方針の立て方 (1) (サ)については特筆事項なし. (シ)との関係を問われているため,の形を具体的に書き下してみると方針を得やすい.すると,が必要だと分かるため,部分積分の際にの項を微分すればよいと分かる. (2)前問で漸化式を求めたので,漸化式を利用することを考える.本解答のような漸化式を用いて
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方針の立て方
(1)
(サ)については特筆事項なし.
(シ)と
の関係を問われているため,
の形を具体的に書き下してみると方針を得やすい.すると,
が必要だと分かるため,部分積分の際に
の項を微分すればよいと分かる.
(2)前問で漸化式を求めたので,漸化式を利用することを考える.本解答のような漸化式を用いて
や
まで下げる解法は頻出のためおさえておこう.
(3)極限値が1と与えられているため,
で考える.(※
を直接示す方針でも間違いではないが,はさみうちの原理が使いにくくなる.)変形をしていくと
の評価が必要になる.一項差のため,まずは前問(2)の結果を使おうと試みるが,前問は積(二項の掛け算)の形であるため使えない.そこで,(1)の(シ)の結果なら,分数の形を作り出せると考え,
を
か
に変形することを考える.
(4)
のままでは解法が思い浮かばないため,一先ず変形して
とする.二項の掛け算の形が出てきているため,(2)の結果を使うという方針が立つ.(※(2)の結果をここまで使っていないので,(2)の結果を使うのではと疑うことでも方針が立つ.)
解答例
(1)
サ:
シ:
(2)
ス:
(3)
ここで,の範囲で,
であるから,
であり,積分区間
で,等号は常に成立しないことから,
が成立する.(1)の(シ)の結果と合わせると,
よって,
であり,はさみうちの原理より,
これは,数列が1に収束することに他ならない.
証明終了.
(4)
セ:解説
(1)
〇(サについて)
これは,下図斜線部に示した四分円の面積を表す.
……(答)
〇(シについて)
一方で,
……(答)
(2)
前問の結果より,
(ⅰ)が偶数のとき,
ここで,
より,
(ⅱ)が奇数のとき,
ここで,
より,
以上,(ⅰ)と(ⅱ)より,
……(答)
(4)
前問の結果より,
である.これより,
……(答)