偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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早稲田商学2018

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方
(1)
実際に\mathrm{A}_nを求めていくことで解答を得られる.

(2)
前問での議論で,\mathrm{A}_nには周期性があることが分かる.更に,大事なのは\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{O}\mathrm{A}_2のなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には,他の具体的な組み合わせで考えてみると良い).そこで,\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{O}\mathrm{A}_2のなす角で場合分けをして議論していけば良いと判断する.

解答例
(1)

(ⅰ)と(ⅱ)に従って\mathrm{A}_nを求めていくと,上図のようになる.
上図より\mathrm{A}_{15}=\mathrm{P}_3であるから,求めるkk=3……(答)

(2)
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_kとして,前問の議論(\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)のとき)をまとめると,下表のようになる.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 \cdots
k 1 2 9 4 5 3 7 8 6 1 2 9 4 5 3 \cdots

これより,kの値は1,2,9,4,5,3,7,8,6という周期9の並びを繰り返すことが分かる.
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在するため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)は題意を満たさない.
以下,\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_i,\mathrm{P}_j\right)として,i<jのみを考える.更に\mathrm{O}\mathrm{P}_i\mathrm{O}\mathrm{P}_jのなす角の内,小さい方を\theta_{ij}と表す.
(Ⅰ)\theta_{ij}=\frac{2\pi}{9}となるi,jのとき
実際に\mathrm{A}_nを求めていくと,\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)のときのようにkの値は周期9の並びを繰り返し,kは1から9の全ての値をとる.よって,題意を満たさない.
(Ⅱ)\theta_{ij}=\frac{4\pi}{9}となるi,jのとき
実際に\mathrm{A}_nを求めていく.例えば\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)の場合,

上図のようになる.
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_kとしてまとめると,下表のようになる.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 \cdots
k 1 3 8 7 9 5 4 6 2 1 3 8 \cdots

これより,kの値は1,3,8,7,9,5,4,6,2という周期9の並びを繰り返すことが分かる.
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在するため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)は題意を満たさない.また,他のi,jについても同様に題意を満たさない.
(Ⅲ)\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}となるi,jのとき
実際に\mathrm{A}_nを求めていく.例えば\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)の場合,

上図のようになる.
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_kとしてまとめると,下表のようになる.

n 1 2 3 4 5 6 \cdots
k 1 4 7 1 4 7 \cdots

これより,kの値は1,4,7という周期3の並びを繰り返すことが分かる.
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在しないため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)は題意を満たす.また,他のi,jについても同様に題意を満たす.
\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}となるi,jの組み合わせは\left(i,j\right)=\left(2,5\right),\left(2,8\right),\left(3,6\right),\left(3,9\right),\left(5,8\right),\left(6,9\right)であり,これら6組は題意を満たす.
(Ⅳ)\theta_{ij}=\frac{8\pi}{9}となるi,jのとき
実際に\mathrm{A}_nを求めていく.例えば\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)の場合,

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 \cdots
k 1 5 9 4 8 3 7 2 6 1 5 9 \cdots

これより,kの値は1,5,9,4,8,3,7,2,6という周期9の並びを繰り返すことが分かる.
\mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在するため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)は題意を満たさない.また,他のi,jについても同様に題意を満たさない.
以上,(Ⅰ)~(Ⅳ)より,題意を満たすi,jの組み合わせはi>jの範囲でも題意を満たすi,jの組み合わせは6組あるので,求める個数は6+6=12個……(答)

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偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。