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慶應理工2018

2018年慶應大学理工|過去問徹底研究 大問2

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

慶應義塾大学過去問徹底研究 2018年 大問2

方針の立て方

(1)高々2回の移動のため,書き出して考えれば解答を得られる.

(2)この問題も高々3回の移動のため,書き出せば解答を得られるが,正攻法で攻めるより余事象で考えた方が条件が厳しくなることを利用することで,手間を省ける.

(3)左への移動はできないことから,右への移動回数=x座標となることを利用する.実際に満たすものを考えることで,この事実には気付ける.後は場合分けして虱潰しにすればよい.

(4)「…」を使って満たす場合を書いてみることで,解法を得る.

(5)正攻法で解くよりも,余事象で考えた方が条件が厳しくなることから余事象で攻めることを見抜く.(3)と同様に右への移動回数=x座標となることを利用して虱潰しに考えつくす.

解答例
(1)
オ:\frac{1}{3}
(2)
カ:\frac{23}{27}
(3)
キ:\frac{11}{27}
ク:\frac{13}{33}
(4)
ケ:\frac{n-1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n
(5)
コ:\frac{2}{3}-\frac{n+1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n

解説
x軸正方向に1動くことを右に動く,同様にy軸正(負)方向に1動くことを上(下)に動くということにする.
(1)
上→下,下→上,右→右に動く場合のみ.
\therefore\left(\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}\right)=\frac{1}{3}……(答)

(2)
余事象で考える.
さいころを3回投げて,点Pのx座標とy座標がともに1未満となるのは,上0回,下3回か,上1回,下2回のどちらかの出し方をしたとき.
・上0回,下3回の確率
\left(\frac{2}{6}\right)^3=\frac{1}{27}
・上1回,下2回の確率
何回目に上に動くかで3通りあるため,
3\cdot\frac{2}{6}\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2=\frac{1}{9}
よって,さいころを3回投げて,点Pのx座標とy座標がともに1未満となる確率は,
\frac{1}{27}+\frac{1}{9}=\frac{4}{27}
これより,求める確率は,
1-\frac{4}{27}=\frac{23}{27}……(答)

(3)
〇さいころを4回投げたとき,点Pのx座標が2以上である確率(キについて)
4回の移動の内,右に何回動くかで場合分けする.
(ⅰ)右に2回動くときの確率
4回の移動の内,何回目で右に動くかで,{_4^}\mathrm{C}_2通り.
\therefore{_4^}\mathrm{C}_2\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2\left(\frac{4}{6}\right)^2=\frac{8}{27}
(ⅱ)右に3回動くときの確率
4回の移動の内,何回目で右に動くかで,4通り.
\therefore4\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^3\cdot\frac{4}{6}=\frac{8}{81}
(ⅲ)右に4回動くときの確率
\left(\frac{2}{6}\right)^4=\frac{1}{81}
以上,(ⅰ)~(ⅲ)より,
\frac{8}{27}+\frac{8}{81}+\frac{1}{81}=\frac{11}{27}……(答)
〇条件付き確率(クについて)
さいころを4回投げたとき,点Pのx座標が2以上であり,かつ点Pのy座標が0である確率を求める.
さいころを4回投げたとき,点Pのx座標が2以上であり,かつ点Pのy座標が0となるのは,
(Ⅰ)前問の(ⅰ)で右以外の移動が「上下」か「下上」である場合
(Ⅱ)前問の(ⅲ)の場合
の2通り.
(Ⅰ)の場合
上への移動が先か,下への移動が先かで2通り.4回の移動の内,何回目で右に動くかで,{_4^}\mathrm{C}_2通り.
\therefore2\cdot{_4^}\mathrm{C}_2\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{4}{27}
(Ⅱ)の場合の確率は,前問の(ⅲ)と同じで,\frac{1}{81}
以上,(Ⅰ)と(Ⅱ)より,さいころを4回投げたとき,点Pのx座標が2以上であり,かつ点Pのy座標が0である確率は,
\frac{4}{27}+\frac{1}{81}=\frac{13}{81}
よって,求める条件付き確率は,
\frac{\frac{13}{81}}{\frac{11}{27}}=\frac{13}{33}……(答)

