偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田商学2018

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(1)
試しにa_1\left(\frac{i}{12}\right),a_2\left(\frac{i}{12}\right),a_3\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdotsを書き下すと解答が得られる.このときに分母を2で割った値が大事になることや,分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう.

(2)
前問の議論を一般化して考える.前問の議論で,分母が偶数であるときには,その分母の数字を2で割った値が大事になり,分母が奇数になったときに議論が終了することから,xに素因数2が何個含まれているかがカギになると見抜きたい.後は前問のように場合分けして考えていくことを考えれば,解答が得られる.

解答例
(1)
i=1,2,\cdots\cdots,11として,
a_1\left(\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{12}\neq0


ここで,a_4\left(\frac{i}{12}\right)について考えると,

となる.ここで,\frac{2i}{3},\frac{2\left(i-3\right)}{3},\frac{2\left(i-6\right)}{3},\frac{2\left(i-9\right)}{3}は全て整数とはならない.一方で\left[\frac{2i}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]は全て整数である.よって,\frac{2i}{3}-\left[\frac{2i}{3}\right],\frac{2\left(i-3\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-6\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-9\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]は全て0とはならない.
同様に,a_5\left(\frac{i}{12}\right),a_6\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdotsでもi=1,2,4,5,7,8,10,11のときは0とはならない.
よって,i=3,6,9のみが(*)を満たす.
\therefore S_{12}=\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right\}……(答)

(2)
前問の議論を応用すれば,xが有理数で分母が偶数(ある自然数mを用いて2mと表す)であるときa_2\left(x\right)i=mで0となる.その後はi=1,2,\cdots\cdots,m-1i=m+1,m+2,\cdots\cdots,n-1で場合分けして同様の議論が繰り返せる.この議論は,a_k\left(x\right)の分母が奇数となるまで続く.
よって,xが有理数で分母を素因数分解したときに2^l(lは0以上の整数)を含む場合,a_2\left(x\right)=0となるiは1個あり,a_3\left(x\right)=0となるiは(a_2\left(x\right)=0となるiを除くと)2個あり,a_4\left(x\right)=0となるiは(a_3\left(x\right)=0となるiを除くと)4個あり,……,a_{l+1}\left(x\right)=0となるiは(a_l\left(x\right)=0となるiを除くと)2^{l-1}個ある.なお,a_{l+2}\left(x\right)=0となるia_{l+1}\left(x\right)=0となるiを除くと存在しない.
よって,(*)を満たすi\sum_{k=0}^{k=l-1}2^k=2^l-1個存在する.
そして(*)を満たす有理数は,\frac{i}{2^l}(i=1,2,\cdots\cdots,2^l-1)である.
よって,Tの要素の個数は,1から2018の中で素因数に2を最も多く含むもののを考え,その数の素因数2の個数をm個とすれば,2^m-1個である.
2^m\leqq2018を満たす最大のmm=10である.
よって求める個数は,
2^{10}-1=1023個……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。