2018年慶應義塾大学環境情報数学|過去問徹底研究大問3

方針の立て方

ガウス記号 $\left[\quad\right]$ のある数列の問題では基本的には書き出すことから規則性をつかむ．(2)以降は， $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が同じ $n$ をまとめてみる考え方，即ち，群数列の考え方をする．
(1)
実際に書き出すことで解答を得る．

(2)
前問で得られた規則性を使う． $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の値が1つ上がるのは $n+1$ が平方数となるときであることに気付ければ，後はケアレスミスに注意して考えるのみ．平方数の差を取ると奇数となることは知識として押さえておくとよい．今回も「 $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は” $2m+1$ ”個」というところで，奇数が出てきている．

(3)
$a_n$ との違いに気づければ，解法を得る． $n$ が奇数のとき $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は負の値となる．整数や数列の問題では，前問や本問のように偶奇に着目して規則性を見つけることがよくある．

(4)
問題文中ではっきりと言われていないため題意がつかみにくいが，答えの表式が「 $a_n=$ 」となっていることから，一般項を求める問題であるということにまず気付くこと．後は(2)(3)とで群数列として扱ってきたことを踏まえ，群数列の解法を取ればよい．

解答例

(53)(54)…… $19$
(55)(56)…… $-1$
(57)(58)…… $30$
(59)(60)…… $81$
(61)(62)…… $06$
(63)(64)…… $-2$
(65)…… $3$
(66)(67)…… $-3$
(68)(69)…… $05$
(70)(71)…… $06$

解説

(1)
順番に書き出してみると，
$a_2=2$
$a_3=3$
$a_4=5$
$a_5=7$
$a_6=9$
$a_7=11$
$a_8=13$
$a_9=16$
$a_{10}=19$ ……(答)
$b_1=1$
$b_2=0$
$b_3=1$
$b_4=-1$
$b_5=1$
$b_6=-1$
$b_7=1$
$b_8=-1$
$b_9=2$
$b_{10}=-1$ ……(答)
(2)
$n$ と $\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$4$	$\cdots$

ここから， $\left[\sqrt{n+1}\right]=1$ となる $n$ は( $n=0$ を含めて)3個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=2$ となる $n$ は5個あり， $\left[\sqrt{n+1}\right]=3$ となる $n$ は7個あり，……， $\left[\sqrt{n+1}\right]=m$ となる $n$ は $2m+1$ 個あると分かる．
$\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列である．よって，
$a_{30}=a_1+1\cdot2+2\cdot5+3\cdot7+4\cdot9+5\cdot6=100$ となる．
数列 $\left\{a_n\right\}$ は明らかに単調増加列であるので，求める $n$ の範囲は， $n\geqq30$ ……(答)

(3)
$n$ と $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ の関係を以下の表にまとめる．

$n$	$\left(0\right)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\left(1\right)$	$-1$	$1$	$-2$	$2$	$-2$	$2$	$-2$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-3$	$3$	$-4$	$\cdots$

よって，
$\sum_{n=0}^{2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1$
$\sum_{n=3}^{7}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=-2$
$\sum_{n=8}^{14}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=3$
$\vdots$
$\sum_{n=m^2-1}^{\left(m+1\right)^2-2}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=\left(-1\right)^{m+1}m$
が成り立つと分かる．
$1+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)+9=5$
である．ここで，

$n$	$\cdots$	$77$	$78$	$79$	$80$	$\cdots$
$\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$	$\cdots$	$-8$	$8$	$-8$	$9$	$\cdots$

であるから， $\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]$ は数列 $\left\{a_n\right\}$ の階差数列であることに注意して，
$b_{80}=b_1+\sum_{n=1}^{79}{\left(-1\right)^n\left[\sqrt{n+1}\right]}=1+0+\left(-2\right)+3+\left(-4\right)+5+\left(-6\right)+7+\left(-8\right)=-4$
$b_{81}=b_{80}+\left(-1\right)^{80}\left[\sqrt{80+1}\right]=-4+9=5$
よって求める $n$ は， $n=81$ ……(答)

(4)
(2)の議論を応用すれば， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる自然数 $k$ は $2m+1$ 個あると分かる．よって， $\left[\sqrt k\right]=1,2,3,\cdots,m-1$ となる自然数 $k$ の個数の総数は， $\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k+1\right)=m^2-1$ 個と分かる．
よって， $1\leqq k\leqq n$ までの $n$ 個の自然数 $k$ のうち， $\left[\sqrt k\right]=m$ となる $k$ の個数は， $n-\left(m^2-1\right)$ 個あると分かる．
$\therefore a_n=\sum_{k=1}^{m-1}k\left(2k+1\right)+m\left\{n-\left(m^2-1\right)\right\}=\frac{6mn-2m^3-3m^2+5m}{6}$ ……(答)