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2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問3

2019.09.24

方針の立て方 (1) 実際にを求めていくことで解答を得られる. (2) 前問での議論で,には周期性があることが分かる.更に,大事なのはとのなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には,他の具体的な組み合わせで考えてみると良い).そこで,とのなす角で場合分けをして議論

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  • 方針の立て方
    (1)
    実際に\mathrm{A}_nを求めていくことで解答を得られる.

    (2)
    前問での議論で,\mathrm{A}_nには周期性があることが分かる.更に,大事なのは\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{O}\mathrm{A}_2のなす角であることも分かるだろう(もし前問の議論だけでは方針を得られない場合には,他の具体的な組み合わせで考えてみると良い).そこで,\mathrm{O}\mathrm{A}_1\mathrm{O}\mathrm{A}_2のなす角で場合分けをして議論していけば良いと判断する.

    解答例
    (1)

    (ⅰ)と(ⅱ)に従って\mathrm{A}_nを求めていくと,上図のようになる.
    上図より\mathrm{A}_{15}=\mathrm{P}_3であるから,求めるkk=3……(答)

    (2)
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_kとして,前問の議論(\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)のとき)をまとめると,下表のようになる.

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 \cdots
    k 1 2 9 4 5 3 7 8 6 1 2 9 4 5 3 \cdots

    これより,kの値は1,2,9,4,5,3,7,8,6という周期9の並びを繰り返すことが分かる.
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在するため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)は題意を満たさない.
    以下,\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_i,\mathrm{P}_j\right)として,i<jのみを考える.更に\mathrm{O}\mathrm{P}_i\mathrm{O}\mathrm{P}_jのなす角の内,小さい方を\theta_{ij}と表す.
    (Ⅰ)\theta_{ij}=\frac{2\pi}{9}となるi,jのとき
    実際に\mathrm{A}_nを求めていくと,\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2\right)のときのようにkの値は周期9の並びを繰り返し,kは1から9の全ての値をとる.よって,題意を満たさない.
    (Ⅱ)\theta_{ij}=\frac{4\pi}{9}となるi,jのとき
    実際に\mathrm{A}_nを求めていく.例えば\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)の場合,

    上図のようになる.
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_kとしてまとめると,下表のようになる.

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 \cdots
    k 1 3 8 7 9 5 4 6 2 1 3 8 \cdots

    これより,kの値は1,3,8,7,9,5,4,6,2という周期9の並びを繰り返すことが分かる.
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在するため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_3\right)は題意を満たさない.また,他のi,jについても同様に題意を満たさない.
    (Ⅲ)\theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}となるi,jのとき
    実際に\mathrm{A}_nを求めていく.例えば\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)の場合,

    上図のようになる.
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_kとしてまとめると,下表のようになる.

    n 1 2 3 4 5 6 \cdots
    k 1 4 7 1 4 7 \cdots

    これより,kの値は1,4,7という周期3の並びを繰り返すことが分かる.
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在しないため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_4\right)は題意を満たす.また,他のi,jについても同様に題意を満たす.
    \theta_{ij}=\frac{6\pi}{9}となるi,jの組み合わせは\left(i,j\right)=\left(2,5\right),\left(2,8\right),\left(3,6\right),\left(3,9\right),\left(5,8\right),\left(6,9\right)であり,これら6組は題意を満たす.
    (Ⅳ)\theta_{ij}=\frac{8\pi}{9}となるi,jのとき
    実際に\mathrm{A}_nを求めていく.例えば\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)の場合,

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 \cdots
    k 1 5 9 4 8 3 7 2 6 1 5 9 \cdots

    これより,kの値は1,5,9,4,8,3,7,2,6という周期9の並びを繰り返すことが分かる.
    \mathrm{A}_n=\mathrm{P}_1となるnが存在するため\left(\mathrm{A}_1,\mathrm{A}_2\right)=\left(\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_5\right)は題意を満たさない.また,他のi,jについても同様に題意を満たさない.
    以上,(Ⅰ)~(Ⅳ)より,題意を満たすi,jの組み合わせはi>jの範囲でも題意を満たすi,jの組み合わせは6組あるので,求める個数は6+6=12個……(答)

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問2

2019.09.24

方針の立て方 (1) 試しにを書き下すと解答が得られる.このときに分母を2で割った値が大事になることや,分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう. (2) 前問の議論を一般化して考える.前問の議論で,分母が偶数であるときには,その分母の数字を2で割った値が大事になり,分母が奇

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  • 方針の立て方
    (1)
    試しにa_1\left(\frac{i}{12}\right),a_2\left(\frac{i}{12}\right),a_3\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdotsを書き下すと解答が得られる.このときに分母を2で割った値が大事になることや,分母が奇数のときにはもう議論を続ける必要がないことが分かるだろう.

    (2)
    前問の議論を一般化して考える.前問の議論で,分母が偶数であるときには,その分母の数字を2で割った値が大事になり,分母が奇数になったときに議論が終了することから,xに素因数2が何個含まれているかがカギになると見抜きたい.後は前問のように場合分けして考えていくことを考えれば,解答が得られる.

