(\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{12}\neq0$

ここで， $a_4\left(\frac{i}{12}\right)$ について考えると，

となる．ここで， $\frac{2i}{3},\frac{2\left(i-3\right)}{3},\frac{2\left(i-6\right)}{3},\frac{2\left(i-9\right)}{3}$ は全て整数とはならない．一方で $\left[\frac{2i}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]$ は全て整数である．よって， $\frac{2i}{3}-\left[\frac{2i}{3}\right],\frac{2\left(i-3\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-6\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-9\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]$ は全て0とはならない．
同様に， $a_5\left(\frac{i}{12}\right),a_6\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdots$ でも $i=1,2,4,5,7,8,10,11$ のときは0とはならない．
よって， $i=3,6,9$ のみが(＊)を満たす．
$\therefore S_{12}=\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right\}$ ……(答)

(2)
前問の議論を応用すれば， $x$ が有理数で分母が偶数(ある自然数 $m$ を用いて $2m$ と表す)であるとき $a_2\left(x\right)$ は $i=m$ で0となる．その後は $i=1,2,\cdots\cdots,m-1$ と $i=m+1,m+2,\cdots\cdots,n-1$ で場合分けして同様の議論が繰り返せる．この議論は， $a_k\left(x\right)$ の分母が奇数となるまで続く．
よって， $x$ が有理数で分母を素因数分解したときに $2^l$ ( $l$ は0以上の整数)を含む場合， $a_2\left(x\right)=0$ となる $i$ は1個あり， $a_3\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_2\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと)2個あり， $a_4\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_3\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと)4個あり，……， $a_{l+1}\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_l\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと) $2^{l-1}$ 個ある．なお， $a_{l+2}\left(x\right)=0$ となる $i$ は $a_{l+1}\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと存在しない．
よって，(＊)を満たす $i$ は $\sum_{k=0}^{k=l-1}2^k=2^l-1$ 個存在する．
そして(＊)を満たす有理数は， $\frac{i}{2^l}$ ( $i=1,2,\cdots\cdots,2^l-1$ )である．
よって， $T$ の要素の個数は，1から2018の中で素因数に2を最も多く含むもののを考え，その数の素因数2の個数を $m$ 個とすれば， $2^m-1$ 個である．
$2^m\leqq2018$ を満たす最大の $m$ は $m=10$ である．
よって求める個数は，
$2^{10}-1=1023$ 個……(答)