早稲田商学2018 | 【早慶専門対策】個別指導塾ヒロアカ

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問3

2019.09.24

方針の立て方 (1) 実際にを求めていくことで解答を得られる． (2) 前問での議論で，には周期性があることが分かる．更に，大事なのはとのなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には，他の具体的な組み合わせで考えてみると良い)．そこで，とのなす角で場合分けをして議論

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方針の立て方
(1)
実際に $\mathrm{A}_n$

を求めていくことで解答を得られる．

(2)
前問での議論で， $\mathrm{A}_n$ には周期性があることが分かる．更に，大事なのは $\mathrm{O}\mathrm{A}_1$ と $\mathrm{O}\mathrm{A}_2$ のなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には，他の具体的な組み合わせで考えてみると良い)．そこで， $\mathrm{O}\mathrm{A}_1$ と $\mathrm{O}\mathrm{A}_2$ のなす角で場合分けをして議論していけば良いと判断する．

解答例
(1)

(ⅰ)と(ⅱ)に従って $\mathrm{A}_n$ を求めていくと，上図のようになる．
上図より $\mathrm{A}_{15}=\mathrm{P}_3$ であるから，求める $k$ は $k=3$ ……(答)

(2)
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_k$ として，前問の議論( $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)$ のとき)をまとめると，下表のようになる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$k$	$1$	$2$	$9$	$4$	$5$	$3$	$7$	$8$	$6$	$1$	$2$	$9$	$4$	$5$	$3$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,2,9,4,5,3,7,8,6$ という周期9の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在するため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)$ は題意を満たさない．
以下， $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_i,\mathrm{P}_j\right)$ として， $i<j$ のみを考える．更に $\mathrm{O}\mathrm{P}_i$ と $\mathrm{O}\mathrm{P}_j$ のなす角の内，小さい方を $\theta_{ij}$ と表す．
(Ⅰ) $\theta_{ij}=\frac{2\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていくと， $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)$ のときのように $k$ の値は周期9の並びを繰り返し， $k$ は1から9の全ての値をとる．よって，題意を満たさない．
(Ⅱ) $\theta_{ij}=\frac{4\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていく．例えば $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)$ の場合，

上図のようになる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_k$ としてまとめると，下表のようになる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$\cdots$
$k$	$1$	$3$	$8$	$7$	$9$	$5$	$4$	$6$	$2$	$1$	$3$	$8$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,3,8,7,9,5,4,6,2$ という周期9の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在するため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)$ は題意を満たさない．また，他の $i,j$ についても同様に題意を満たさない．
(Ⅲ) $\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていく．例えば $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)$ の場合，

上図のようになる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_k$ としてまとめると，下表のようになる．

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$
$k$	$1$	$4$	$7$	$1$	$4$	$7$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,4,7$ という周期3の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在しないため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)$ は題意を満たす．また，他の $i,j$ についても同様に題意を満たす．
$\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}$ となる $i,j$ の組み合わせは $\left(i,j\right)=\left(2,5\right),\left(2,8\right),\left(3,6\right),\left(3,9\right),\left(5,8\right),\left(6,9\right)$ であり，これら6組は題意を満たす．
(Ⅳ) $\theta_{ij}=\frac{8\pi}{9}$ となる $i,j$ のとき
実際に $\mathrm{A}_n$ を求めていく．例えば $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)$ の場合，

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$\cdots$
$k$	$1$	$5$	$9$	$4$	$8$	$3$	$7$	$2$	$6$	$1$	$5$	$9$	$\cdots$

これより， $k$ の値は $1,5,9,4,8,3,7,2,6$ という周期9の並びを繰り返すことが分かる．
$\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1$ となる $n$ が存在するため $\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)$ は題意を満たさない．また，他の $i,j$ についても同様に題意を満たさない．
以上，(Ⅰ)～(Ⅳ)より，題意を満たす $i,j$ の組み合わせは $i>j$ の範囲でも題意を満たす $i,j$ の組み合わせは6組あるので，求める個数は $6+6=12$ 個……(答)

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問2

2019.09.24

方針の立て方 (1) 試しにを書き下すと解答が得られる．このときに分母を2で割った値が大事になることや，分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう． (2) 前問の議論を一般化して考える．前問の議論で，分母が偶数であるときには，その分母の数字を2で割った値が大事になり，分母が奇

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方針の立て方
(1)
試しに $a_1\left(\frac{i}{12}\right),a_2\left(\frac{i}{12}\right),a_3\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdots$ を書き下すと解答が得られる．このときに分母を2で割った値が大事になることや，分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう．

(2)
前問の議論を一般化して考える．前問の議論で，分母が偶数であるときには，その分母の数字を2で割った値が大事になり，分母が奇数になったときに議論が終了することから， $x$ に素因数2が何個含まれているかがカギになると見抜きたい．後は前問のように場合分けして考えていくことを考えれば，解答が得られる．

解答例
(1)
$i=1,2,\cdots\cdots,11$ として，
$a_1\left(\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{12}\neq0$

