方針の立て方
(ⅰ)
$f\left(x\right)$ には $\cos{x}$ と $\sin{x}$ が混じっているため，これを一つの三角関数にまとめることを考える．すると，三角関数の合成という解法が立つ．

(ⅱ)
実際に $a_2,a_3,\cdots\cdots$ を求めてみて，その導出過程を $n$ で一般化すれば良い．数列の問題はいきなり抽象的な $n$ で計算するのではなく，最初は $n=1,2$ などの小さい値でやってみると，解法が得やすい．漸化式が求まってしまえば，後は一般項に直して，問題文に沿って素直に不等式を立てれば良い．
(余談だが，この問題はニュートン法を題材にした問題である．)

解答例
(ⅰ)
(1)(2)(3) $\frac{11}{6}$
(4)(5) $13$
(6)(7) $\frac{5}{6}$
(8)(9) $-3$

(ⅱ)
(10)(11) $\frac{4}{5}$
(12)(13) $25$

解説
(ⅰ)
三角関数の合成公式を用いれば，
$f\left(x\right)=4\sqrt3\cos{x}-4\sin{x}+5=8\sin{\left(x+\frac{2}{3}\pi\right)}+5$
である． $0\leqq x <2\pi\Leftrightarrow\frac{2}{3}\pi\leqq x+\frac{2}{3}\pi<\frac{8}{3}\pi$ であるから， $x+\frac{2}{3}\pi=\frac{5}{2}\pi\Leftrightarrow x=\frac{11}{6}\pi$ で最大値 $8+5=13$ を取り， $x+\frac{2}{3}\pi=\frac{3}{2}\pi\Leftrightarrow x=\frac{5}{6}\pi$ で最小値 $-8+5=-3$ を取る．
まとめると，

(ⅱ)
$a_n$ は帰納的に正である．つまり， $0<a_n$ ．
$y^\prime=5x^4$ より，点 $\left(a_n,{a_n}^5\right)$ での接線の方程式は $y=5{a_n}^4x-4{a_n}^5$ となる．これと $x$ 軸( $y=0$ )との交点の $x$ 座標が $a_{n+1}$ のため，
$0=5{a_n}^4a_{n+1}-4{a_n}^5$
となる． $0<a_n$ に注意してこれを解くと，
$a_{n+1}=\frac{4}{5}a_n$ ……(答)
この漸化式を解く． $a_n$ は初項 $a_1=1$ ，公比 $\frac{4}{5}$ の等比数列であるから，一般項 $a_n$ は
$a_n=1\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
となる．
$\therefore a_n-a_{n+1}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}-\left(\frac{4}{5}\right)^n=\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$
よって， $a_n-a_{n+1}$ が $\frac{1}{1000}$ 以下であるには，
$\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\leqq\frac{1}{1000}\Leftrightarrow\log_{10}{\left\{\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right\}}\leqq\log_{10}{\frac{1}{1000}}$ ……(＊)
であれば必要十分．
$\log_{10}{\left\{\frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\right\}}=\log_{10}{\frac{1}{5}}+\log_{10}{\left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}}=\log_{10}{\frac{2}{10}}+\left(n-1\right)\log_{10}{\frac{8}{10}}=\log_{10}{2}-1+\left(n-1\right)\left(3\log_{10}{2}-1\right)$
$\log_{10}{\frac{1}{1000}}=\log_{10}{{10}^{-3}}=-3$
より，(＊)は
$\log_{10}{2}-1+\left(n-1\right)\left(3\log_{10}{2}-1\right)\leqq-3\Leftrightarrow n\geqq\frac{2+\log_{10}{2}}{1-3\log_{10}{2}}+1=\frac{2+0.3010}{1-3\times0.3010}+1=24.7\cdots\cdots$
となる．よって，求める自然数 $n$ の最小値は， $n=25$ ……(答)