    解答例
    (1)
    i=1,2,\cdots\cdots,11として,
    a_1\left(\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{12}\neq0


    ここで,a_4\left(\frac{i}{12}\right)について考えると,

    となる.ここで,\frac{2i}{3},\frac{2\left(i-3\right)}{3},\frac{2\left(i-6\right)}{3},\frac{2\left(i-9\right)}{3}は全て整数とはならない.一方で\left[\frac{2i}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]は全て整数である.よって,\frac{2i}{3}-\left[\frac{2i}{3}\right],\frac{2\left(i-3\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-3\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-6\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-6\right)}{3}\right],\frac{2\left(i-9\right)}{3}-\left[\frac{2\left(i-9\right)}{3}\right]は全て0とはならない.
    同様に,a_5\left(\frac{i}{12}\right),a_6\left(\frac{i}{12}\right),\cdots\cdotsでもi=1,2,4,5,7,8,10,11のときは0とはならない.
    よって,i=3,6,9のみが(*)を満たす.
    \therefore S_{12}=\left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right\}……(答)

    (2)
    前問の議論を応用すれば,xが有理数で分母が偶数(ある自然数mを用いて2mと表す)であるときa_2\left(x\right)i=mで0となる.その後はi=1,2,\cdots\cdots,m-1i=m+1,m+2,\cdots\cdots,n-1で場合分けして同様の議論が繰り返せる.この議論は,a_k\left(x\right)の分母が奇数となるまで続く.
    よって,xが有理数で分母を素因数分解したときに2^l(lは0以上の整数)を含む場合,a_2\left(x\right)=0となるiは1個あり,a_3\left(x\right)=0となるiは(a_2\left(x\right)=0となるiを除くと)2個あり,a_4\left(x\right)=0となるiは(a_3\left(x\right)=0となるiを除くと)4個あり,……,a_{l+1}\left(x\right)=0となるiは(a_l\left(x\right)=0となるiを除くと)2^{l-1}個ある.なお,a_{l+2}\left(x\right)=0となるia_{l+1}\left(x\right)=0となるiを除くと存在しない.
    よって,(*)を満たすi\sum_{k=0}^{k=l-1}2^k=2^l-1個存在する.
    そして(*)を満たす有理数は,\frac{i}{2^l}(i=1,2,\cdots\cdots,2^l-1)である.
    よって,Tの要素の個数は,1から2018の中で素因数に2を最も多く含むもののを考え,その数の素因数2の個数をm個とすれば,2^m-1個である.
    2^m\leqq2018を満たす最大のmm=10である.
    よって求める個数は,
    2^{10}-1=1023個……(答)

2018年早稲田大学商学部|過去問徹底研究 大問1

2019.09.24

方針の立て方 (1) まずは,扱いにくい絶対値記号を外す.の正負で場合分けを行えばよい. 絶対値を外せば,方程式は1次方程式になる.方程式のまま解析しても良いが,「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいて軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した. (2) 整数問題

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  • 方針の立て方
    (1)
    まずは,扱いにくい絶対値記号を外す.x-1の正負で場合分けを行えばよい.
    絶対値を外せば,方程式は1次方程式になる.方程式のまま解析しても良いが,「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいてx軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した.

    (2)
    整数問題の典型問題である.素数の累乗のため約数に持ち込む(積の形に持ち込む)と都合が良いと考え因数分解を行う.

    (3)
    P\left(x\right)が整式である」という情報をどう盛り込むかを考える.できることならP\left(x\right)を具体的に書き下したいが,その際に次数が分かっていないのがネックになるため,まずは次数を求めることに専念する.次数が求まれば,後は具体的にP\left(x\right)を書き下して,計算するのみ.

    (4)
    このような抽象的な関数の問題では,数式の意味を考えると良い.例えばf\left(-x\right)=-f\left(x\right)は「引数の符号を反転させると,関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える.すると,1-xの符号を反転させれば,f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)は引数xの係数の符号が揃い,f\left(x+m\right)=f\left(x\right)に近づくと考える.
    次にf\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)は「引数が2上下すると,関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える.すると「引数が4上下すると,関数値の符号は同じになる(2回反転して元に戻る)」と分かり,答えにたどり着く.解答では,この当たりを厳密に数式で処理しているが,本番では途中経過を求められないで,このような定性的な議論で十分だろう.

