偏差値30からの早慶圧勝の個別指導塾 HIRO ACADEMIA

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慶應理工2018

2018年慶應大学理工数学|過去問徹底研究 大問3

偏差値30からの早稲田慶應対策専門個別指導塾
HIRO ACADEMIA presents

方針の立て方

(1)
(サ)については特筆事項なし.
(シ)a_na_{n-2}の関係を問われているため,a_{n-2}の形を具体的に書き下してみると方針を得やすい.すると,\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}dxが必要だと分かるため,部分積分の際に\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}の項を微分すればよいと分かる.

(2)前問で漸化式を求めたので,漸化式を利用することを考える.本解答のような漸化式を用いてa_0a_1まで下げる解法は頻出のためおさえておこう.

(3)極限値が1と与えられているため,\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|}で考える.(※\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n}{a_{n-1}}}=1を直接示す方針でも間違いではないが,はさみうちの原理が使いにくくなる.)変形をしていくと\frac{a_n}{a_{n-1}}の評価が必要になる.一項差のため,まずは前問(2)の結果を使おうと試みるが,前問は積(二項の掛け算)の形であるため使えない.そこで,(1)の(シ)の結果なら,分数の形を作り出せると考え,\frac{a_n}{a_{n-1}}\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}\frac{a_n}{a_{n-2}}に変形することを考える.

(4)\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt n}a_nのままでは解法が思い浮かばないため,一先ず変形して\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{n\left(a_n\right)^2}}とする.二項の掛け算の形が出てきているため,(2)の結果を使うという方針が立つ.(※(2)の結果をここまで使っていないので,(2)の結果を使うのではと疑うことでも方針が立つ.)

解答例

(1)
サ:\frac{\pi}{4}
シ:\frac{n}{n+1}
(2)
ス:\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}
(3)
\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|=\left|\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}}\right|=\left|\frac{a_{n}-a_{n-1}}{a_{n-1}}\right|
ここで,0\leqq x\leqq1の範囲で,0\leqq1-x^2\leqq1であるから,0\leqq\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}\leqq\left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}\leqq1であり,積分区間0\leqq x\leqq1で,等号は常に成立しないことから,
\int_{0}^{1}0dx<\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}dx<\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n-1}{2}dx<\int_{0}^{1}1dx\Leftrightarrow0<a_n<a_{n-1}<1
が成立する.(1)の(シ)の結果と合わせると,
\frac{\left|a_n-a_{n-1}\right|}{\left|a_{n-1}\right|}=\frac{a_{n-1}-a_n}{a_{n-1}}<\frac{a_{n-1}-a_{n+1}}{a_{n-1}}=1-\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=1-\frac{n+1}{n+2}=\frac{1}{n+2}
よって,
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|}<\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n+2}}=0
であり,はさみうちの原理より,
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}-1\right|}=0
これは,数列\left\{\frac{a_n}{a_{n-1}}\right\}が1に収束することに他ならない.
証明終了.
(4)
セ:\sqrt{\frac{\pi}{2}}

解説

(1)
a_1(サについて)
a_1=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx
これは,下図斜線部に示した四分円の面積を表す.

a_1=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}……(答)
a_n(シについて)
a_n=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}dx=\int_{0}^{1}{\left(x\right)^\prime\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}}dx=\left[x\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}\right]_0^1-\int_{0}^{1}{x\cdot\frac{n}{2}\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}\cdot\left(-2x\right)}dx=n\int_{0}^{1}{x^2\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx
\therefore\int_{0}^{1}{x^2\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx=\frac{a_n}{n}
一方で,
a_n=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n}{2}dx=\int_{0}^{1}{\left(1-x^2\right)\cdot\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}dx-\int_{0}^{1}{x^2\left(1-x^2\right)^\frac{n-2}{2}}dx=a_{n-2}-\frac{a_n}{n}
\therefore a_n=\frac{n}{n+1}a_{n-2}……(答)

(2)
前問の結果より,
a_na_{n-1}=\frac{n}{n+1}a_{n-2}\cdot\frac{n-1}{n}a_{n-3}=\frac{n-1}{n+1}a_{n-2}a_{n-3}
(ⅰ)nが偶数のとき,
a_na_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-5}{n-3}\cdot\cdots\cdots\cdot\frac{3}{5}a_2a_1=\frac{3}{n+1}a_2a_1
ここで,
a_2=\int_{0}^{1}\left(1-x^2\right)dx=\left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{2}{3}
a_1=\frac{\pi}{4}
より,
a_na_{n-1}=\frac{3}{n+1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}
(ⅱ)nが奇数のとき,
a_na_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-5}{n-3}\cdot\cdots\cdots\cdot\frac{2}{4}a_1a_0=\frac{2}{n+1}a_1a_0
ここで,
a_1=\frac{\pi}{4}
a_0=\int_{0}^{1}1dx=\left[x\right]_0^1=1
より,
a_na_{n-1}=\frac{2}{n+1}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot1=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}
以上,(ⅰ)と(ⅱ)より,
a_na_{n-1}=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}……(答)

(4)
前問の結果より,
a_n=\frac{\pi}{a_{n-1}\cdot2\left(n+1\right)}\Leftrightarrow\left(a_n\right)^2=\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}
である.これより,
\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt n}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{n\left(a_n\right)^2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{n\cdot\frac{\pi}{2\left(n+1\right)}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt{\frac{\pi}{2}\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{a_n}{a_{n-1}}}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}……(答)

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早慶専門個別指導塾HIRO ACADEMIA

偏差値30から早稲田慶應に合格するための日本で唯一の予備校です。 ただ覚えるだけの丸暗記では早稲田慶應に合格することはできません。 本ブログでは、当塾のメソッドでいかにして考えて早稲田慶應に合格することができるのかの一部をお伝えします。