方針の立て方

(1)
実数解の範囲についての問題であるから，解の配置問題の解法で解けばよい．

(2)
一先ずは素直に複素数の絶対値の定義に従って計算することを考え， $\alpha$ を求める．二次方程式の解は，公式を用いれば直接表現できるため， $\alpha$ が求まり後は絶対値を求めればよい．

解答例

(1)

上図斜線部．但し境界は $b=-\frac{1}{4}a^2$ の $-2<a<2$ の区間のみを含み，他は含まない．……(答)

(2) $\left|\alpha\right|=\sqrt{-b}$

(3)

上図斜線部．但し境界は含まない．……(答)

解説

(1)
$f\left(x\right)=x^2-ax-b$ とおいて， $y=f\left(x\right)$ と $x$ 軸の交点が $-1<x<1$ の範囲になるようにすれば必要十分．
判別式の条件より， $a^2+4b\geqq0\Leftrightarrow b\geqq-\frac{1}{4}a^2$ ……①
軸の条件より， $-1<\frac{a}{2}<1\Leftrightarrow-2< a <2$ ……②
端点( $x=\pm1$ )の条件より， $\begin{cases} f\left(-1\right)>0 \\ f\left(1\right)>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 1+a-b>0 \\ 1-a-b>0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a+1>b \\ -a+1>b \end{cases}$ ……③
①～③を図示すれば，

上図斜線部．但し境界は $b=-\frac{1}{4}a^2$ の $-2<a<2$ の区間のみを含み，他は含まない．……(答)

(2)
判別式は負となることに注意して，2次方程式： $x^2-ax-b=0$ を解くと，
$x=\frac{a\pm\sqrt{-a^2-4b}i}{2}$
$\therefore\left|\alpha\right|=\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{-a^2-4b}i}{2}\cdot\frac{a\mp\sqrt{-a^2-4b}i}{2}}=\sqrt{-b}$ ……(答)

(3)
判別式は負となるから， $b<-\frac{1}{4}a^2$ ……①
$\left|\alpha\right|=\left|\beta\right|=\sqrt{-b}$ であるから， $\left|\alpha\right|<1$ かつ $\left|\beta\right|<1$ という条件は， $0\leqq-b<1\Leftrightarrow-1<b\leqq0$ ……②となる．
①と②を図示すれば，

上図斜線部．但し境界は含まない．……(答)