ここで， $a_4\left(\frac{i}{12}\right)$ について考えると，

となる．ここで， $\frac{2i}{3},\frac{2\left(i-3\right)}{3},\frac{2\left(i-6\right)}{3},\frac{2\left(i-9\right)}{3}$ は全て整数とはならない．一方で $\left[\frac{2i}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]$ は全て整数である．よって， $\frac{2i}{3}-\left[\frac{2i}{3}\right],\frac{2\left(i-3\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-6\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-9\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]$ は全て0とはならない．
同様に， $a_5\left(\frac{i}{12}\right),a_6\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdots$ でも $i=1,2,4,5,7,8,10,11$ のときは0とはならない．
よって， $i=3,6,9$ のみが(＊)を満たす．
$\therefore S_{12}=\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right\}$ ……(答)

(2)
前問の議論を応用すれば， $x$ が有理数で分母が偶数(ある自然数 $m$ を用いて $2m$ と表す)であるとき $a_2\left(x\right)$ は $i=m$ で0となる．その後は $i=1,2,\cdots\cdots,m-1$ と $i=m+1,m+2,\cdots\cdots,n-1$ で場合分けして同様の議論が繰り返せる．この議論は， $a_k\left(x\right)$ の分母が奇数となるまで続く．
よって， $x$ が有理数で分母を素因数分解したときに $2^l$ ( $l$ は0以上の整数)を含む場合， $a_2\left(x\right)=0$ となる $i$ は1個あり， $a_3\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_2\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと)2個あり， $a_4\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_3\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと)4個あり，……， $a_{l+1}\left(x\right)=0$ となる $i$ は( $a_l\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと) $2^{l-1}$ 個ある．なお， $a_{l+2}\left(x\right)=0$ となる $i$ は $a_{l+1}\left(x\right)=0$ となる $i$ を除くと存在しない．
よって，(＊)を満たす $i$ は $\sum_{k=0}^{k=l-1}2^k=2^l-1$ 個存在する．
そして(＊)を満たす有理数は， $\frac{i}{2^l}$ ( $i=1,2,\cdots\cdots,2^l-1$ )である．
よって， $T$ の要素の個数は，1から2018の中で素因数に2を最も多く含むもののを考え，その数の素因数2の個数を $m$ 個とすれば， $2^m-1$ 個である．
$2^m\leqq2018$ を満たす最大の $m$ は $m=10$ である．
よって求める個数は，
$2^{10}-1=1023$ 個……(答)

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究大問1

2019.09.24

方針の立て方 (1) まずは，扱いにくい絶対値記号を外す．の正負で場合分けを行えばよい．絶対値を外せば，方程式は1次方程式になる．方程式のまま解析しても良いが，「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいて軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した． (2) 整数問題

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方針の立て方
(1)
まずは，扱いにくい絶対値記号を外す． $x-1$ の正負で場合分けを行えばよい．
絶対値を外せば，方程式は1次方程式になる．方程式のまま解析しても良いが，「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいて $x$ 軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した．

(2)
整数問題の典型問題である．素数の累乗のため約数に持ち込む(積の形に持ち込む)と都合が良いと考え因数分解を行う．

(3)
「 $P\left(x\right)$ が整式である」という情報をどう盛り込むかを考える．できることなら $P\left(x\right)$ を具体的に書き下したいが，その際に次数が分かっていないのがネックになるため，まずは次数を求めることに専念する．次数が求まれば，後は具体的に $P\left(x\right)$ を書き下して，計算するのみ．

(4)
このような抽象的な関数の問題では，数式の意味を考えると良い．例えば $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ は「引数の符号を反転させると，関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える．すると， $1-x$ の符号を反転させれば， $f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)$ は引数 $x$ の係数の符号が揃い， $f\left(x+m\right)=f\left(x\right)$ に近づくと考える．
次に $f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)$ は「引数が2上下すると，関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える．すると「引数が4上下すると，関数値の符号は同じになる(2回反転して元に戻る)」と分かり，答えにたどり着く．解答では，この当たりを厳密に数式で処理しているが，本番では途中経過を求められないで，このような定性的な議論で十分だろう．

解答例
(1)ア： $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$
(2)イ： $\left(17,2,6\right)$
(3)ウ： $3x$
(4)エ： $4$