    解答例
    (1)ア:\frac{-1+\sqrt{13}}{2}
    (2)イ:\left(17,2,6\right)
    (3)ウ:3x
    (4)エ:4

    解説
    (1)
    x\geqq1のとき
    方程式は,
    \left(1-a\right)x+k^2+ak-3=0
    となる.ここで,f_1\left(x\right)=\left(1-a\right)x+k^2+ak-3とおく.
    x<1のとき
    方程式は,
    \left(-1-a\right)x+k^2+ak-1=0
    となる.ここで,f_2\left(x\right)=\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1とおく.
    さらに,
    g\left(x\right)=\begin{cases} f_1\left(x\right)\ \left(x\geqq1\right) \\ f_2\left(x\right)\ \left(x<1\right) \end{cases}
    とおく.ここで,g\left(x\right)x=1で連続であることに注意.
    (Ⅰ)\begin{cases} 0<1-a \\ 0<-1-a \end{cases}\Leftrightarrow a<-1のとき
    関数y=f_1\left(x\right)y=f_2\left(x\right)も傾き正の一次関数であるから,g\left(x\right)-\inftyから+\inftyの値を取り得る.よって,kの値によらずg\left(x\right)=0となるxは存在する.
    (Ⅱ)\begin{cases} 0>1-a \\ 0>-1-a \end{cases}\Leftrightarrow 1<aのとき
    関数y=f_1\left(x\right)y=f_2\left(x\right)も傾き負の一次関数であるから,g\left(x\right)-\inftyから+\inftyの値を取り得る.よって,kの値によらずg\left(x\right)=0となるxは存在する.
    (Ⅲ)\begin{cases} 0\leqq1-a \\ 0\geqq-1-a \end{cases}\Leftrightarrow-1\leqq a\leqq1のとき
    関数y=f_1\left(x\right)は傾き0以上の一次関数で,関数y=f_2\left(x\right)は傾き0以下の一次関数である.よって,g\left(x\right)の最小値はx=1のときでg\left(1\right)=k^2+ak-2-aである.なお最大値は存在しない.
    よってaの値に依らず解が存在するには全てのaに対してg\left(1\right)\leqq0であれば必要十分.
    g\left(1\right)\leqq0\Leftrightarrow k^2+ak-2-a\leqq0\Leftrightarrow\left(k-1\right)a+k^2-2\leqq0……(*)
    -1\leqq a\leqq1に気を付けると,

    となるから,(*)の条件式は,

    となる.よって求める最大値は\frac{-1+\sqrt{13}}{2}……(答)

    (2)
    225=3^2\cdot5^2={15}^2より,
    a^2=b^n+225\Leftrightarrow\left(a-15\right)\left(a+15\right)=b^n
    となる.この式より,a-15a+15b^nの約数となることが分かる.また,bは素数であることから,b^nの約数は1,b,b^2,\cdots\cdots,b^nである.よって,
    \begin{cases} a-15=b^k \\ a+15=b^{n-k} \end{cases}
    と書ける.ここで,kは0以上の整数であり,a-15<a+15よりk<n-k\Leftrightarrow2k<nを満たす.
    両辺の差を取ると,
    30=b^{n-k}-b^k=b^k\left(b^{n-2k}-1\right)
    となる.この式より,b^kb^{n-2k}-1は30の約数となることが分かるが,bが素数であることを加味すれば,b^kb^{n-2k}-1の考えられる組み合わせは
    \left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(1,30\right),\left(2,15\right),\left(3,10\right),\left(5,6\right)
    の4つ.この内,整合性が取れるのは,\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(2,15\right)のみであり,解くと,
    \left(b,k,n\right)=\left(2,1,6\right)
    となる.これをa-15=b^kに代入すれば,a=17と分かる.
    \therefore\left(a,b,n\right)=\left(17,2,6\right)……(答)

    (3)
    P\left(x\right)n次の多項式(nは自然数)とすると,(左辺)=\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdtnm+1次の多項式となる.
    一方で,(右辺)=P\left(x^3\right)-P\left(0\right)3nの多項式である.
    左辺と右辺の次数は等しいため,
    nm+1=3n\Leftrightarrow n=\frac{1}{3-m}
    となる.nが自然数であるため\frac{1}{3-m}も自然数であり,m=2であれば必要十分.また,そのときn=1である.
    よって,P\left(x\right)は1次多項式であるから,0でない実数aと実数bを用いて,
    P\left(x\right)=ax+b
    と表せる.
    \int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt=\int_{0}^{x}\left\{at+b\right\}^2dt=\left[\frac{1}{3}a^2t^3+abt^2+b^2t\right]_0^x=\frac{1}{3}a^2x^3+abx^2+b^2x P\left(x^3\right)-P\left(0\right)=\left(ax^3+b\right)-b=ax^3
    より,両辺の係数比較をすると,a\neq0に注意して,
    \begin{cases} \frac{1}{3}a^2=a \\ ab=0 \\ b^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \\ b=0 \end{cases}
    \therefore P\left(x\right)=3x

    (4)
    f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)で,x1-xを代入すると,
    f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)
    が言える.
    \therefore f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)……(*)
    更に,(*)でxx-2を代入すると,
    f\left(x-1\right)=-f\left(x-3\right)
    となるから,(*)の右辺に代入すると
    f\left(x+1\right)=f\left(x-3\right)
    さらに,この式でxx+3を代入すると,
    f\left(x+4\right)=f\left(x\right)
    となる.よって,求めるmの最小値は4……(答)

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