偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

  • 資料請求
  • カウンセリング
早稲田商学2018

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問1

方針の立て方
(1)
まずは,扱いにくい絶対値記号を外す.x-1の正負で場合分けを行えばよい.
絶対値を外せば,方程式は1次方程式になる.方程式のまま解析しても良いが,「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいてx軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した.

(2)
整数問題の典型問題である.素数の累乗のため約数に持ち込む(積の形に持ち込む)と都合が良いと考え因数分解を行う.

(3)
P\left(x\right)が整式である」という情報をどう盛り込むかを考える.できることならP\left(x\right)を具体的に書き下したいが,その際に次数が分かっていないのがネックになるため,まずは次数を求めることに専念する.次数が求まれば,後は具体的にP\left(x\right)を書き下して,計算するのみ.

(4)
このような抽象的な関数の問題では,数式の意味を考えると良い.例えばf\left(-x\right)=-f\left(x\right)は「引数の符号を反転させると,関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える.すると,1-xの符号を反転させれば,f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)は引数xの係数の符号が揃い,f\left(x+m\right)=f\left(x\right)に近づくと考える.
次にf\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)は「引数が2上下すると,関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える.すると「引数が4上下すると,関数値の符号は同じになる(2回反転して元に戻る)」と分かり,答えにたどり着く.解答では,この当たりを厳密に数式で処理しているが,本番では途中経過を求められないで,このような定性的な議論で十分だろう.

解答例
(1)ア:\frac{-1+\sqrt{13}}{2}
(2)イ:\left(17,2,6\right)
(3)ウ:3x
(4)エ:4

解説
(1)
x\geqq1のとき
方程式は,
\left(1-a\right)x+k^2+ak-3=0
となる.ここで,f_1\left(x\right)=\left(1-a\right)x+k^2+ak-3とおく.
x<1のとき
方程式は,
\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1=0
となる.ここで,f_2\left(x\right)=\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1とおく.
さらに,
g\left(x\right)=\begin{cases} f_1\left(x\right)\ \left(x\geqq1\right) \\ f_2\left(x\right)\ \left(x<1\right) \end{cases}
とおく.ここで,g\left(x\right)x=1で連続であることに注意.
(Ⅰ)\begin{cases} 0<1-a \\ 0<-1-a \end{cases}\Leftrightarrow a<-1のとき
関数y=f_1\left(x\right)y=f_2\left(x\right)も傾き正の一次関数であるから,g\left(x\right)-\inftyから+\inftyの値を取り得る.よって,kの値によらずg\left(x\right)=0となるxは存在する.
(Ⅱ)\begin{cases} 0>1-a \\ 0>-1-a \end{cases}\Leftrightarrow 1<aのとき
関数y=f_1\left(x\right)y=f_2\left(x\right)も傾き負の一次関数であるから,g\left(x\right)-\inftyから+\inftyの値を取り得る.よって,kの値によらずg\left(x\right)=0となるxは存在する.
(Ⅲ)\begin{cases} 0\leqq1-a \\ 0\geqq-1-a \end{cases}\Leftrightarrow-1\leqq a\leqq1のとき
関数y=f_1\left(x\right)は傾き0以上の一次関数で,関数y=f_2\left(x\right)は傾き0以下の一次関数である.よって,g\left(x\right)の最小値はx=1のときでg\left(1\right)=k^2+ak-2-aである.なお最大値は存在しない.
よってaの値に依らず解が存在するには全てのaに対してg\left(1\right)\leqq0であれば必要十分.
g\left(1\right)\leqq0\Leftrightarrow k^2+ak-2-a\leqq0\Leftrightarrow\left(k-1\right)a+k^2-2\leqq0……(*)
-1\leqq a\leqq1に気を付けると,

となるから,(*)の条件式は,

となる.よって求める最大値は\frac{-1+\sqrt{13}}{2}……(答)

(2)
225=3^2\cdot5^2={15}^2より,
a^2=b^n+225\Leftrightarrow\left(a-15\right)\left(a+15\right)=b^n
となる.この式より,a-15a+15b^nの約数となることが分かる.また,bは素数であることから,b^nの約数は1,b,b^2,\cdots\cdots,b^nである.よって,
\begin{cases} a-15=b^k \\ a+15=b^{n-k} \end{cases}
と書ける.ここで,kは0以上の整数であり,a-15<a+15よりk<n-k\Leftrightarrow2k<nを満たす.
両辺の差を取ると,
30=b^{n-k}-b^k=b^k\left(b^{n-2k}-1\right)
となる.この式より,b^kb^{n-2k}-1は30の約数となることが分かるが,bが素数であることを加味すれば,b^kb^{n-2k}-1の考えられる組み合わせは
\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(1,30\right),\left(2,15\right),\left(3,10\right),\left(5,6\right)
の4つ.この内,整合性が取れるのは,\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(2,15\right)のみであり,解くと,
\left(b,k,n\right)=\left(2,1,6\right)
となる.これをa-15=b^kに代入すれば,a=17と分かる.
\therefore\left(a,b,n\right)=\left(17,2,6\right)……(答)

(3)
P\left(x\right)n次の多項式(nは自然数)とすると,(左辺)=\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdtnm+1次の多項式となる.
一方で,(右辺)=P\left(x^3\right)-P\left(0\right)3nの多項式である.
左辺と右辺の次数は等しいため,
nm+1=3n\Leftrightarrow n=\frac{1}{3-m}
となる.nが自然数であるため\frac{1}{3-m}も自然数であり,m=2であれば必要十分.また,そのときn=1である.
よって,P\left(x\right)は1次多項式であるから,0でない実数aと実数bを用いて,
P\left(x\right)=ax+b
と表せる.
\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt=\int_{0}^{x}\left\{at+b\right\}^2dt=\left[\frac{1}{3}a^2t^3+abt^2+b^2t\right]_0^x=\frac{1}{3}a^2x^3+abx^2+b^2x P\left(x^3\right)-P\left(0\right)=\left(ax^3+b\right)-b=ax^3
より,両辺の係数比較をすると,a\neq0に注意して,
\begin{cases} \frac{1}{3}a^2=a \\ ab=0 \\ b^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \\ b=0 \end{cases}
\therefore P\left(x\right)=3x

(4)
f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)で,x1-xを代入すると,
f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)
が言える.
\therefore f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)……(*)
更に,(*)でxx-2を代入すると,
f\left(x-1\right)=-f\left(x-3\right)
となるから,(*)の右辺に代入すると
f\left(x+1\right)=f\left(x-3\right)
さらに,この式でxx+3を代入すると,
f\left(x+4\right)=f\left(x\right)
となる.よって,求めるmの最小値は4……(答)

nyujukufree

【無料プレゼント】LINE友だち追加で5大特典プレゼント

LINE公式に登録することで素敵なプレゼントをお渡しします。

Published by

早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。