方針の立て方
(1)
まずは，扱いにくい絶対値記号を外す． $x-1$ の正負で場合分けを行えばよい．
絶対値を外せば，方程式は1次方程式になる．方程式のまま解析しても良いが，「方程式の解に関する解析は方程式の左辺(0でない方)を関数でおいて $x$ 軸との交点で考える」という王道手段を本解では採用した．

(2)
整数問題の典型問題である．素数の累乗のため約数に持ち込む(積の形に持ち込む)と都合が良いと考え因数分解を行う．

(3)
「 $P\left(x\right)$ が整式である」という情報をどう盛り込むかを考える．できることなら $P\left(x\right)$ を具体的に書き下したいが，その際に次数が分かっていないのがネックになるため，まずは次数を求めることに専念する．次数が求まれば，後は具体的に $P\left(x\right)$ を書き下して，計算するのみ．

(4)
このような抽象的な関数の問題では，数式の意味を考えると良い．例えば $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ は「引数の符号を反転させると，関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える．すると， $1-x$ の符号を反転させれば， $f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)$ は引数 $x$ の係数の符号が揃い， $f\left(x+m\right)=f\left(x\right)$ に近づくと考える．
次に $f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)$ は「引数が2上下すると，関数値の符号が反転する」ことを意味していると考える．すると「引数が4上下すると，関数値の符号は同じになる(2回反転して元に戻る)」と分かり，答えにたどり着く．解答では，この当たりを厳密に数式で処理しているが，本番では途中経過を求められないで，このような定性的な議論で十分だろう．

解答例
(1)ア： $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$
(2)イ： $\left(17,2,6\right)$
(3)ウ： $3x$
(4)エ： $4$

解説
(1)
$x\geqq1$ のとき
方程式は，
$\left(1-a\right)x+k^2+ak-3=0$
となる．ここで， $f_1\left(x\right)=\left(1-a\right)x+k^2+ak-3$ とおく．
$x<1$ のとき
方程式は，
$\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1=0$
となる．ここで， $f_2\left(x\right)=\left(-1-a\right)x+k^2+ak-1$ とおく．
さらに，
$g\left(x\right)=\begin{cases} f_1\left(x\right)\ \left(x\geqq1\right) \\ f_2\left(x\right)\ \left(x<1\right) \end{cases}$
とおく．ここで， $g\left(x\right)$ は $x=1$ で連続であることに注意．
(Ⅰ) $\begin{cases} 0<1-a \\ 0<-1-a \end{cases}\Leftrightarrow a<-1$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ も $y=f_2\left(x\right)$ も傾き正の一次関数であるから， $g\left(x\right)$ は $-\infty$ から $+\infty$ の値を取り得る．よって， $k$ の値によらず $g\left(x\right)=0$ となる $x$ は存在する．
(Ⅱ) $\begin{cases} 0>1-a \\ 0>-1-a \end{cases}\Leftrightarrow 1<a$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ も $y=f_2\left(x\right)$ も傾き負の一次関数であるから， $g\left(x\right)$ は $-\infty$ から $+\infty$ の値を取り得る．よって， $k$ の値によらず $g\left(x\right)=0$ となる $x$ は存在する．
(Ⅲ) $\begin{cases} 0\leqq1-a \\ 0\geqq-1-a \end{cases}\Leftrightarrow-1\leqq a\leqq1$ のとき
関数 $y=f_1\left(x\right)$ は傾き0以上の一次関数で，関数 $y=f_2\left(x\right)$ は傾き0以下の一次関数である．よって， $g\left(x\right)$ の最小値は $x=1$ のときで $g\left(1\right)=k^2+ak-2-a$ である．なお最大値は存在しない．
よって $a$ の値に依らず解が存在するには全ての $a$ に対して $g\left(1\right)\leqq0$ であれば必要十分．
$g\left(1\right)\leqq0\Leftrightarrow k^2+ak-2-a\leqq0\Leftrightarrow\left(k-1\right)a+k^2-2\leqq0$ ……(＊)
$-1\leqq a\leqq1$ に気を付けると，

となるから，(＊)の条件式は，

となる．よって求める最大値は $\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$ ……(答)

(2)
$225=3^2\cdot5^2={15}^2$ より，
$a^2=b^n+225\Leftrightarrow\left(a-15\right)\left(a+15\right)=b^n$
となる．この式より， $a-15$ と $a+15$ は $b^n$ の約数となることが分かる．また， $b$ は素数であることから， $b^n$ の約数は $1,b,b^2,\cdots\cdots,b^n$ である．よって，
$\begin{cases} a-15=b^k \\ a+15=b^{n-k} \end{cases}$
と書ける．ここで， $k$ は0以上の整数であり， $a-15<a+15$ より $k<n-k\Leftrightarrow2k<n$ を満たす．
両辺の差を取ると，
$30=b^{n-k}-b^k=b^k\left(b^{n-2k}-1\right)$
となる．この式より， $b^k$ と $b^{n-2k}-1$ は30の約数となることが分かるが， $b$ が素数であることを加味すれば， $b^k$ と $b^{n-2k}-1$ の考えられる組み合わせは
$\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(1,30\right),\left(2,15\right),\left(3,10\right),\left(5,6\right)$
の4つ．この内，整合性が取れるのは， $\left(b^k,b^{n-2k}-1\right)=\left(2,15\right)$ のみであり，解くと，
$\left(b,k,n\right)=\left(2,1,6\right)$
となる．これを $a-15=b^k$ に代入すれば， $a=17$ と分かる．
$\therefore\left(a,b,n\right)=\left(17,2,6\right)$ ……(答)

(3)
$P\left(x\right)$ を $n$ 次の多項式( $n$ は自然数)とすると，(左辺) $=\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt$ は $nm+1$ 次の多項式となる．
一方で，(右辺) $=P\left(x^3\right)-P\left(0\right)$ は $3n$ の多項式である．
左辺と右辺の次数は等しいため，
$nm+1=3n\Leftrightarrow n=\frac{1}{3-m}$
となる． $n$ が自然数であるため $\frac{1}{3-m}$ も自然数であり， $m=2$ であれば必要十分．また，そのとき $n=1$ である．
よって， $P\left(x\right)$ は1次多項式であるから，0でない実数 $a$ と実数 $b$ を用いて，
$P\left(x\right)=ax+b$
と表せる．
$\int_{0}^{x}\left\{P\left(t\right)\right\}^mdt=\int_{0}^{x}\left\{at+b\right\}^2dt=\left[\frac{1}{3}a^2t^3+abt^2+b^2t\right]_0^x=\frac{1}{3}a^2x^3+abx^2+b^2x P\left(x^3\right)-P\left(0\right)=\left(ax^3+b\right)-b=ax^3$
より，両辺の係数比較をすると， $a\neq0$ に注意して，
$\begin{cases} \frac{1}{3}a^2=a \\ ab=0 \\ b^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \\ b=0 \end{cases}$
$\therefore P\left(x\right)=3x$

(4)
$f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ で， $x$ に $1-x$ を代入すると，
$f\left(1-x\right)=-f\left(x-1\right)$
が言える．
$\therefore f\left(1+x\right)=f\left(1-x\right)\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-f\left(x-1\right)$ ……(＊)
更に，(＊)で $x$ に $x-2$ を代入すると，
$f\left(x-1\right)=-f\left(x-3\right)$
となるから，(＊)の右辺に代入すると
$f\left(x+1\right)=f\left(x-3\right)$
さらに，この式で $x$ に $x+3$ を代入すると，
$f\left(x+4\right)=f\left(x\right)$
となる．よって，求める $m$ の最小値は4……(答)