偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田商学2018

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問1

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(1)
まずは,扱いにくい絶対値記号を外す.x-1の正負で場合分けを行えばよい.
絶対値を外せば,方程式は1次方程式になる.方程式のまま解析しても良いが,「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいてx軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した.

(2)
整数問題の典型問題である.素数の累乗のため約数に持ち込む(積の形に持ち込む)と都合が良いと考え因数分解を行う.

(3)
P\left(x\right)が整式である」という情報をどう盛り込むかを考える.できることならP\left(x\right)を具体的に書き下したいが,その際に次数が分かっていないのがネックになるため,まずは次数を求めることに専念する.次数が求まれば,後は具体的にP\left(x\right)を書き下して,計算するのみ.

(4)
このような抽象的な関数の問題では,数式の意味を考えると良い.例えばf\left(-x\right)=-f\left(x\right)は「引数の符号を反転させると,関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える.すると,1-xの符号を反転させれば,f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)は引数xの係数の符号が揃い,f\left(x+m\right)=f\left(x\right)に近づくと考える.
次にf\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)は「引数が2上下すると,関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える.すると「引数が4上下すると,関数値の符号は同じになる(2回反転して元に戻る)」と分かり,答えにたどり着く.解答では,この当たりを厳密に数式で処理しているが,本番では途中経過を求められないで,このような定性的な議論で十分だろう.

解答例
(1)ア:\frac{-1+\sqrt{13}}{2}
(2)イ:\left(17,2,6\right)
(3)ウ:3x
(4)エ:4

解説
(1)
x\geqq1のとき
方程式は,
\left(1-a\right)x+k^2+ak-3=0
となる.ここで,f_1\left(x\right)=\left(1-a\right)x+k^2+ak-3とおく.
x<1のとき
方程式は,
\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1=0
となる.ここで,f_2\left(x\right)=\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1とおく.
さらに,
g\left(x\right)=\begin{cases} f_1\left(x\right)\ \left(x\geqq1\right) \\ f_2\left(x\right)\ \left(x<1\right) \end{cases}
とおく.ここで,g\left(x\right)x=1で連続であることに注意.
(Ⅰ)\begin{cases} 0<1-a \\ 0<-1-a \end{cases}\Leftrightarrow a<-1のとき
関数y=f_1\left(x\right)y=f_2\left(x\right)も傾き正の一次関数であるから,g\left(x\right)-\inftyから+\inftyの値を取り得る.よって,kの値によらずg\left(x\right)=0となるxは存在する.
(Ⅱ)\begin{cases} 0>1-a \\ 0>-1-a \end{cases}\Leftrightarrow 1<aのとき
関数y=f_1\left(x\right)y=f_2\left(x\right)も傾き負の一次関数であるから,g\left(x\right)-\inftyから+\inftyの値を取り得る.よって,kの値によらずg\left(x\right)=0となるxは存在する.
(Ⅲ)\begin{cases} 0\leqq1-a \\ 0\geqq-1-a \end{cases}\Leftrightarrow-1\leqq a\leqq1のとき
関数y=f_1\left(x\right)は傾き0以上の一次関数で,関数y=f_2\left(x\right)は傾き0以下の一次関数である.よって,g\left(x\right)の最小値はx=1のときでg\left(1\right)=k^2+ak-2-aである.なお最大値は存在しない.
よってaの値に依らず解が存在するには全てのaに対してg\left(1\right)\leqq0であれば必要十分.
g\left(1\right)\leqq0\Leftrightarrow k^2+ak-2-a\leqq0\Leftrightarrow\left(k-1\right)a+k^2-2\leqq0……(*)
-1\leqq a\leqq1に気を付けると,

となるから,(*)の条件式は,

となる.よって求める最大値は\frac{-1+\sqrt{13}}{2}……(答)

(2)
225=3^2\cdot5^2={15}^2より,
a^2=b^n+225\Leftrightarrow\left(a-15\right)\left(a+15\right)=b^n
となる.この式より,a-15a+15b^nの約数となることが分かる.また,bは素数であることから,b^nの約数は1,b,b^2,\cdots\cdots,b^nである.よって,
\begin{cases} a-15=b^k \\ a+15=b^{n-k} \end{cases}
と書ける.ここで,kは0以上の整数であり,a-15<a+15よりk<n-k\Leftrightarrow2k<nを満たす.
両辺の差を取ると,
30=b^{n-k}-b^k=b^k\left(b^{n-2k}-1\right)
となる.この式より,b^kb^{n-2k}-1は30の約数となることが分かるが,bが素数であることを加味すれば,b^kb^{n-2k}-1の考えられる組み合わせは
\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(1,30\right),\left(2,15\right),\left(3,10\right),\left(5,6\right)
の4つ.この内,整合性が取れるのは,\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(2,15\right)のみであり,解くと,
\left(b,k,n\right)=\left(2,1,6\right)
となる.これをa-15=b^kに代入すれば,a=17と分かる.
\therefore\left(a,b,n\right)=\left(17,2,6\right)……(答)

(3)
P\left(x\right)n次の多項式(nは自然数)とすると,(左辺)=\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdtnm+1次の多項式となる.
一方で,(右辺)=P\left(x^3\right)-P\left(0\right)3nの多項式である.
左辺と右辺の次数は等しいため,
nm+1=3n\Leftrightarrow n=\frac{1}{3-m}
となる.nが自然数であるため\frac{1}{3-m}も自然数であり,m=2であれば必要十分.また,そのときn=1である.
よって,P\left(x\right)は1次多項式であるから,0でない実数aと実数bを用いて,
P\left(x\right)=ax+b
と表せる.
\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt=\int_{0}^{x}\left\{at+b\right\}^2dt=\left[\frac{1}{3}a^2t^3+abt^2+b^2t\right]_0^x=\frac{1}{3}a^2x^3+abx^2+b^2x P\left(x^3\right)-P\left(0\right)=\left(ax^3+b\right)-b=ax^3
より,両辺の係数比較をすると,a\neq0に注意して,
\begin{cases} \frac{1}{3}a^2=a \\ ab=0 \\ b^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \\ b=0 \end{cases}
\therefore P\left(x\right)=3x

(4)
f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)で,x1-xを代入すると,
f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)
が言える.
\therefore f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)……(*)
更に,(*)でxx-2を代入すると,
f\left(x-1\right)=-f\left(x-3\right)
となるから,(*)の右辺に代入すると
f\left(x+1\right)=f\left(x-3\right)
さらに,この式でxx+3を代入すると,
f\left(x+4\right)=f\left(x\right)
となる.よって,求めるmの最小値は4……(答)

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