方針の立て方
(1)
(ソ)について.角の情報を引き出す必要があるため,内積で攻める必要があると判断する.
(タ)と(チ)について.答えの形式から,と
の係数を文字で置くことから始める.すると,求める文字は2つのため,点
に関する情報が2つ必要になるから,問題文から点
に関する情報を2つ集める.
(ツ)について.のままでは埒が明かないため,一先ず変形を試みる.前問の結果を用いれば変形の仕方も容易に思いつく.
(2)
の3文字から
の等式を導くため,一先ず
を消去することを考える.その後は,
の等式を立てるため,
と
と
を消去する必要があるが,これにはベクトルの大きさで考えれば良いから,その方針で解く.
(3)
(ネ)~(ハ)について.前問でを導入したこともあり,
中心で考えていくと上手くいくと考える.すると,
が
で書き表せるため,
を動かしたときの最大値を考えればいいことが分かる.前問の結果を加味すれば線形計画法の考え方であると見抜ける.
(ヒ)について.典型的な四面体の体積問題である.「垂線と面が直交する」と,「垂線と面を構成する2ベクトル(基底ベクトルという)が垂直」が同値であることを利用する.
解答例
(1)
ソ:
タ:
チ:
ツ:
(2)
テ:
ト:
ナ:
ニ:
ヌ:
(3)
ネ:
ノ:
ハ:
ヒ:
解説
(1)
〇(ソについて)
点は図形
上の点のため,
……(答)
〇(タとチについて)
は
上の点のため,
(
は実数)と表せる.
点は図形
上の点のため,
では
となるため不適.よって,
.
……(答)
〇(ツについて)
前問の結果を変形すると,
(
点
は図形
上の点)
……(答)
(2)
である.
点は図形
上の点のため,
一方,
……(答)
(3)
〇(ネ~ハについて)
前問で求めたの条件より,
……①
また,(2)での議論より,
ここで,とおくと,
であり,①の下で
が最大となるときを考えれば良い.
左図のように,線形計画法の要領で解くと,の最大値は
と分かり,このとき,
となる.
より,
となる.
……(答)
〇四面体(ヒについて)
より,
点から
への垂線の足を点
とする.すると,
ここで,を実数として
(つまり
)とすると,(1)の結果より,
であることに注意して,
よって,四面体の体積は,
……(答)
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