(4)
1回目~n-1回目の移動で,右への移動が1回,右以外への移動がn-2回であり,かつ,n回目の移動が右であれば必要十分.
1回目~n-1回目の内,何回目で右に動くかで,n-1通り.
\therefore\left(n-1\right)\cdot\frac{2}{6}\cdot\left(\frac{4}{6}\right)^{n-2}\cdot\frac{2}{6}=\frac{n-1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n……(答)

(5)
余事象で考える.
(A)x=2上の格子点を1回も通らない確率
(A-a)n回の移動の内訳が,右への移動が1回,右以外への移動がn-1回である確率
n回の移動の内,何回目で右に移動するかでn通り.
\therefore n\cdot\frac{2}{6}\cdot\left(\frac{4}{6}\right)^{n-1}=\frac{n}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n
(A-b)n回の移動の内訳が,右への移動が0回,右以外への移動がn回である確率
\left(\frac{4}{6}\right)^n=\left(\frac{2}{3}\right)^n
以上,(A-a)と(A-b)より,x=2上の格子点を1回も通らない確率は,
\frac{n}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{n+2}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n
(B)x=2上の格子点を1回だけ通る確率
(B-a)n回目で初めてx=2上の格子点に乗る確率
前問の結果より,
\frac{n-1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n
(B-b)k回目(2\leqq k\leqq n-1)で初めてx=2上の格子点に乗り,その直後に右に動いて,x=2上の格子点から外れる確率
k回目(2\leqq k\leqq n-1)で初めてx=2上の格子点に乗る確率が,\frac{k-1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^kであり,k+1回目に右に動く
確率は\frac{2}{6}=\frac{1}{3}k+2回目以降の挙動についての制約はない.
\therefore\frac{k-1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^k\cdot\frac{1}{3}=\frac{k-1}{12}\left(\frac{2}{3}\right)^k
ここで,2\leqq k\leqq n-1の範囲で総和を取ると,x=2上の格子点を1回だけ通る確率の内,(B-a)を除いた確率が得られる.
\sum_{k=2}^{n-1}{\frac{k-1}{12}\left(\frac{2}{3}\right)^k}=\frac{1}{12}\sum_{k=2}^{n-1}{k\left(\frac{2}{3}\right)^k}-\frac{1}{12}\sum_{k=2}^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^k=\frac{1}{12}\sum_{k=2}^{n-1}{k\left(\frac{2}{3}\right)^k}-\frac{1}{12}\cdot\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\right\}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{12}\sum_{k=2}^{n-1}{k\left(\frac{2}{3}\right)^k}-\frac{1}{9}+\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n
ここで,S=\sum_{k=2}^{n-1}{k\left(\frac{2}{3}\right)^k}とおくと,
S=2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3+4\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4+\cdots\cdots+\left(n-1\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}
\frac{2}{3}S=2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3+3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4+\cdots\cdots+\left(n-2\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\left(n-1\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n
両辺を引き算すると,
\frac{1}{3}S=2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^3+\left(\frac{2}{3}\right)^4+\cdots\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right\}-\left(n-1\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{8}{9}+\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^3\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n-3}\right\}}{1-\frac{2}{3}}-\left(n-1\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{16}{9}-\left(n+2\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n
\therefore S=\frac{16}{3}-3\left(n+2\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n
よって,
\sum_{k=2}^{n-1}{\frac{k-1}{12}\left(\frac{2}{3}\right)^k}=\frac{1}{12}\left\{\frac{16}{3}-3\left(n+2\right)\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}-\frac{1}{9}+\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{1}{3}-\frac{n+1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n
以上,(B-a)と(B-b)より,x=2上の格子点を1回だけ通る確率は,
\frac{n-1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}-\frac{n+1}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n
以上,(A)と(B)より,余事象の確率は,
\frac{n+2}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{1}{3}+\frac{n+1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n
よって,求める確率は,
1-\left\{\frac{1}{3}+\frac{n+1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}=\frac{2}{3}-\frac{n+1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n……(答)

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