方針の立て方
(ⅰ)(ⅱ)
共通部分に関する問題であるから,「交わるならば連立」という基本事項に従い,共通部分に関する情報を求める.
(ⅲ)
今度は共通部分が分かっていて,その元が分からない(求める)問題である.共通部分は直線(1次元)で,元の図形は平面(2次元)であるから,自由度を1増やせばよいと考える.
解答例
(ⅰ)
(19)
(20)
(21)
(22)
(ⅱ)
(23)
(24)(25)
(26)(27)
(28)(29)
(30)(31)(32)
(33)(34)(35)
(36)
(37)(38)
(39)
(ⅲ)
(ウ)
(エ)
解説
(ⅰ)
平面と平面
の交線
は,実数パラメーター
を用いると,
と表せる.
よって,交線は,
を通り(
を代入),方向ベクトルは
である直線.
……(答)
(ⅱ)
球面の半径を
とおく.すると,球面
の方程式は
と表せる.
〇球面と直線
が1点のみを共有するとき((23)~(27)について)
球面と交線
の共有点が1つのみとなるには,以下の
に関する2次方程式
がただ一つの実数解(重解)となれば必要十分.
のときで,そのとき.
よって,共有点の座標は,……(答)
〇球面と直線
が1点のみを共有するとき((23)~(27)について)
球面と交線
の共有点が1つのみとなるには,以下の
に関する2次方程式
が相異なる2つの実数解を持てば必要十分.
のときで,そのとき.
よって,2つの共有点の座標は,である(複号同順).
この2点の距離は,
よって,点と直線
の距離は,三平方の定理より,
である.これより,2つの共有点と点を頂点とする三角形の面積は,
となる.これがであるとき,
となる.
よって,求める共有点の座標は,
……(答)
(ⅲ)
平面は面内に直線
を含み,かつ
依存性がないため,
……(答)
同様に,平面は面内に直線
を含み,かつ
依存性がないため,
……(答)
Published by