解説
(1)
$x\geqq1$ のとき
方程式は，
$\left(1-a\right)x+k^2+ak-3=0$
となる．ここで， $f_1\left(x\right)=\left(1-a\right)x+k^2+ak-3$ とおく．
$x<1$ のとき
方程式は，
$\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1=0$
となる．ここで， $f_2\left(x\right)=\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1$ とおく．
さらに，
$g\left(x\right)=\begin{cases} f_1\left(x\right)\ \left(x\geqq1\right) \\ f_2\left(x\right)\ \left(x<1\right) \end{cases}$
とおく．ここで， $g\left(x\right)$ は $x=1$ で連続であることに注意．
(Ⅰ) $\begin{cases} 0<1-a \\ 0<-1-a \end{cases}\Leftrightarrow a<-1$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ も $y=f_2\left(x\right)$ も傾き正の一次関数であるから， $g\left(x\right)$ は $-\infty$ から $+\infty$ の値を取り得る．よって， $k$ の値によらず $g\left(x\right)=0$ となる $x$ は存在する．
(Ⅱ) $\begin{cases} 0>1-a \\ 0>-1-a \end{cases}\Leftrightarrow 1<a$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ も $y=f_2\left(x\right)$ も傾き負の一次関数であるから， $g\left(x\right)$ は $-\infty$ から $+\infty$ の値を取り得る．よって， $k$ の値によらず $g\left(x\right)=0$ となる $x$ は存在する．
(Ⅲ) $\begin{cases} 0\leqq1-a \\ 0\geqq-1-a \end{cases}\Leftrightarrow-1\leqq a\leqq1$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ は傾き0以上の一次関数で，関数 $y=f_2\left(x\right)$ は傾き0以下の一次関数である．よって， $g\left(x\right)$ の最小値は $x=1$ のときで $g\left(1\right)=k^2+ak-2-a$ である．なお最大値は存在しない．
よって $a$ の値に依らず解が存在するには全ての $a$ に対して $g\left(1\right)\leqq0$ であれば必要十分．
$g\left(1\right)\leqq0\Leftrightarrow k^2+ak-2-a\leqq0\Leftrightarrow\left(k-1\right)a+k^2-2\leqq0$ ……(＊)
$-1\leqq a\leqq1$ に気を付けると，

となるから，(＊)の条件式は，

となる．よって求める最大値は $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ ……(答)

(2)
$225=3^2\cdot5^2={15}^2$ より，
$a^2=b^n+225\Leftrightarrow\left(a-15\right)\left(a+15\right)=b^n$
となる．この式より， $a-15$ と $a+15$ は $b^n$ の約数となることが分かる．また， $b$ は素数であることから， $b^n$ の約数は $1,b,b^2,\cdots\cdots,b^n$ である．よって，
$\begin{cases} a-15=b^k \\ a+15=b^{n-k} \end{cases}$
と書ける．ここで， $k$ は0以上の整数であり， $a-15<a+15$ より $k<n-k\Leftrightarrow2k<n$ を満たす．
両辺の差を取ると，
$30=b^{n-k}-b^k=b^k\left(b^{n-2k}-1\right)$
となる．この式より， $b^k$ と $b^{n-2k}-1$ は30の約数となることが分かるが， $b$ が素数であることを加味すれば， $b^k$ と $b^{n-2k}-1$ の考えられる組み合わせは
$\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(1,30\right),\left(2,15\right),\left(3,10\right),\left(5,6\right)$
の4つ．この内，整合性が取れるのは， $\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(2,15\right)$ のみであり，解くと，
$\left(b,k,n\right)=\left(2,1,6\right)$
となる．これを $a-15=b^k$ に代入すれば， $a=17$ と分かる．
$\therefore\left(a,b,n\right)=\left(17,2,6\right)$ ……(答)

(3)
$P\left(x\right)$ を $n$ 次の多項式( $n$ は自然数)とすると，(左辺) $=\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt$ は $nm+1$ 次の多項式となる．
一方で，(右辺) $=P\left(x^3\right)-P\left(0\right)$ は $3n$ の多項式である．
左辺と右辺の次数は等しいため，
$nm+1=3n\Leftrightarrow n=\frac{1}{3-m}$
となる． $n$ が自然数であるため $\frac{1}{3-m}$ も自然数であり， $m=2$ であれば必要十分．また，そのとき $n=1$ である．
よって， $P\left(x\right)$ は1次多項式であるから，0でない実数 $a$ と実数 $b$ を用いて，
$P\left(x\right)=ax+b$
と表せる．
$\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt=\int_{0}^{x}\left\{at+b\right\}^2dt=\left[\frac{1}{3}a^2t^3+abt^2+b^2t\right]_0^x=\frac{1}{3}a^2x^3+abx^2+b^2x P\left(x^3\right)-P\left(0\right)=\left(ax^3+b\right)-b=ax^3$
より，両辺の係数比較をすると， $a\neq0$ に注意して，
$\begin{cases} \frac{1}{3}a^2=a \\ ab=0 \\ b^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \\ b=0 \end{cases}$
$\therefore P\left(x\right)=3x$

(4)
$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ で， $x$ に $1-x$ を代入すると，
$f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)$
が言える．
$\therefore f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)$ ……(＊)
更に，(＊)で $x$ に $x-2$ を代入すると，
$f\left(x-1\right)=-f\left(x-3\right)$
となるから，(＊)の右辺に代入すると
$f\left(x+1\right)=f\left(x-3\right)$
さらに，この式で $x$ に $x+3$ を代入すると，
$f\left(x+4\right)=f\left(x\right)$
となる．よって，求める $m$ の最小値は4……(答)