2017年早稲田大学理工|過去問徹底研究大問5

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方針の立て方

(1)
解についての情報しか与えられないため，本問は解を中心に考えていくという方針を得る．すると，(＊)の条件を使うことになるが，これを何度も使うことで解を作ることができると考える．結局三回使うと元の解に戻ってしまうため，ここで(＊)を使うのは終わり．異なる解の表式が３つ( $\alpha,\frac{-1}{\alpha+1},\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ )得られたが，これらが相異なるならこれで解探しは終わりになると期待して，これらが相異なることを確認する(具体的には $\alpha=\frac{-1}{\alpha+1}$ ， $\frac{-1}{\alpha+1}=\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ ， $\alpha=\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ を計算して，これを満たす $\alpha$ が存在しないことを示せれば十分である)．あとは，求めるものが係数であることから，解と係数を結びつける公式，つまり，解と係数の関係を使えば解答が得られる．

(2)
$f\left(x\right)$ の具体的な表式が得られたため，普通の微分法の問題で解いていけばよい．

(3)
またしても解に着目しているため， $x=2\cos{\theta}$ を出発点として，(1)と同様に(＊)を繰り返し用いることで，解を全て出し尽くすことを考える．後は本解答の通り，それらが， $2\cos{2\theta}$ ， $2\cos{3\theta}$ と一致することを示す．

(4)
$\theta$ を求めるので，三角方程式を立式する必要があると考える．
さて，(3)では， $x=2\cos{\theta}$ から出発して(＊)を繰り返し使ったが， $x=2\cos{2\theta}$ から始めてもいいはずである．それを実際に試してみることで三角方程式を導ける．

解答例

(1)
$f\left(x\right)=0$ は3次方程式のため，少なくとも1つの実数解が存在する．その実数解を $x=\alpha$ とする．
すると， $g\left(\alpha\right)=\frac{-1}{\alpha+1}$ も解であり，よって， $g\left(g\left(\alpha\right)\right)=\frac{-1}{g\left(\alpha\right)+1}=\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ も解であり，よって， $g\left(g\left(g\left(\alpha\right)\right)\right)=\frac{-1}{g\left(g\left(\alpha\right)\right)+1}=\alpha$ も解である．
ここで， $\alpha=\frac{-1}{\alpha+1}$ を仮定すると， $\alpha^2+\alpha+1=0$ となり， $\alpha$ は実数とはならないため不適．
$\alpha=\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ を仮定すると， $\alpha^2+\alpha+1=0$ となり， $\alpha$ は実数とはならないため不適．
$\frac{-1}{\alpha+1}=\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ を仮定すると， $\alpha^2+\alpha+1=0$ となり， $\alpha$ は実数とはならない．
よって， $x=\alpha,\frac{-1}{\alpha+1},\frac{-\alpha-1}{\alpha}$ は互いに相異なる３つの実数解であり，代数学の基本定理より，これが $f\left(x\right)=0$ の解の全てである．
３次方程式の解と係数の関係より，
$\begin{cases} \alpha+\frac{-1}{\alpha+1}+\frac{-\alpha-1}{\alpha}=-1 \\ \alpha\cdot\frac{-1}{\alpha+1}+\frac{-1}{\alpha+1}\cdot\frac{-\alpha-1}{\alpha}+\frac{-\alpha-1}{\alpha}\cdot\alpha=p \\ \alpha\cdot\frac{-1}{\alpha+1}\cdot\frac{-\alpha-1}{\alpha}=-q \end{cases}$
第三式より， $q=-1$
第一式より， $\alpha^3+\alpha^2-2\alpha-1=0$ ．これと， $f\left(\alpha\right)=0\Leftrightarrow\alpha^3+\alpha^2+p\alpha+q=0\Leftrightarrow\alpha^3+\alpha^2+p\alpha-1=0$ を比較すると， $p=-2$
$\therefore\left(p,q\right)=\left(-2,-1\right)$ ……(答)

(2)
$f\left(x\right)=0$ が３つの実数解をもつことは前問の議論の通り．以下では，その３つの実数解が $-2<x<2$ の範囲にあることを示す．
$f\left(x\right)=x^3+x^2-2x-1$ より， $f\left(-2\right)=-10$ ， $f\left(0\right)=-10$ である．
$f\left(x\right)$ は連続関数であるから，中間値の定理より， $-2<x<-1$ ， $-1<x<0$ ， $0<x<2$ のそれぞれの範囲に $f\left(x\right)=0$ となる $x$ が存在する．証明終了

(3)
$2\cos{\theta}$ は $f\left(x\right)=0$ の解であるため，
$f\left(2\cos{\theta}\right)=0\Leftrightarrow8{\mathrm{cos}}^3\theta+4{\mathrm{cos}}^2\theta-4\cos{\theta}-1=0$ …①
が成立する．また，
$g\left(2\cos{\theta}\right)=\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}$ も解となる．
ここで， $\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}=2\cos{2\theta}$ を示す．
$\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}=2\cos{2\theta}$ を示すには，これを変形した $8{\mathrm{cos}}^3\theta+4{\mathrm{cos}}^2\theta-4\cos{\theta}-1=0$ を示せば必要十分だが，これは，①より成立するため， $\frac{-1}{2\cos{\theta}+1}=2\cos{2\theta}$ 　　証明終了
さて， $g\left(g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)\right)=\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}$ も解となる．
ここで， $\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}=2\cos{3\theta}$ を示す．
$\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}=2\cos{3\theta}$ を示すには，これを変形した $\left(2\cos{\theta}-1\right)\left(8\cos^3\theta+4\cos^2\theta-4\cos{\theta}-1\right)=0$ を示せば必要十分だが，これは，①より成立するため， $\frac{-2\cos{\theta}-1}{2\cos{\theta}}=2\cos{3\theta}$ 　　証明終了
まとめると， $g\left(2\cos{\theta}\right)=2\cos{2\theta}$ ， $g\left(g\left(2\cos{\theta}\right)\right)=2\cos{3\theta}$ であり， $g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)$ も $g\left(g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)\right)$ は $f\left(x\right)=0$ の解であるから， $2\cos{2\theta}$ ， $2\cos{3\theta}$ は $f\left(x\right)=0$ の解である．証明終了

(4)
前問の議論より $g\left(2\cos{2\theta}\right)=g\left(g\left(2\mathrm{cos}{\theta}\right)\right)=2\cos{3\theta}$ が成り立つ．
さらに，前問で示した $g\left(2\cos{\theta}\right)=2\cos{2\theta}$ について， $\theta\rightarrow2\theta$ と置き換えると， $g\left(2\cos{2\theta}\right)=2\cos{4\theta}$ が成り立つ．
$\therefore\cos{3\theta}=\cos{4\theta}$ が成り立つ必要であり，これを解くと，
$3\theta=2n\pi\pm4\theta$ ( $n$ は整数) $\Leftrightarrow\theta=-2n\pi,\frac{2n\pi}{7}$
$0<\theta<\pi$ より， $\theta=\frac{2}{7}\pi,\frac{4}{7}\pi,\frac{6}{7}\pi$ である必要であると分かる．
$\theta=\frac{2}{7}\pi,\frac{4}{7}\pi,\frac{6}{7}\pi$ に対して， $x=2\cos{\theta}$ は相異なる３つの実数となり，これで十分であることも分かる．
よって， $\theta=\frac{2}{7}\pi,\frac{4}{7}\pi,\frac{6}{7}\pi$ ……(答)